1、教学要求：教学要求：1.会将定义在会将定义在0,或或0,l上的函数展开上的函数展开 为正弦为正弦级数与余弦级数级数与余弦级数2.会写出会写出Fourier级数的和函数的表达式级数的和函数的表达式 .正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数一一与余弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数上的函数展成正弦级数定义在定义在二二,0 .级数级数成成非对称区间上的函数展非对称区间上的函数展四四Fourier .与余弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数上的函数展成正弦级数定义在定义在三三,0 .l正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数一一 .(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开为展开为 Fo
2、urierFourier级数时级数时,它的它的 FourierFourier 系数为系数为 ),2,1(sin)(2),2,1,0(00 nnxdxxfbnann 定理定理1.(2)2)当 周 期 为当 周 期 为 2的 偶 函 数的 偶 函 数)(xf展 开 成展 开 成FourierFourier 级数时级数时,它的它的 FourierFourier 系数为系数为 ),2,1(0),2,1,0(cos)(20 nbnnxdxxfann Proof.,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10),3,2,1,0(n奇函数奇函数 0sin)(2nxdxxf),3,2,1
3、(n同理可证同理可证(2)nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕.定义定义:如果如果)(xf为奇函数为奇函数,Fourier,Fourier 级数级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数.如果如果)(xf为偶函数为偶函数,FourierFourier 级数级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数.Example1.Fourier0 0 )(级数级数展成展成将将 xaxaxfSolution.将将f(x)作周期延拓作周期延拓,See Figure xyo 显然显然f(x)在在,上上满足收敛定理条件满足收敛定理条件.处收敛于处收敛于级数在级数在的的可见可见0
4、Fourier)(xxf;02)(2)00()00(aaff处收敛于处收敛于在在 x;022)0()0(aaff ).(0,0 xfxx时收敛于时收敛于在在 由于由于f(x)在在,上为奇函数上为奇函数,故故Fourier级数为正弦级数级数为正弦级数.,0 nadxnxabn 0sin2 nan)1(121 xxxaxanxnann,0 ,00 ,0 ,sin)1(1211.,0 ,00 ,0 ,12)12sin(41 xxxaxanxnan即即定理定理 2.设设f(x)是以是以2l为周期的周期函数为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件且满足收敛定理的条件,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf
5、则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数),2,1(n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数),2,1,0(n与余弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数上的函数展成正弦级数定义在定义在二二,0 .若若f(x)在在0,上满足收敛定理的条件上满足收敛定理的条件,则可展成则可展成Fourier级数级数.具体作法分两种情况进行具体作法分两种情况进行:1.将将f(x)在在0,上展成正弦级数上展成正弦级数.具体步骤是具体步骤是:上的奇函
6、数上的奇函数为为使使上补充定义得到上补充定义得到在在奇延拓奇延拓,)(),(0,:(1)xFxF(2)对对F(x)作周期延拓作周期延拓(3)将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成 Fourier级数，必为正弦级数级数，必为正弦级数,0(4)的取值范围为的取值范围为限制限制x(5)对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况2.将将f(x)在在0,上展成余弦级数上展成余弦级数.具体步骤是具体步骤是:上的偶函数上的偶函数为为使使上补充定义得到上补充定义得到在在偶延拓偶延拓,)(),(0,:(1)xFxF(2)对对F(x)作周期延拓作周期
7、延拓(3)将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成 Fourier级数，必为余弦级数级数，必为余弦级数,0(4)的取值范围为的取值范围为限制限制x(5)对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况Example2.,0,)(2与余弦级数与余弦级数分别展为正弦级数分别展为正弦级数将将 xxxfSolution.(1)将将f(x)作奇延拓作奇延拓,再作周期延拓再作周期延拓.See Figure xyo 处收敛于处收敛于级数在级数在的的可见可见 xxfFourier)(;022)0()0(22 ff).(0 xfx时收敛于时收敛于在在 ,0
8、 na且且dxnxxbn 02sin2)2()1(22233nnnn xxxnxnnnnn ,00 ,sin)2()1(2221233(2)将将f(x)作偶延拓作偶延拓,再作周期延拓再作周期延拓.See Figure xyo 可见可见f(x)的的Fourier级数收敛于级数收敛于f(x).,0 nb且且dxnxxan 02cos224)1(nn 2020322 dxxa)0(cos)1(431222 xnxnxnn与余弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数上的函数展成正弦级数定义在定义在三三,0 .l若若f(x)在在0,l上满足收敛定理的条件上满足收敛定理的条件,则可展成则可展成Fourier级
9、数级数.具体作法分两种情况进行具体作法分两种情况进行:1.将将f(x)在在0,l上展成正弦级数上展成正弦级数.具体步骤是具体步骤是:上的奇函数上的奇函数为为使使上补充定义得到上补充定义得到在在奇延拓奇延拓,)(),(0,:(1)llxFxFl (2)对对F(x)作周期延拓作周期延拓(3)将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数级数,sin1 nnlxnb 必为必为dxlxnxflbln 0sin)(2 且且,0(4)lx的取值范围为的取值范围为限制限制(5)对收敛性进行讨论对收敛性进行讨论2.将将f(x)在在0,l上展成余弦级数上展成余弦级数.具体
10、步骤是具体步骤是:上的偶函数上的偶函数为为使使上补充定义得到上补充定义得到在在偶延拓偶延拓,)(),(0,:(1)llxFxFl (2)对对F(x)作周期延拓作周期延拓(3)将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数级数,cos210 nnlxnaa 必为必为dxlxnxflaln 0cos)(2 且且,0(4)lx的取值范围为的取值范围为限制限制(5)对收敛性进行讨论对收敛性进行讨论Example3.2 20 )(数数展为正弦级数与余弦级展为正弦级数与余弦级将将 lxlxllxxxfSolution.(1)将将f(x)作奇延拓作奇延拓,再作周期延拓
11、再作周期延拓.See Figure xyol l ).(,0Fourier)(xflxf上收敛于上收敛于级数在级数在的的可见可见,0 na且且dxlxnxflbln 0sin)(2 dxlxnxldxlxnxllll 220sin)(sin2 2sin422 nnl)0(sin2sin4)(122lxlxnnnlxfn (2)将将f(x)作偶延拓作偶延拓,再作周期延拓再作周期延拓.See Figure xyol l ).(,0Fourier)(xflxf上收敛于上收敛于级数在级数在的的可见可见,0 nb且且dxlxnxflaln 0cos)(2 dxlxnxldxlxnxllll 220cos
12、)(cos2 )1cos2cos2(222 nnnl2)(22200ldxxldxxlalll )0(cos1cos2cos224)(122lxlxnnnnllxfn 级数级数成成非对称区间上的函数展非对称区间上的函数展四四Fourier .对于非对称区间上的函数，只要作适当的变量替换将对于非对称区间上的函数，只要作适当的变量替换将非对称区间转化为对称区间，再按前面介绍的情形展非对称区间转化为对称区间，再按前面介绍的情形展成成Fourier级数级数,最后代回原来的变量即得所求最后代回原来的变量即得所求.Example4.Fourier232 22 )(级数级数展开成展开成将将 xxxxxfSo
13、lution.由于由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作为非对称区间上的函数，故应作变量替换将其转化为对称区间上的函数变量替换将其转化为对称区间上的函数.得得令令,2 xz zzzzzfxf0 ,20 ,2)2()()(zF zyo F(z)在在,上满足收敛定理的条件，它在每一点都上满足收敛定理的条件，它在每一点都连续，它的连续，它的Fourier级数在级数在,上收敛于上收敛于F(z).0)2(1)2(1000 dzzdzza 00cos)2(1cos)2(1nzdzznzdzzan 2)1(1 2nn 0sin)2(1sin)2(100 nzdzznzdzzbn 12cos)1(1 2)(
14、nnnznzF)(z)232(),2(cos)1(1 2)(12 xxnnxfnn故故Example5.Fourier)155(10)(级数级数展开成展开成将将 xxxfSolution.由于由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作为非对称区间上的函数，故应作变量替换将其转化为对称区间上的函数变量替换将其转化为对称区间上的函数.得得令令,10 xzzzfxf )10()()(zF )55(zzyo5 5 F(z)在在(5,5)上满足收敛定理的条件，它在每一点都上满足收敛定理的条件，它在每一点都连续，它的连续，它的Fourier级数在级数在(5,5)上收敛于上收敛于F(z).05cos)(515
15、5 dzznzan 555sin)(51dzznzbn nn10)1(15sin10)1()(nnznnzF )55(z 1)10(5sin)1(10)(nnxnnxf 从而从而)5105(x)155(,5sin)1(10)(1 xxnnxfnn 即即Example6.3,3Fourier6,30 32203 )(上的和函数的表达式上的和函数的表达式级数在级数在的的为周期为周期写出以写出以设设 xxxxxfSolution.f(x)的的Fourier级数在级数在 x=0 处收敛于处收敛于;12022)00()00(ff;232)3(222)03()03(3 ffx处收敛于处收敛于在在在在 3x
16、3与与0 x3时时,收敛于收敛于f(x).所以所求的和函数的表达式为所以所求的和函数的表达式为:3 ,230 ,130 ,32203 ,)(xxxxxxxS一、内容小结一、内容小结1.数项级数数项级数 正项级数正项级数 交错级数交错级数 任意项级数任意项级数 2.幂级数幂级数 幂级数的收敛半径与收敛域幂级数的收敛半径与收敛域 幂级数的和函数与数项级数的和幂级数的和函数与数项级数的和 将函数展开成将函数展开成Taylor级数级数 3.Fourier级数级数 周期函数展开成周期函数展开成Fourier级数级数 0,上的函数展开成正上的函数展开成正(余余)弦级数弦级数 非对称区间上的函数展成非对称区
17、间上的函数展成Fourier级数级数 Fourier级数的和函数级数的和函数 1.判别数项级数的敛散性判别数项级数的敛散性 2.求幂级数的收敛半径与收敛域求幂级数的收敛半径与收敛域 3.求幂级数的和函数求幂级数的和函数 4.将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数 6.将函数展开成将函数展开成Fourier级数级数7.求求Fourier级数的和函数级数的和函数 二、常见题型二、常见题型5.求数项级数的和求数项级数的和 Example7.).1(,)1(41)()(nfxxxxf并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成将将 Solution.)1(3141 xx 31131x 03131nnx 0313
18、1)1(41nnxxxx 0131nnx 0113)1(nnnx421311 xx得得由由,3)1(42011都发散都发散时时或或且当且当 nnnxx)42(,3)1(41)(011 xxxxxfnnn由由Taylor系数公式可得系数公式可得,!)1()(nfnn31.3!)1()(nnnf Example8.!12的和函数的和函数求幂级数求幂级数 nnxnnSolution.,011lim!)!1()1(limlim221 nnnnnaannnnn,R).,(收敛域为收敛域为 12!)(nnxnnxS设设 12!nnxnnnn 1!)1(nnxnnnn 11)!1(1!)1(nnnnxnxnnn 11122)!1(1!)1(nnnnxnxxnnnx 012!nnnnnxxnxx 002!1!nnnnnxxnxxxxxeex )1(2xxxeex 2The end
