1、自由电荷分布只分布于界面上的情况自由电荷分布只分布于界面上的情况,求解区域内部无自由求解区域内部无自由 电荷分布电荷分布20拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程根据所求解问题的边界条件选择不同的坐标系球面边界：球坐标系柱面边界：柱坐标系02222222zyx1、直角坐标直角坐标 )()()(),(zZyYxXzyx（1）令令 1122()()()sincosk xk xXxAeBek yk yYyCeDeZ zEkzFkz000222222ZdzZdYdyYdXdxXd0222212221,kkkkk令令),(yx（2 2）若若 ()()sincoskxkxX xAeBeY yCkyDk
2、y )(xzy,（3 3）若）若，与与 无关。无关。BAxdxd022002222YdyYdXdxXd注意注意：在：在（1 1）、（、（2）两种情况中）两种情况中若考虑了某些边若考虑了某些边界条件，界条件，将与某些正整数有关，它们可取将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，只有对它们取和后才得到通解。，只有对它们取和后才得到通解。kkk,21022,kk01)(1222222zrrrrr2.柱坐标柱坐标 ),(r讨论讨论)()(),(grfr，令令 0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd12()sincosgaa )(rfrr 有两个线性无关解有两个线性无关解、)2(
3、)0(n单值性要求单值性要求，只能取整数，令只能取整数，令1(,)(sincos)(sincos)nnnnnnnrrAnBnrCnDnrBACrrln0)(1rrrr若若)(r，1(,)()(cos)cosnmnmnmnnnmbRaRPmR 1()(cos)sinnmnmnmnnnmdcRPmR3球坐标球坐标)(cosmnP缔合勒让德函数（连带勒让德函数）缔合勒让德函数（连带勒让德函数）nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1 若若不依赖于不依赖于，即，即具有轴对称性具有轴对称性，通解通解为为)1cos3(21)(cos22Pcos)(cos110PP)(cosnP-为勒让德函数为勒让德
4、函数RbaR)(,若若与与均无关，均无关，具有球对称性，具有球对称性，通解：通解：三解题步骤三解题步骤3.根据具体条件确定常数根据具体条件确定常数1.选择坐标系和电势参考点选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；考点主要根据电荷分布是有限还是无限；2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解；坐标系中的通解；（1）外边界条件：）外边界条件：电荷分布有限电荷分布有限 0注意：注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界边界条件和边值关系是相对的。导体边
5、界可视为外边界可视为外边界，给定给定 （接地（接地 ），或给，或给定总电荷定总电荷 Q，或给定，或给定 。S0SzeEE0zErE00cos电荷分布无限，电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如电势参考点一般选在有限区。如（直角坐标或柱坐标）（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。，电势可选在坐标原点。均匀场中，均匀场中，（2）内部边值关系：介质分界面）内部边值关系：介质分界面上上SSSSnn221121一般讨论分一般讨论分界界面无自由面无自由电荷的情况电荷的情况例例如图所示的导体球接地和带电荷的导体球壳如图所示的导体球接地和带电荷的导体球壳（带电（带电Q），求空间各点的电势及球壳内、外面
6、上及导体球上的感应电荷。求空间各点的电势及球壳内、外面上及导体球上的感应电荷。解：解：(1)1)边界为球形，选球坐标系，边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选电荷分布在有限区，选0r2R3R1RQOIII1120R边界上电势给定：导体球壳上电荷给定：（2 2）设球壳内为）设球壳内为II区区，壳外为壳外为I区区。球壳外球壳外:220 210 球壳内：球壳内：电荷在球上均匀分布，场有球对称电荷在球上均匀分布，场有球对称性，性，,与与无关无关13212()()baRRRdcRRRR1120R1baR0a 2dcR10dcR交界面条件：（）导体是等势体1232bdacRR（）导体球壳带电荷212
7、1fnn 3101RR 2202RR 3222120R RR RQR dR dRR 04Qbd0,a 10dcR32bdacRR04Qbd得：0,a 10,4Qd100,44QQb1014QcR 131111123RQQRRR 1130,()4QQbaRRRR12120111(),()4QdcRRRRRR131111123RQQRRR 导体球上的感应电荷：220RR 12201R RR dQR 例2:电容率为的介质球置于均匀外电场0E中,求电势分布解:o0R0Ez201010(,)()(cos),nnnnnnbra rPrRr2010(,)()(cos),nnnnnndrc rPrRr边界条件
8、：00,rREE1001cos(cos)E rE rP 相对于球的圆心的电势1100(,)()(cos)(cos)nnnnnnnnnnbra rPa r Pr10,0(1)naEan 0R 在处：2有限2100(,)()(cos)(cos)nnnnnnnnnndrc rPc r Pr0nd 在界面上：0rR0012r Rr R001200fr Rr Rrr 001001210(cos)(cos)nnnrRrRnbE R PPR 0(cos)nnnnc R P1001020bE Rc RR010,1nnnnbc RnR01000120(1)(cos)(cos)nnnnrRnbE PPrR0120
9、(cos)nnnnr Rc nRPr1013002bEcR10200(1),1nnnnnbc nRnR010nnnnbc RR10200(1)nnnnnbc nRR0,1nnbcn1001020bE Rc RR1013002bEcR3010002bE R010032cE 3000100020(,)coscos,2E RrE RrRr 020003(,)cos,2rE rrR 022003cos2rEEr 022003sin2EEr 0022000033(cossin)22rEE rEE rE z0000003()()2ePEEE z 33000000()4432pR PR E z3000132
10、00()cos42E Rp rrr 300010020(,)coscos2E RrE Rr 0030cos4p rE Rr 例：在均匀外电场中置入一带电为的导体球，求电势分布和导体的面电荷密度解：o0R0Ez20101(,)()(cos),nnnnnnbra rPrRr20(,)rCrR边界条件：00,rREE100001cos(cos)E rE rP在界面上：0rR01r RC11(,)()(cos)(cos)nnnnnnnnnnbra rPa r Pr0010,0(1)naaEan 10000110(,)(cos)(cos)nnnnbRE R PPCR3100,0,1nbE Rbn010f
11、r Rr 002210fr Rr Rr dr dr 33000000cos2cosE RdE Rd 00b dQ 004Qb30010020(,)coscos4E RQrE rrr00300cos44Qp rE rrr 30004pE R z010fr Rr 01000203cos4fr RQErR 例 4：p52例z 0解：2022211()0rrrrr(,)r()()R r2222d RdRrrRdrdr2220dd 0000(ln)()ABr CD0()(cossin)A rB rCD在0面上：V000,0,0,0A CVBC在2 面上：V00,sin(2)0D,1,2,.2nnnsinnnnnVA r 在尖角附近：0r 111sinsinnnnnVA rVAr 11111sinrEArr 11111cosEArr 000,20(0)(2)fEnE 11011Ar 作作 业业p.70-71页：2,4,5
