1、1.2.2组合组合第一课时组合的概念及组合数公式第一课时组合的概念及组合数公式第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点重点:利用组合数公式求值利用组合数公式求值.难点难点:组合的含义的理解组合的含义的理解.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理新知初探新知初探 思维启动思维启动1.组合组合(1)一般地一般地,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元个元素素_,叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的一个组合元素的一个组合.(2)如果两个组合中的元素如果两个组合中的元素_,那么
2、不那么不管元素的顺序如何管元素的顺序如何,都是相同组合都是相同组合,只有当两个只有当两个组合中的元素组合中的元素_时时,才是不同的组合才是不同的组合.合成一组合成一组完全相同完全相同不完全相同不完全相同栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理 做一做做一做1.有下列实际问题有下列实际问题:三人互相握手的次数三人互相握手的次数;三人抬水三人抬水,每两人抬一次的不同抬法每两人抬一次的不同抬法;三点三点不共线不共线,可确定直线的条数可确定直线的条数.其中属于组合问题其中属于组合问题的有的有()A.B.C.D.答案答案:D栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理所有不同组合所有不同组合1栏目栏
3、目导引导引第一章计数原理第一章计数原理做一做做一做答案答案:21190栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型一组合的概念题型一组合的概念 判断下列问题是组合问题还是排列问判断下列问题是组合问题还是排列问题题:(1)设集合设集合Aa,b,c,d,e,则集合则集合A的子集中含的子集中含有有3个元素的有多少个元素的有多少个个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站个车站,则这条线上共需准备多少种车票则这条线上共需准备多少种车票?多少多少种票价种票价?(3)3人去干人去干5种不同的工作种不同的工作,每人干一种每人干一种,有多少种分工方法有多少种分工方法?(4)把把3本相同的书分给本相同的书分
4、给5个学生个学生,每人最多得每人最多得1本本,有几种分配方法有几种分配方法?栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【解解】(1)因为本问题与元素顺序无关因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题故是组合问题.(2)因为甲站到乙站因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题故是排列问题,但票价与顺序无关但票价与顺序无关,甲站到乙站甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价与乙站到甲站是同一种票价,故故是组合问题是组合问题.(3)因为一种分工方法是从因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出种不同的工作中取出3种种,按一定次序按一定次序分给分给3个人去干个人去干,故是排
5、列问题故是排列问题.(4)因为因为3本书是相同的本书是相同的,无论把无论把3本书分给哪三人本书分给哪三人,都不需考虑他们都不需考虑他们的顺序的顺序,故是组合问题故是组合问题.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】区分排列与组合问题区分排列与组合问题,关键是关键是利用排列与组合的定义利用排列与组合的定义,组合是组合是“只选不排、只选不排、并成一组并成一组,与顺序无关与顺序无关”.只要两个组合中的只要两个组合中的元素完全相同元素完全相同,则不论元素的顺序如何则不论元素的顺序如何,都是相都是相同的组合同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相只有当两个组合中的元素不完全相同时
6、同时,才是不同的组合才是不同的组合.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练1.判断下列问题是排列问题判断下列问题是排列问题,还是组合问题还是组合问题.(1)从从1,2,3,9这九个数字中任取这九个数字中任取3个个,组成一个三位数组成一个三位数,这样的三这样的三位数共有多少个位数共有多少个?(2)从从1,2,3,9这九个数字中任取这九个数字中任取3个个,然后把这三个数字相加得然后把这三个数字相加得到一个和到一个和,这样的和共有多少个这样的和共有多少个?(3)从从a,b,c,d这四名学生中选这四名学生中选2名学生名学生,去完成同一件工作有多少种去完成同一件工作有多少种不同的选
7、法不同的选法?(4)5个人规定相互通话一次个人规定相互通话一次,共通了多少次电话共通了多少次电话?(5)5个人相互各写一封信个人相互各写一封信,共写了多少封信共写了多少封信?栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理解解:(1)当取出当取出3个数字后个数字后,如果改变三个数字的如果改变三个数字的顺序顺序,会得到不同的三位数会得到不同的三位数,此问题不但与取出此问题不但与取出元素有关元素有关,而且与元素的安排顺序有关而且与元素的安排顺序有关,是排列是排列问题问题.(2)取出取出3个数字之后个数字之后,无论怎样改变这三个数无论怎样改变这三个数字之间的顺序字之间的顺序,其和均不变其和均不变,此问题
8、只与取出元此问题只与取出元素有关素有关,而与元素的安排顺序无关而与元素的安排顺序无关,是组合问题是组合问题.(3)2名学生完成的是同一件工作名学生完成的是同一件工作,没有顺序没有顺序,是是组合问题组合问题.(4)甲与乙通一次电话甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电也就是乙与甲通一次电话话,无顺序区别无顺序区别,为组合问题为组合问题.(5)发信人与收信人是有区别的发信人与收信人是有区别的,是排列问题是排列问题.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】有关组合数的计算问题有关组合数的计算问题,一般一般先用组合数的两个性质化简先用
9、组合数的两个性质化简,再用组合数公式再用组合数公式的乘积形式计算的乘积形式计算,但当组合数中含有字母时但当组合数中含有字母时,要要确定字母的范围确定字母的范围,这往往是解题的关键这往往是解题的关键.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型三简单的组合应用题题型三简单的组合应用题 一个口袋内装有大小相同编号不同的一个口袋内装有大小相同编号不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.(1)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,共有多少种取法共有多少种取法?(2)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,使其中含有使其中含有1个黑球个黑球,有多
10、少种取法有多少种取法?(3)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,使其中不含黑球使其中不含黑球,有多有多少种取法少种取法?【思路点拨思路点拨】先判断是不是组合问题先判断是不是组合问题,再用再用组合数公式写出结果组合数公式写出结果,最后求值最后求值.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】解简单的组合应用题解简单的组合应用题,要首先要首先判断它是不是组合问题判断它是不是组合问题,即取出的元素是即取出的元素是“合成一组合成一组”还是还是“排成一列排成一列”,其其次要看这件事是分类完成还是分步完成次要看这件事是分类完成还是分步完成.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变
11、式训练变式训练3.盒子中放有编号为盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的的形状和大小完全相同的5个白球个白球和和5个黑球个黑球,从中任意取出从中任意取出3个个,则取出球的编号互不相同的方法则取出球的编号互不相同的方法种数为种数为_.答案答案:80栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理方法技巧方法技巧1.组合与排列的异同组合与排列的异同:组合与排列的相同点是组合与排列的相同点是“从从n个元素中任意取个元素中任意取出出m个元素个元素”,不同点不同点:组合组合“不管元素的顺序合成一组不管元素的顺序合成一组”,而排列要求而排列要求元素元素“按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列”,因此区分某一问题是组合还是排因此区分某一问题是组合还是排列列,关键是看取出的元素有无顺序关键是看取出的元素有无顺序.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理失误防范失误防范组合数公式中上标是自然数组合数公式中上标是自然数,下标是正整数下标是正整数,且上标不大于下且上标不大于下标标,解题时要注意这些约束条件解题时要注意这些约束条件.
