1、2022-11-111一、定轴转动的转动定理一、定轴转动的转动定理*定轴转动的转动定理 JMz两类问题：两类问题：1、圆盘、滑轮、圆环、球等的定轴转动。、圆盘、滑轮、圆环、球等的定轴转动。2、细杆的定轴转动。、细杆的定轴转动。刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动2022-11-112例：例：求求a，T，。m,Rm1m2T1T2mgTm1gm2gT1T2JRTTamgmTamTgm)(212222111122121mRJRaa2022-11-113gmmmmmmTgmmmmmmTRgmmmmmgmmmmma221121212121212121222 2222 22022-11-114例：长例：长
2、l质量质量m的杆可绕过一端的水平轴转动。杆从水平静止开的杆可绕过一端的水平轴转动。杆从水平静止开始转动，当转到与水平位置成始转动，当转到与水平位置成角时，角加速度角时，角加速度，角速度角速度和质和质心加速度心加速度ac为多少？此时杆对轴的作用力为多少？为多少？此时杆对轴的作用力为多少？mgNyNxlo解：解：231 cos23g cos2 )1(lmJlJlmgsin23 ,cos43 )3(2glaglacnct22JJ3gsin dcos23d dddddd )2(00gtt2022-11-115)cos43sin231(cossin49 sinsincos coscossin )4(22
3、mgNmgNmamgNNmamgNNyxcnyxctyx讨论：讨论：(1)如果如果=0,;41 ;0 ;0 ;43 ;0 ;230mgNNagagyxcnctJ(2)如果如果=/2,mgNNgaagyxcnct25 ;0 ;23 ;0 ;3 ;00J2022-11-116例：求打击中心的位置。例：求打击中心的位置。解：假定打击中心在距轴解：假定打击中心在距轴r0处，处，FtFnmgF023120cyncxtmamgFlmmaFFmlFrmgFlrFFnt),231(0lrFt32 ,002022-11-117二、角动量守恒角动量守恒 dd tLMz理由定轴转动的角动量定 dd ,dd 000L
4、LLtMLtMtLLzz如果外力矩如果外力矩Mz等于零，则等于零，则L=L0，角动量守恒。角动量守恒。1、00JJ2、0LL2022-11-118例例9：v0v解：动量守恒么？解：动量守恒么？角动量守恒么？角动量守恒么？lmJlmL0000vv203141MllmJlmLvvMlmLL49 ,00v2022-11-119三、刚体的平面平行运动三、刚体的平面平行运动 刚体的平面平行运动可以刚体的平面平行运动可以视为质心的平动和绕过质心的视为质心的平动和绕过质心的轴的转动的合成。轴的转动的合成。1、平面平行运动平面平行运动2022-11-1110 （1）、动力学方程）、动力学方程质心系）绕质心的转
5、动质心运动定理（二维）(cccJMamF质心平动质心平动绕质心转动绕质心转动2022-11-1111 （2）、动能）、动能kcckEJE221 （3）、角动量）、角动量ciiccvmvmPJL ,PrLLcccTBvcmcTBvcm+cTBvcm2vcm=vcm2022-11-1112例：求剪断一根绳时另一根绳中的张力。例：求剪断一根绳时另一根绳中的张力。m,2lTmg解一：解一：lamlJJTlmaTmgcccc ,312mgT41解二，用转动定理解二，用转动定理mgTlmmaTmglgmlJJmglct41 ,43 ,34 ,2质心平动质心平动绕质心转动绕质心转动2022-11-1113例
6、：细杆在光滑水平面上，与质点完全弹性碰撞，求碰后的运例：细杆在光滑水平面上，与质点完全弹性碰撞，求碰后的运动情况。动情况。m,v0M2l解解：22222120102103121212121mlJJMmmJmlmlMmmcccvvvvvvvvMmmMmMmMmlm42 ,4)4(,)4(602010vvvvv2022-11-11142、滚动、滚动 纯滚动纯滚动纯滚动的条件：纯滚动的条件：s=R，质心移动的距离也是质心移动的距离也是s，vc=R，ac=R。2022-11-1115 滚动中摩擦力的作用：滚动中摩擦力的作用：yxNmgf0cos sinN-mgmafmgc例：已知例：已知m，R，纯滚动
7、，求，纯滚动，求ac，。解：解：221mRJfRRac.sin31 ;sin32 ;sin32mgfRggac可得：2022-11-1116讨论讨论:(1)acgsin，即小于直接滑下的加速度。即小于直接滑下的加速度。(2)加速滚动需要摩擦力。加速滚动需要摩擦力。fmax=N=mgcos，当当f fmax，最大静摩擦力小于纯滚动所需的摩擦力，最大静摩擦力小于纯滚动所需的摩擦力，则必然有滑动。若则必然有滑动。若=0，则只滑不滚。，则只滑不滚。.sin31 ;sin32 ;sin32mgfRggac 若滚动的是球，若滚动的是球，J=2mR2/5，则，则ac=5gsin/7，与球的质量和，与球的质量
8、和半径无关。半径无关。2022-11-1117 纯滚动中摩擦力不作功纯滚动中摩擦力不作功例：求圆柱体从例：求圆柱体从h高的斜面滚到底部时的速度和角速度。高的斜面滚到底部时的速度和角速度。Nmgf解：222222234)(;34 2121 ,RghRghRJMEMghEcmcmcmcmcmfivvvv2022-11-1118例例3.16例例3.17RamRfRFRmafFcc221mamgTrmrTrTrmrTamTgmc22232222112111111121211122raarac2022-11-1119习题习题3.55：圆柱体圆柱体M=4.0kg,R=0.10m,斜面斜面=37,忽略滑轮的
9、质量忽略滑轮的质量,重物重物m=1.0kg.求求(1)重物的加速度重物的加速度a,(2)圆柱体的质心加速度和角加圆柱体的质心加速度和角加速度速度,(3)圆柱体和斜面间的摩擦圆柱体和斜面间的摩擦力。力。解：TfNMg221)(sinMRRfTMaMgfTmaTmgcmcmcmaaRa2N4.11,rad/s0.4,m/s0.8,m/s0.4222faacm2022-11-1120习题习题3.57：如图，以加速度如图，以加速度a0上升的升降机中，滑轮和上升的升降机中，滑轮和圆柱体的半径圆柱体的半径R。求相对升降机的物体加速。求相对升降机的物体加速度和圆柱的质心加速度；绳中的张力。度和圆柱的质心加速
10、度；绳中的张力。解：22220111201RaaJRTMaTMaMgRaJRTRTmamamgTccT1T1T2T2mgMgMgTma0Ma02022-11-1121 四、回转运动四、回转运动 不受外力矩的陀螺仪，角动量守恒，转动不受外力矩的陀螺仪，角动量守恒，转动轴线的方向不变。轴线的方向不变。受到外力矩作用的陀螺会产生回转效应，叫进受到外力矩作用的陀螺会产生回转效应，叫进动。动。2022-11-1122LMMMLLL+LLLL+L角动量的改变包括其大小的改变和方向的改变。角动量的改变包括其大小的改变和方向的改变。tLMdd2022-11-1123LMmgrM and ;sintMtLttL
11、LtLMd)()d(d ;ddLM .2判断进动方向的方法：判断进动方向的方法：1、进动方向与、进动方向与M的方向一致。的方向一致。为进动角速度为进动角速度找出外力矩找出外力矩M和自转角动量和自转角动量L,2022-11-1124习题习题 3.61，3.62:判断进动的方向。判断进动的方向。垂直纸面向里。垂直纸面向外。2022-11-1125 一、伽利略变换一、伽利略变换 PXX YY ZZ OO xx),(),(zyxzyx ut系系K系系K 基本假设ttzzyyutxxzzyyxxuvvvvvvaaaaaaaazzyyxxFamamF狭义相对论狭义相对论2022-11-1126 二、爱因斯
12、坦的基本假设二、爱因斯坦的基本假设相对性原理：所有惯性系都是等价的，所相对性原理：所有惯性系都是等价的，所有物理规律在惯性系中都是一样的。有物理规律在惯性系中都是一样的。光速不变原理：在所有惯性系中测量到的光速不变原理：在所有惯性系中测量到的真空中的光速都是一样的。真空中的光速都是一样的。第一条假设推广了力学的相对性原理，否定了第一条假设推广了力学的相对性原理，否定了“绝对参照绝对参照系系”的存在。的存在。第二条假设与实验事实相符，与伽利略变换不相容，表明第二条假设与实验事实相符，与伽利略变换不相容，表明要用新的变换代替。要用新的变换代替。2022-11-11272222211cucuxttz
13、zyycuutxx2222211cucxuttzzyycut uxx 三、洛伦兹变换（坐标变换）三、洛伦兹变换（坐标变换）PXX YY ZZ OO xx),(),(zyxzyx ut系系K系系K 2022-11-11282222211cucuxttcuutxx2222211cucxuttcut uxx PXX YY ZZ OO xx),(),(zyxzyx ut系系K系系K 2022-11-1129间隔变换间隔变换 2222211cucxuttcutuxx 2222211cucxuttcutuxx计计算算！然然后后直直接接代代入入上上述述公公式式、及及、系系中中的的解解题题时时先先写写出出不不
14、同同惯惯性性txtx 12121212 ,ttttttxxxxxx2022-11-1130解：按伽利略变换解：按伽利略变换【例例4.1】u0.80c，t1.0106s，x30m，求，求K系中观察系中观察闪光发生在何时何地。闪光发生在何时何地。m450122cut uxxs108.116222cucxuttm270s100.16t uxxtt按洛伦兹变换按洛伦兹变换2022-11-1131【例例4.3】一飞船以一飞船以u0.80c相对地球匀速直线运动，宇航员相对地球匀速直线运动，宇航员测得飞船长度为测得飞船长度为30m。现从船尾发射一粒子弹，击中船头靶。现从船尾发射一粒子弹，击中船头靶子，宇航员
15、测得经历时间子，宇航员测得经历时间2.0 107s。求地球上的观察者测得。求地球上的观察者测得的子弹飞行的距离。的子弹飞行的距离。v0u ooo解：取地球为解：取地球为K系，飞船为系，飞船为K系，系，s100.2 ,m30,:72211txtxtxK）中靶（中靶（）发射（发射（）中靶（）发射（2211,:txtxKm130/122cutuxx2022-11-1132狭义相对论时空观狭义相对论时空观0 ,00/1)()(121212222121212ttttxxcucxxutttt则时，若当 在一个惯性参照系中同时发生的两个事件在另一个惯性参在一个惯性参照系中同时发生的两个事件在另一个惯性参照系
16、中看是不同时的。照系中看是不同时的。ttxx 1、同时的相对性：、同时的相对性：新的时空观新的时空观 2022-11-1133 2、时间膨胀：、时间膨胀：221222122221211 ,01cuttcuttxxxcucxutttt如果2201cutt t=t0最短，为原时，是同一地最短，为原时，是同一地点记录的时间间隔。点记录的时间间隔。同一地点同一地点的钟记录的时间最短。的钟记录的时间最短。2022-11-1134 两个惯性系中记录的时间间隔不同。运动的钟比静止的钟两个惯性系中记录的时间间隔不同。运动的钟比静止的钟走得慢。走得慢。时间膨胀：，时间膨胀：，原时原时是在是在同一地点同一地点发生
17、的两个事件之间的时发生的两个事件之间的时间间隔。与发生事件的地点有相对运动的观察者测得该事件经间间隔。与发生事件的地点有相对运动的观察者测得该事件经历的时间变长。历的时间变长。2022-11-11353、长度收缩、长度收缩22121cutuxxxx221cuxxx最长，是最长，是在相对杆静止的惯性系中在相对杆静止的惯性系中测量的长度，称为原长。测量的长度，称为原长。静止的杆长度最长；运动的杆长度收缩静止的杆长度最长；运动的杆长度收缩2201cull2212221211 ,0cuxxcuxxttt若2022-11-1136在在K系中测量杆长，系中测量杆长，12xxx在在K系中测量杆长，必须系中测
18、量杆长，必须同时同时测测出出x1和和x2，即，即t2 t1。220221 1cullcuxx,012ttt长度收缩：当物体和测量者有相对运动时，测量者测得物体沿长度收缩：当物体和测量者有相对运动时，测量者测得物体沿运动方向的长度变短。运动方向的长度变短。2022-11-1137习题习题4.9：米尺在：米尺在K系中静止，与系中静止，与x轴成轴成30度角。在度角。在K系中尺与系中尺与x轴成轴成45度角。求：度角。求：（1）K系相对系相对K系的运动速度；（系的运动速度；（2）K系中米尺的长度。系中米尺的长度。m2130sin m,2330cos0000llllyx解解：K系中尺长系中尺长l01.0m
19、，K系中系中cullllcucullxyyyxx816.045tan/m21 m,1231022220m71.022yxlll2022-11-1138习题习题4.11：实验室中一粒子以：实验室中一粒子以0.80c的速度飞行的速度飞行3.0m后衰变掉。后衰变掉。求：求：（1）实验室参考系中此粒子的寿命；（实验室参考系中此粒子的寿命；（2）与此粒子相）与此粒子相对静止的参考系中此粒子的寿命。对静止的参考系中此粒子的寿命。解：实验室参考系中粒子寿命解：实验室参考系中粒子寿命s1025.18xvxt与此粒子相对静止的参考系中为原时：与此粒子相对静止的参考系中为原时：s1075.018220cutt20
20、22-11-11392201cmmv质速关系质速关系2022-11-11402202mccmmcEk动能动能2202200221 vvmEccmmcEcmEmcEkk时，动能，静止能量总能量2002 cmEmcE质能关系质能关系2022-11-1141例例4.5：v10.60c，m12.091027 kg，求，求m0。若若v20.98c，求求m2。解：解：2201cmmvkg1067.112722110cmmvkg1041.8/12722202cmmv例例4.6：m09.111031 kg，求，求E0。若电子以。若电子以v10.99c运动，运动，求求E和和Ek。J1099.4J1081.5/1
21、/1J1019.813202132202220214200cmmcEcEccmmcEcmEkvv解：解：2022-11-1142220222)(cmcpE 20cmpcE2022-11-1143【例题例题】两个相同的粒子，静质量为两个相同的粒子，静质量为 m0，粒子静止，粒子，粒子静止，粒子以以 0.6c 的速率向碰撞，设碰撞是完全非弹性的，求碰撞的速率向碰撞，设碰撞是完全非弹性的，求碰撞后复合粒子的运动速度和静止质量。后复合粒子的运动速度和静止质量。解：碰撞前后动量、质量、能量均守恒。碰撞前解：碰撞前后动量、质量、能量均守恒。碰撞前2022202002200220025.2)6.0(175.
22、06.0)6.0(125.2)6.0(1cmcccmcmEcmcccmpmccmmm 2022-11-1144【例题例题】两个相同的粒子，静质量为两个相同的粒子，静质量为 m0，粒子静止，粒子，粒子静止，粒子以以 0.6c 的速率向碰撞，设碰撞是完全非弹性的，求碰撞的速率向碰撞，设碰撞是完全非弹性的，求碰撞后复合粒子的运动速度和静止质量。后复合粒子的运动速度和静止质量。设碰撞后复合粒子的运动速度为设碰撞后复合粒子的运动速度为 u、静止质量为、静止质量为0m ccmcmmpumup33.03125.275.0 ,0002012.21mcumm 2022-11-1145解题指导解题指导（1）选定）
23、选定K系和系和K系，写出事件在两个参考系中的时空坐系，写出事件在两个参考系中的时空坐标，然后进行洛伦兹变换。标，然后进行洛伦兹变换。（2）长度收缩效应中，测量运动物体的长度必须）长度收缩效应中，测量运动物体的长度必须同一时间同一时间测测量物体两端的坐标。量物体两端的坐标。原长原长是在物体静止的参考系中测得的长是在物体静止的参考系中测得的长度。度。（3）时间延缓效应中，）时间延缓效应中，原时原时是在是在同一地点同一地点发生的两个事件之发生的两个事件之间的时间间隔。与发生事件的地点有相对运动的观察者测得该间的时间间隔。与发生事件的地点有相对运动的观察者测得该事件经历的时间延长。事件经历的时间延长。
24、222221 ,1cucxuttcutuxx2022-11-1146（同时）（同时）同地）同地）0 1 0 1 1 0(1 (0 0000000022222222LLLLttttttxxcucucucu2022-11-1147在相对论中，vvv02202121mpmEmEkk2022-11-1148TQSdd则对任意的可逆过程可逆过程，从状态1到状态2，2112dTQSS熵的单位：J/K，热温比，Entropy。熵熵一、熵一、熵 不可逆过程表明两种状态之间一定有某种本质的差别，不可逆过程表明两种状态之间一定有某种本质的差别，反映这种差别的状态函数就是反映这种差别的状态函数就是2022-11-1
25、149A1B与与A2B是两个可逆过程是两个可逆过程poVAB12TQSTQSSSBAABddd二、熵变的计算二、熵变的计算定义：对一个定义：对一个可逆过程可逆过程2022-11-115012212121lndddTTCTTCTTCTQSVVV等体过程：等体过程：12212121lndddTTCTTCTTCTQSPPP等压过程：等压过程：122121lnd1d1d21VVRVVRTTQTTQSVV等温过程：等温过程：0,0dSQ绝热过程：绝热过程：对可逆相变对可逆相变 S=Q/T，其中其中Q为相变热。为相变热。对我们熟悉的四个可逆过程对我们熟悉的四个可逆过程2022-11-1151 不可逆过程熵
26、变的计算不可逆过程熵变的计算 熵的计算是对可逆过程而言的，对不可逆过程，无此定义。熵的计算是对可逆过程而言的，对不可逆过程，无此定义。可逆过程可逆过程 d2112TQSS 但熵是状态函数，只与初末状态有关，与过程无关，所以但熵是状态函数，只与初末状态有关，与过程无关，所以可在不可逆过程的初末两个状态之间，用一个假想的可逆过程可在不可逆过程的初末两个状态之间，用一个假想的可逆过程联系起来，对此可逆过程求联系起来，对此可逆过程求S，这样得到的熵变就是原来不可，这样得到的熵变就是原来不可逆过程的熵变。逆过程的熵变。例：例：2mol单原子理想气体，初态单原子理想气体，初态T=300K，V=310-2m
27、3，末态，末态T=400K，V=210-2m3，求：，求：S2022-11-1152pVabc解解1：设想先等温：设想先等温a-c，再等体，再等体cb，解解2：设想先等体：设想先等体ad，再等压，再等压da，S=Sad+SdbbccacbacTQTQSSSddd)600(J/K 43.0lnlnKTVVTTTCTTCSSSbbdddbpadVdbadbcVcaTTCTVpdd J/K43.0lnlnlnln1cbVaccbVacTTCVVRTTCVVRTT2022-11-1153例：气体绝热自由膨胀，例：气体绝热自由膨胀，T=293K，V2=2V1，求熵变。，求熵变。此过程是典型的不可逆过程，
28、此过程是典型的不可逆过程，A=0,Q=0,U=0.由此得由此得S=0，可以么？不可以！，可以么？不可以！解：设想一个等温可逆过程，初态解：设想一个等温可逆过程，初态T，V1，末态末态T，V2，2lnlndddddRTVVRTQQVVRTVpAQif2022-11-1154J/K17.32lnRTQS此熵变就是气体自由膨胀过程的熵变。此熵变就是气体自由膨胀过程的熵变。2022-11-1155三、熵增加原理三、熵增加原理（孤立系统）（孤立系统）0S 可逆过程孤立系统的熵不变（可逆过程孤立系统的熵不变（S=0），不可逆过程，系），不可逆过程，系统的熵永远增加（统的熵永远增加（S0）。）。熵增加原理熵
29、增加原理：热力学系统从一平衡态绝热地到达另一平热力学系统从一平衡态绝热地到达另一平衡态的过程中，它的熵永不减少。若过程是可逆的，衡态的过程中，它的熵永不减少。若过程是可逆的，则熵不变；若过程是不可逆的，则熵增加。则熵不变；若过程是不可逆的，则熵增加。孤立系统的自发过程总是朝着熵增加的方向进行。孤立系统的自发过程总是朝着熵增加的方向进行。当熵达到最大时，系统达到平衡态。当熵达到最大时，系统达到平衡态。2022-11-1156 系统的熵系统的熵 S 和系统的微观态的数目和系统的微观态的数目 的关系的关系波尔兹曼关系波尔兹曼关系 lnkS 2ln1ln2ln12NkkkSSSNRkNNkA2lnRS
30、初态，初态，=1；末态，；末态，=2N，波尔兹曼关系波尔兹曼关系2022-11-1157容器中有容器中有4个分子个分子 4 0 1 3 1 4 2 2 6 1 3 4 0 4 1 Configuration N1 N2 Multiplicity w宏观态宏观态对应的微观态的数目对应的微观态的数目!21NNNw 1624微观态的总数微观态的总数2022-11-1158tvmFdd)()0(0d)(1dttttFmvvv )()0(0d)(dtxxtttvx)(vFF ttFmt0d)(d0vvvvtFmd)(dvv)(tFF)(rFFxtxxddddddvvvtmxFdd)(v)(21dd)(2
31、0200vvvvvvxxxmxF微积分在力学中的应用微积分在力学中的应用2022-11-1159mrJmrmrLttMtvtFxtFrrFApttFItvmFcdd1d)()d)(d)(d)(d)(dd22022-11-1160MMFrMFrMddd例：圆盘质量例：圆盘质量m，半径，半径R，在桌面上定轴转动，摩擦系数为，在桌面上定轴转动，摩擦系数为，求摩擦力矩。求摩擦力矩。RrrgrMMrrgrFrM0d2dd2dd2022-11-1161LLprLprLddd习题习题3.26：lrrLLrrrprL02dsindsindddlrgrMMrgrM0dsindsinddcosddcosddLtL
32、tLM树立质量法制观念、提高全员质量意识。22.11.1122.11.11Friday,November 11,2022人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。19:57:1519:57:1519:5711/11/2022 7:57:15 PM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦绷。22.11.1119:57:1519:57Nov-2211-Nov-22加强交通建设管理，确保工程建设质量。19:57:1519:57:1519:57Friday,November 11,2022安全在于心细，事故出在麻痹。22.11.1122.11.1119:57:1519:57:15November 11,20
33、22踏实肯干，努力奋斗。2022年11月11日下午7时57分22.11.1122.11.11追求至善凭技术开拓市场，凭管理增创效益，凭服务树立形象。2022年11月11日星期五下午7时57分15秒19:57:1522.11.11严格把控质量关，让生产更加有保障。2022年11月下午7时57分22.11.1119:57November 11,2022作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2022年11月11日星期五19时57分15秒19:57:1511 November 2022好的事情马上就会到来，一切都是最好的安排。下午7时57分15秒下午7时57分19:57:1522.11.11一马当先，全员举绩，梅开二度，业绩保底。22.11.1122.11.1119:5719:57:1519:57:15Nov-22牢记安全之责，善谋安全之策，力务安全之实。2022年11月11日星期五19时57分15秒Friday,November 11,2022相信相信得力量。22.11.112022年11月11日星期五19时57分15秒22.11.11谢谢大家！谢谢大家！
