1、#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 第第 11 章章 压杆的稳定性压杆的稳定性11-1 关于稳定性的概念关于稳定性的概念11-2 细长中心压杆的临界荷载细长中心压杆的临界荷载11-4 压杆的稳定条件和稳定性计算压杆的稳定条件和稳定性计算11-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围临界应力总图临界应力总图#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 实际压杆存在的情况：实际压杆存在的情况：(1)本身不可能绝对地直；本身不可能绝对地直；(2)材质不可能绝对地均匀；材质不可能绝对地均匀；(3)轴向压力
2、也会有偶然偏心。轴向压力也会有偶然偏心。F11-1 关于稳定性的概念关于稳定性的概念 压杆是在压缩与弯曲组合变形的压杆是在压缩与弯曲组合变形的状态下工作的。状态下工作的。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 杆的横截面上的弯矩与杆杆的横截面上的弯矩与杆的弯曲变形程度有关，所以即的弯曲变形程度有关，所以即使在线弹性范围内工作，挠度使在线弹性范围内工作，挠度也不与荷载成线性关系，挠度也不与荷载成线性关系，挠度的增长要比荷载增长来得快。的增长要比荷载增长来得快。细长压杆细长压杆 始终在线弹性范始终在线弹性范围内工作，当围内工作，当F=Fu时，它便因
3、时，它便因挠度迅速增长而丧失继续承受挠度迅速增长而丧失继续承受荷载的能力。荷载的能力。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 中等长度压杆中等长度压杆 当挠度增大当挠度增大到一定值时，杆便在弯压组合到一定值时，杆便在弯压组合作用下因强度不足而丧失承载作用下因强度不足而丧失承载能力。能力。求压杆的承载力求压杆的承载力Fu，可采，可采用两种不同的计算图式：用两种不同的计算图式：(1)把实际的压杆看作是荷载把实际的压杆看作是荷载F有偶然偏心等的小刚度杆有偶然偏心等的小刚度杆(2)把实际的压杆看作是理想的把实际的压杆看作是理想的中心压杆。中心压杆。#工
4、程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 取第一种计算图式，则得弯取第一种计算图式，则得弯矩方程为：矩方程为：M(x)=F(d d+e-n n)代入挠曲线近似微分方程，利用代入挠曲线近似微分方程，利用边界条件得到：边界条件得到：)1/(sec lEIFezd d如图所示。如图所示。无论初始偏心距无论初始偏心距e的大小如的大小如何变化，当何变化，当Fp p2EIz/(2l)2 时时d d 迅速增长，从而有极限荷载迅速增长，从而有极限荷载#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 22u)2(lEIFz 根据
5、上图所示偏心距根据上图所示偏心距e为不同为不同值时的值时的F d d 图线可以推想：图线可以推想：若将实际压杆看作初始偏若将实际压杆看作初始偏心距心距e为零的理想中心压杆，为零的理想中心压杆，则其则其Fd d关系应如下图关系应如下图(a)、(b)所示。所示。FFuOAB(b)Fd d 关系关系 当当FFu时杆的直线状态的时杆的直线状态的平衡是稳定的（不可能弯曲）；平衡是稳定的（不可能弯曲）；ylFcrFx(a)理想中心压杆理想中心压杆 O#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 FFuOAB(b)F-d d 关系关系 当当F=Fu 时杆的直线状态
6、的时杆的直线状态的平衡是不稳定的，如果稍受干扰平衡是不稳定的，如果稍受干扰杆便将在任意微弯状态下保持平杆便将在任意微弯状态下保持平衡。衡。由上述分析可见，由上述分析可见，F达到达到Fu，杆便会失去原有直线状态平衡的稳杆便会失去原有直线状态平衡的稳定性定性失稳。失稳。把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载不稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载Fcr（能保（能保持微弯状态的荷载值）。持微弯状态的荷载值）。对于细长压杆：对于细长压杆：Fcr=Fu#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆
7、的稳定性 注意：注意：如果在理论分析中有若干个荷载值均能满如果在理论分析中有若干个荷载值均能满足杆保持微弯状态的条件，那么有实际意义的足杆保持微弯状态的条件，那么有实际意义的应该是其中的最小值。应该是其中的最小值。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 11-2 细长中心压杆的临界荷载细长中心压杆的临界荷载 理想中心压杆的临界荷载理想中心压杆的临界荷载Fcr即为杆能保持微即为杆能保持微弯状态的荷载值。弯状态的荷载值。在理论分析中首先找出每一具体情况下杆的在理论分析中首先找出每一具体情况下杆的挠曲线方程，而方程成立时的荷载就是所求的临挠曲线方程，
8、而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载。界荷载。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 考虑下图细长压杆考虑下图细长压杆 在线弹性、小变形情况下，且在线弹性、小变形情况下，且不考虑剪切对于变形的影响，不考虑剪切对于变形的影响，则其挠曲线近似微分方程为则其挠曲线近似微分方程为yz)()(crwFxM d d)()(crwFxMwEIz d d则有则有令令,2crkEIFz d d22kwkw+d dzzEIFwEIFwcrcr+得得ylFcrx wxo#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 得挠曲线
9、方程得挠曲线方程w=A sin kx+B cos kx+d d由边界条件由边界条件得得A=0，B=d d则则w=d d(1-cos kx)x=0,w=0 x=0,w=0 显然，当方程成立时应有显然，当方程成立时应有d d lxwylFcrx wxo#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 即即d d=d d(1-cos kl)得得cos kl=0要满足上面的方程，则要满足上面的方程，则kl=p p/2,3p p/2,5p p/2,取其最小值取其最小值 kl=p p/2，代入，代入 k的表达式，得该压杆的的表达式，得该压杆的临界临界荷载荷载22cr
10、)2(lEIFz式中式中Iz是杆在是杆在Fcr作用下微弯时横截面对于中性轴作用下微弯时横截面对于中性轴z的的惯性矩惯性矩。ylFcrx wxo#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 若截面是下面这种形式，则若截面是下面这种形式，则22cr)2(lEIFyy zylFcrx vxo#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 下图为一下端固定、上端铰支、下图为一下端固定、上端铰支、长度为长度为l 的等截面中心受压直杆，杆横截面对的等截面中心受压直杆，杆横截面对 z 轴轴的惯性矩为的惯性矩为I。试推导其临
11、界力。试推导其临界力Fcr的公式，并求出的公式，并求出压杆的挠曲线方程。压杆的挠曲线方程。l AByx Fcr例题例题 11-1#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 解：解：在临界力在临界力Fcr作用下，根据此压杆支承处的作用下，根据此压杆支承处的约束情况，有约束情况，有 ABFSFSFcrFcrMel-xxl AByx Fcr例题例题 11-1#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 代入挠曲线近似微分方程，得代入挠曲线近似微分方程，得则则(2)式之通解为式之通解为2crkEIFz 其其中中)
12、()(ScrxlFwFxM (1)w=A sin kx+B cos kx+FS(l-x)/Fcr(3)(crS22xlFFkwkw +(2)例题例题 11-1ABFSFSFcrFcrMel-xx#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 由边界条件由边界条件x=0,w=0 再由再由 x=0,w =0 w=A kcos kx-B ksin kx-FS/Fcr(4)得得crSkFFA (5)得得crSFlFB (6)例题例题 11-1#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 将将(5)、(6)式代入式代入
13、(3)式有式有由铰支端处的边界条件由铰支端处的边界条件x=l,w =0，得，得杆在微弯状态下平衡时杆在微弯状态下平衡时FS不可能等于零，于是必不可能等于零，于是必须有须有)(cossin1crSxlkxlkxkFFw+(7)0)cossin1(crS kllklkFF(8)0cossin1 kllklk(9)例题例题 11-1#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 即即klkl tan(10)由上式得由上式得kl=4.49(11)从而有从而有2222cr)7.0()49.4(lEIlEIF (12)相应地由相应地由(7)式得挠曲线微分方程式得挠
14、曲线微分方程)/1(cossin49.41crSlxkxkxFlFw+(13)例题例题 11-1#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 几种理想支端约束条件下的细长压杆几种理想支端约束条件下的细长压杆当这些压杆都是等截面杆当这些压杆都是等截面杆,且均由同一材料制成时且均由同一材料制成时,其临界荷载其临界荷载Fcr的计算公式可统一写为的计算公式可统一写为 lABFcrlFcrvlABFcrl AByx Fcr22cr)(lEIFy#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 式中式中 称为长度系数称为长
15、度系数,随杆端约束情况而异；随杆端约束情况而异；l 则称则称为相当长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。为相当长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。上式称为欧拉公式上式称为欧拉公式,如下各图所示。如下各图所示。22cr)(lEIFy lABFcr122cr lEIFyl AByx Fcr7.0)7.0(22cr lEIFy#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 lABFcr5.0)5.0(22cr lEIFylFcrv2)2(22cr lEIFy 从上述分析可知从上述分析可知,中心受压直杆的临界力中心受压直杆的临界力Fcr与杆端的约束情况有关，
16、杆端的约束越强，临界与杆端的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。力越大。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中心受压直杆，其长度为截面中心受压直杆，其长度为 l，横截面对，横截面对z轴的惯轴的惯性矩为性矩为I。推导其临界力。推导其临界力Fcr的欧拉公式，并求出压的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。杆的挠曲线方程。lABFcr思考题思考题 11-1#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 AB yxFcrF
17、crMeMe思考题思考题11-1参考答案：参考答案：lABFcr#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 ecr)(MwFxM 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程ecr)(MwFxMwEIz+最后得最后得kl=p p22crlEIFy 挠曲线方程挠曲线方程)/cos(12lxw d d思考题思考题11-1参考答案：参考答案：AB yxFcrFcrMeMe#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 推导如图变截面压杆临界力推导如图变截面压杆临界力Fcr的欧拉公式。的欧拉公式。思考题思考题 11-2#工
18、程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 在临界力作用下，此杆可在微弯状态在临界力作用下，此杆可在微弯状态下维持平衡，其挠曲线由下维持平衡，其挠曲线由AD、DE、EB三三段组成。由挠曲线光滑连续条件可知：在段组成。由挠曲线光滑连续条件可知：在相邻两段挠曲线的交界点，挠度相等，转相邻两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦相等。此外中点角亦相等。此外中点C处的切线应与处的切线应与x轴轴平行。平行。分段列挠曲线近似微分方程，最后分段列挠曲线近似微分方程，最后求解得到求解得到wFxMcr)(22cr1.68lEIFy 思考题思考题11-2参考答案：参考答案：#
19、工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 求压杆临界荷载的欧拉公式求压杆临界荷载的欧拉公式Fcr=p p2EI/(l)2只只适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况。适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况。应注意：应注意：按失稳的概念，在临界荷载作用下尽管压杆按失稳的概念，在临界荷载作用下尽管压杆的直线状态的平衡是不稳定的，但如果不受干扰，的直线状态的平衡是不稳定的，但如果不受干扰，杆仍可在直线状态下保持平衡。杆仍可在直线状态下保持平衡。11-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围临界应力总图临界应力总图#工程力学教程电子教案工程力学教程电
20、子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的正应力正应力s scr=Fcr/A不超过材料的比例极限不超过材料的比例极限s sp作为欧作为欧拉公式适用范围的判别条件，即拉公式适用范围的判别条件，即 式中的式中的s scr=Fcr/A称为临界应力。引入称为临界应力。引入Fcr的表达式，的表达式，有有式中式中I/A是一个只有截面形状及尺寸有关的量，通是一个只有截面形状及尺寸有关的量，通常把它的方根用常把它的方根用 i 表示，即表示，即pcrs ss s (1)()()(/2222crcrAIlEAlEIAF s s
21、 (2)AIi/#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 称称 i 为截面惯性半径。则为截面惯性半径。则(2)式可表示为式可表示为式中式中l l=l/i，为压杆的柔度，亦称长细比。，为压杆的柔度，亦称长细比。将式将式(3)代入代入(1)式，则有式，则有p2222cr)/(s sl l s s EilE或改写为或改写为p2s sl lE 2222cr)/(l l s sEilE (3)AIi/#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 上式表明，如果压杆的柔度上式表明，如果压杆的柔度l l大于或等于只与
22、材料大于或等于只与材料性质有关的一个量性质有关的一个量 那么欧拉公式适用。那么欧拉公式适用。对于对于Q235钢，如取钢，如取E=2.06105 MPa，比例极，比例极限限s sp=200 MPa,则则l lp=100。p2s sl lE p2ps sl lE#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 右图示出了细长压杆临右图示出了细长压杆临界应力界应力s scr随柔度随柔度l l的变化情的变化情况，以及欧拉公式的适用范况，以及欧拉公式的适用范围。围。splp欧拉公式可用欧拉公式可用双曲线双曲线 scrl22crlsE 应该注意的是：应该注意的是：“
23、l ll lp时欧拉公式可用时欧拉公式可用”系按理系按理想中心压杆得到的。事实上，对于想中心压杆得到的。事实上，对于l l比比l lp大得不太多大得不太多的实际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合下的实际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合下因强度不足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。因强度不足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 我国钢结构设计规范中对于由我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制成的压钢制成的压杆，根据试验资料规定，对于杆，根据试验资料规定，对于l ll lc，而不是，而不是l ll
24、lp的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而)57.0(s2cs sl lE 该规范还规定，对于该规范还规定，对于l ll lc的钢压杆，临界应力的的钢压杆，临界应力的计算式采用抛物线型的半经验公式计算式采用抛物线型的半经验公式)/(12cscrl ll l s ss s#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 对于对于Q235钢制成的压杆，钢制成的压杆，=0.43。)/(12cscrl ll l s ss s 临界应力总图（临界应力总图（s s l l）l0.57sslclp双曲线双曲线抛物线抛物线scrss22rc
25、lsE)/(1 2cscrllss#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 几个概念：几个概念：(1)细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求临界应力的压杆。临界应力的压杆。(2)短压杆是指柔度特别小的（其临界应力接近短压杆是指柔度特别小的（其临界应力接近于材料的强度）杆。于材料的强度）杆。(3)中长压杆是指柔度特别大的杆。中长压杆是指柔度特别大的杆。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 11-4 压杆的稳定条件和稳定性计算压杆的稳定条件和稳定性计算 要保证压
26、杆在荷载作用下不致失稳且有一定要保证压杆在荷载作用下不致失稳且有一定的安全储备，其条件是的安全储备，其条件是式中的式中的nw为稳定的安全因数。为稳定的安全因数。wcrnFF 相应地有相应地有wcrns ss s 或或 ws ss s 式中式中s sw稳定容许应力，它是随压杆柔度稳定容许应力，它是随压杆柔度l l变化的变化的一个量。一个量。#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 在有些工程计算中，更把稳定容许应力在有些工程计算中，更把稳定容许应力s sw通通过一个随压杆柔度过一个随压杆柔度l l变化的稳定系数变化的稳定系数j j(l l)与杆材料
27、与杆材料的强度容许应力的强度容许应力s s 加以联系，即加以联系，即 s sl lj js s )(w#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 有一一端固定，另一端球形铰支有一一端固定，另一端球形铰支的空心圆截面钢压杆。已知：的空心圆截面钢压杆。已知：l=5 m,D=100 mm,d=50 mm,E=2.0105 MPa,s sp=200 MPa,s ss=240 MPa,nw=2.5。求容许轴向压力。求容许轴向压力F。l AByx F 例题例题 11-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 惯
28、性半径惯性半径查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为 =0.7(1)计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用解：解：)/4-()/64-(4444dDAdDI AIi/则则125/Il l l对于对于Q235钢制作的压杆，钢制作的压杆，l ll lc时可用欧拉时可用欧拉公式求临界力。公式求临界力。例题例题 11-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 而有而有l ll lc，故欧拉公式可用。，故欧拉公式可用。(2)求临界力求临界力Fcr，再根据给定的稳定安全因数，再根据给定的稳
29、定安全因数nw，求容许压力求容许压力 F 现现120)57.0/(s2c s sl lE此压杆横截面对于形心轴的惯性矩为此压杆横截面对于形心轴的惯性矩为46-44m104.60)/64-(dDI故有临界力故有临界力N1041.7)(522cr lEIF 例题例题 11-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 此种直接根据稳定安全因数对压杆稳定计算此种直接根据稳定安全因数对压杆稳定计算的方法称为稳定安全因数法。的方法称为稳定安全因数法。而容许轴向压力为而容许轴向压力为 kN296wcr nFF例题例题 11-2#工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性
