1、4.1.2 圆的一般方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0)特征：直接看出圆心与半径 复习 x2 y 2DxEyF0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数FrbaEbDa=-+=-=-222,2,2令令结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手1.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表示的曲线是圆呢？思考下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y
2、+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.022=+FEyDxyx4422)2(2)2(2FEDEyDx-+=+-2,2ED将将左边配方，得左边配方，得（1）当）当时时,它表示以它表示以为圆心为圆心,以以为半径的圆为半径的圆;D2+E2-4F02422FEDr-+=(2)当当D2E24F0时，方程表示一个时，方程表示一个点点 ；)2,2(ED-(3)当当D2E24F0时，方程无时，方程无实数解实数解,不表示任何图形不表示任何图形所以形如x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程 圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的一般方程与标
3、准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122-+没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：x2与y2系数相同并且不等于0；例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是不是1.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E
4、,F分别等于2.x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是3,6,4)(-A3,6,4)(-B3,6,4)(-C3,6,4)(-D21)(aA21)(aB21)(=aC21)(aDDD 练习 下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、若是圆则求出圆心、半径半径.0112422)1(22=-+yxyx22(2)20(0)xyaxa+=22222(2)20)0 xyaxxaya+=+=由得（22(1)224121 0 xyxy+-=解：由2212602xyxy+-=得22211)(3)2xy+-=即：（13-故它表示以（，）为圆心,422为半径的圆.a,0a-故它
5、表示以（）为圆心，为半径的圆例例2：(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程一般方程配方展开标准方程标准方程小结一:FEDED421),2,2(22-+-半径圆心 典例精析例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点的距离半径：圆心到圆上一点的距离因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x
6、-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法二：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得 举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则222240)0(DEFxyDx Ey F+=+-F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法三：F=
7、0D=-8E=6解得 小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.例2.已知一圆过p(4,-2).Q(-1,3)两点，且在y轴上截到的线段长为4 ，求圆的方程。33解：设圆的方程为解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令令x=0,得得 y2+Ey+F=0 又又|y1-y2|=4 (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 将将P,Q两点的坐标代入得：两点的坐标代入得：4D-2E+F=0
8、 D-3E-F=0 由 得:D=-2 ,E=0,F=-12 或D=-10,E=-8,F=-4例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例2222222(,)(0)(0)12(3)(0)23064(9)0 x yxyxyxyx-+-=-+-+-=-解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx.O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直接法 练习：已知点P在圆C：上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。0216822=+-+yxyx练习：点点P(3,0)是圆是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点，内一点
9、，求过点求过点P的最短弦所在直线方程。的最短弦所在直线方程。圆圆C:x2+y2+2x+4y-3=0到直线到直线x+y+1=0的的距离为距离为 的点有几个？的点有几个？圆圆x2+y2-4x+2y+F=0与与y轴交于轴交于A B两点，两点，圆心为圆心为C.若若ACB=900,求求F.已知方程已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆，求该圆半径表示一个圆，求该圆半径r的取值范围。的取值范围。221.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?-+=+0402222FEDFEyDxyx 配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结几何方法 求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径 （圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF-+-=+=设方程为(或列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）小结求圆的方程
