1、4 差分法建模实现中的问题通常是连续变化,但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述.为了表述这一类数学模型,本章引入了差分方程建模方法.差分方程定义:对一实数数列xn,称形如的方程为线性差分方程,其中an,an-1,.,an-k是实数,an0,an-k0,整数k称为差分方程的阶.例如xn-xn-1-xn-2=0,n2就是一个2阶差分方程.bxaxaxaknknnnnn11若给定初值,可通过迭代的方法求出有限项的值.例如,若则有x2=2,x3=3,x4=5,.1,1,2,1021xxnxxxnnn线性差分方程的解有没有办法求出差分方程的解?对于二阶线性差分方程的解,有下面的结论:设二阶线
2、性差分方程axn+bxn-1+cxn-2=0,n2其中a,b,c为实数,且a,c非零.它的特征方程为a2+b+c=0,特征根为1,2.则有1.若1 2且都为实数,则2.若1=2,则3.若1,2为一对共轭的虚根,即1=+i,2=-i,则其中.2211nnnccx.)(121nnnccx,sincos21nrcnrcxnnn.arctan,22r线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性差分方程xk+1+axk=b,的平衡点由x+ax=b解得,为x*=b/(1+a).若 ,则称平衡点x*是稳定的,否则称x*是不稳定的.*limxxnn显然,若数列xn收敛,则必有 .又因为
3、xn=anx0+anb.当|a|1时,xn收敛,此时平衡点x*=b/(1+a)是稳定的.*limxxnn二阶线性差分方程的平衡点及稳定性二阶线性差分方程xk+2+a1xk+1+a2xk=b,的平衡点为方程x+a1x+a2=b的解x*.若 ,则称平衡点x*是稳定的,否则称x*是不稳定的.*limxxnn其对应的齐次方程的特征方程为2+a1+a2=0,记它的要根为1,2,则当且仅当|1|1且|2|1时平衡点x*是稳定的.一阶非线性差分方程若 f(x)为非线性函数,形如xk+1=f(xk),的方程称为一阶非线性差分方程.方程x=f(x)的解称x*为平衡点平衡点.若 ,则称平衡点x*是稳定的,否则称x
4、*是不稳定的.*limxxnn1.当 时,x*是稳定的.2.当 时,x*是不稳定的.1|*)(|xf1|*)(|xf-4-3-2-101234-4-3-2-101234-4-3-2-101234-4-3-2-101234例1 贷款还款问题现有一笔p万元的贷款，贷款期是n年，年利率为r.若采用等额本息（即每月还款数相同）的方式逐月偿还，问每月还款的数额是多少？假设设第k个月欠款数为xk,月还款m元，月利率为r1.模型建立根据还款及欠款的数量变化关系有即初始条件为,11kkkxmxrx.)1(11mxrxkk.0px 模型求解直接求解得到令xk=0,求得这就是每月还款数的计算公式.例如,当p=10
5、000,r1=0.00521255,k=24时,m=444.3563,总还款额10664.5508.1)1()1(111kkkrrmrpx.1)1()1(111kkrrprm进一步讨论若采用等额本金的方式逐月偿还(即每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减),问各月份所需要偿还的金额是多少?例2 养老保险养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司为客户提供各种不同的方案以供选择.请你分析保险品种的实际投资价值.若某人从25岁起投保,每月交费200元,到60岁停止交费并开始领取养老金,每月2282元.求该投保人的收益率.假设设60岁前每月所交保费为p,60岁后每月领取养老金为q.交保费的总月数为n
6、,领取养老金的总月数为m.每月的收益率为r.到第k月止所交保费及收益的累计总额为xk.模型建立根据xk的变化规律,有.1,1,)1(,1,1,0,)1(11mnnnkqxrxnkpxrxkkkk模型求解易求得通解为利用x0=0可得.1,1,1)1()1(,1,1,0,1)1()1(01mnnnkrrqrxnkrrprxxkknkkk.1,)1)()1(1,1,1,0,1)1(11mnnkqrqprprnkrrpxnkkkk当k=m+n-1时,xk=0,因此解此方程可得收益率r.取p=200,q=2282,n=3512,m=1512,解得r=0.00485.取p=200,q=1056,n=251
7、2,m=1512,解得r=0.00461.,0)1)()1(112qrqprprmmn例3 减肥计划某人体重100kg,目前每周吸收20000kcal的热量,体重维持不变.现欲减肥到75kg.1.在不运动的情况下安排一个两阶段计划.第一阶段:每周减肥1kg,每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限10000kcal.第二阶段:每周吸收热量保持10000kcal,减肥达到目标.2.若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划.3.给出达到目标后维持体重的方案.跑步跑步跳舞跳舞乒乓球乒乓球自行车自行车游泳游泳7.03.04.42.57.9每小时每千克体重消耗的热量(kcal)假设1.第k周体重为wk,吸收
8、的热量为ck.2.除了正常代谢及运动消耗的热量之外,人体过多的热量将转换为脂肪,每1kcal的热量转换的脂肪为常数千克.3.人体因代谢消耗的热量导致体重下降与体重成正比,比例系数为.模型建立在第一阶段,由于体重的变化仅与吸收的热量与消耗的热量有关,根据体重的变化关系,有.11kkkkwcww模型求解 首先求代谢消耗系数.当体重为100kg,每周吸收20000kcal热量时,体重不变,所以因此有.10020000100100.200下面求第一阶段每周吸收的热量.由于每周减1kg,所以,11kkww,11kkwc.1)(200101kwwckk当吸收的热量达到下限cm时,所用的周数为当w0=100,cm=10000,=1/8000时,k=10.即第一阶段用10周,第k周吸收的热量为ck=12000-200k,k=0,1,2,.,9.2001200m0cwk第二阶段,每周吸收的热量保持下限cm,使体重减至75kg,第k周体重变化关系为解得令wk=wm,解得.m1kkkwcww.,2,1,0,1)1()1(m0kcwwkkk.)-ln(1ln0mmmwcwck当w0=90,cm=10000,=1/8000,wm=75时,k=18.5641517519,按照这样的方案,第二阶段需要用19周可以达到目标.
