1、3 向量组的秩向量组的秩矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应Ax=b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A的列向量组线性表示的列向量组线性表示课本课本P.88定理定理4：向量组向量组 A：a1,a2,am 线性相关线性相关的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 A=(a1,a2,am)的秩的秩小于小于向量的个数向量的个数 m；向量组向量组 A：a1,a2,am 线性无关线性无关的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 A=(a1,a2,am)的秩的秩等于等于向量的个数向量的个数 m 矩阵矩阵线性
2、线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示向量组与自己的向量组与自己的最大无关组等价最大无关组等价 n元线性方程组元线性方程组 Ax=b其中其中 A 是是 nm 矩阵矩阵矩阵矩阵 (A,b)向量组向量组 A:a1,a2,an 及向量及向量 b是否存在解？是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？成立？向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A线性表示？
3、线性表示？无解无解R(A)R(A,b)NO有解有解R(A)=R(A,b)YESx 的分量是线性组合的系的分量是线性组合的系数数唯一解唯一解R(A)=R(A,b)=未知数个数未知数个数表达式唯一表达式唯一无穷解无穷解R(A)=R(A,b)未知数个数未知数个数表达式不唯一表达式不唯一回顾：矩阵的秩回顾：矩阵的秩定义：定义：在在 mn 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列(k m，kn)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A 的的 k 阶子式
4、阶子式规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)结论：结论：矩阵的秩矩阵的秩=矩阵中最高阶非零子式的阶数矩阵中最高阶非零子式的阶数=矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念向量组的秩的概念定义：定义：设有向量组设有向量组 A，如果在，如果在
5、A 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1,a2,ar，满足，满足 向量组向量组 A0：a1,a2,ar 线性无关；线性无关；向量组向量组 A 中任意中任意 r+1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有r+1个向量的个向量的话）都线性相关；话）都线性相关；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大线性无关向量组最大线性无关向量组，简称简称最大无关组最大无关组最大无关组所含向量个数最大无关组所含向量个数 r 称为称为向量组向量组 A 的秩的秩，记作，记作RA 例：例：求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式21112112144
6、622436979A 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A)=3 2111211214112140111046224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B 0124021
7、1111111011(,)462001367000rAa a aB R(A0)=3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式21111180462 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的是唯一的事实上，事实上，n根据根据 R(A0)=3 可知：可知：A0的的 3 个列向量就是个列向量就是矩阵矩阵 A 的列向量组的一的列向量组的一个线性无关的部分组个线性无关的部分组n在矩阵在矩阵 A 任取任取 4 个列向量个列向量，根据，根据 R(A)=3 可
8、知：可知：A中所有中所有4 阶子式阶子式都等于零，从而这都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这，即这 4 个个列向量列向量线性相关线性相关nA0的的 3 个列向量就是个列向量就是矩阵矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组的列向量组的一个最大线性无关组n矩阵矩阵 A 的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于 3n同理可证，矩阵同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于 301240211111111011(,)462001367000rAa a aB 矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵
9、有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示一般地，一般地，n矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理定理6）一般地，一般地，n矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理定理6）n今后，向量组今后，向量组 a1,a2,am 的秩也记作的秩也记作 R(a1,a2,am)
10、n若若Dr 是矩阵是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的列向量组的一个最大无关组，的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行的行向量组的一个最大无关组向量组的一个最大无关组n向量组的最大无关组一般是不唯一的向量组的最大无关组一般是不唯一的例：例：已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组及向量组a1,a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1,a2)=2，故向量组，故向量组 a1,a2 线性无关，线性无关，同时，同时，R(a1,a2,a3)=2，故向量组，故向量组 a1,a
11、2,a3 线性相关，线性相关，从而从而 a1,a2 是向量组是向量组 a1,a2,a3 的一个最大无关组的一个最大无关组事实上，事实上，a1,a3 和和 a2,a3 也是最大无关组也是最大无关组1231021,2,4,157aaa 102102124 022157000r最大无关组的等价定义最大无关组的等价定义结论：结论：向量组向量组 A 和它自己的最大无关组和它自己的最大无关组 A0 是等价的是等价的定义：定义：设有向量组设有向量组 A，如果在，如果在 A 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1,a2,ar，满足，满足 向量组向量组 A0：a1,a2,ar 线性无关；线性无关；向量组向量组
12、A 中任意中任意 r+1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有 r+1个向量的个向量的话）都线性相关；话）都线性相关；向量组向量组 A 中任意一个向量都能由向量组中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；线性表示；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性
13、表示向量组与自己的向量组与自己的最大无关组等价最大无关组等价最大无关组的意义最大无关组的意义结论：结论：向量组向量组 A 和它自己的最大无关组和它自己的最大无关组 A0 是等价的是等价的l用用 A0 来代表来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体全体特别，当向量组特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来为无限向量组，就能用有限向量组来代表代表l凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去立即可推广到无限向量组的情形中去例：例：全体全体 n 维向量构成的向
14、量组记作维向量构成的向量组记作 Rn，求，求 Rn 的一个最大的一个最大无关组及无关组及 Rn 的秩的秩解：解：n 阶单位矩阵阶单位矩阵 的列向的列向量组是量组是 Rn 的一个最大无关组，的一个最大无关组，Rn 的秩等于的秩等于n 思考：思考：上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组是的列向量组是 Rn 的的一个最大无关组吗？一个最大无关组吗？12100010,001nEe ee111011001A 例：例：设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的通解是的通解是试求全体解向量构成的向量组试求全体解向量构成的向量组 S 的秩的秩1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx 1212
15、3434231001xxccxx 例：例：求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式21112112144622436979A 例：例：设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组的列向量用最大无关组线性表示21112112144622436979A 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的
16、第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A)=3 2111211214112140111046224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B R(A0)=3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式21111180462 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式A0的的 3 个列向量就是个列向量就是矩阵矩阵 A 的列向量组的一个最大无关
17、组的列向量组的一个最大无关组01240211111111011(,)462001367000rAa a aB 123452111211214(,)4622436979Aa a a a a 思考：思考：如何把如何把 a3,a5 表示成表示成a1,a2,a4 的线性组合？的线性组合？思路思路1：利用利用P.83 定理定理1 的结论的结论思路思路2：利用矩阵利用矩阵 A 的的行最简形矩阵行最简形矩阵向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解 令令 A0=(a1,a2,a4)求解求解 A0 x=a3 A0 x=a5解（续）：解（续）：为把为把 a3,
18、a5 表示成表示成a1,a2,a4 的线性组合，把矩阵的线性组合，把矩阵 A 再变成再变成行最简形矩阵行最简形矩阵2111210104112140110346224000133697900000rAB 于是于是 Ax=0 与与 Bx=0，即，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0 x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0 同解同解即矩阵即矩阵 A 的的列向量组列向量组与矩阵与矩阵 B 的的列向量组列向量组有相同的线性关系有相同的线性关系.2111210104112140110346224000133697900000rAB 可以看出：可以看出：b3=b1 b2 b5=4b1+3b2 3b4所以所以a3=a1 a2 a5=4a1+3a2 3a4
