1、5 三 重 积 分 三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量.研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似.一、三重积分的概念 二、化三重积分为累次积分 三、三重积分换元法 一、三重积分的概念 与二重积分相类似与二重积分相类似,通过通过求一个空间立体求一个空间立体 V 的质量的质量M 就就可导出三重积分可导出三重积分.设设 V 的密度函数为的密度函数为(,),f x y ziV(,),iii 在每一小块在每一小块 上任取一点上任取一点 则则 01lim(,),niiiiTiMfV 为了求为了求 V 的质量的质量,把把 V 分割成分割成 n 小块小块:12,nV VV1max.ii n
2、TV 的的直直径径其中其中为小块为小块 Vi 的体积的体积,iV 定义在定义在 V 上的有界函数上的有界函数.现用若干个光滑曲面所组现用若干个光滑曲面所组 成的曲面网成的曲面网 T 来分割来分割 V，它把它把 V 分成分成 n 个小区域个小区域:1max.iinTV 的的直直径径(,)(1,2,),iiiiVin 作作积积分分和和 1(,).niiiiifV 12,(1,2,),niiV VVVV in用记的体积 并记用记的体积 并记 设设(,)f x y z为一可求体积的有界区域为一可求体积的有界区域,3RV 是是 ,对任给的正数对任给的正数 ,总存在某正数总存在某正数 使得对于使得对于V
3、的任的任 何分割何分割 T,只要只要,T 属于属于 T 的所有积分和都满足的所有积分和都满足 1(,),niiiiifVJ (,)f x y z(,)f x y z则称则称在在 V 上可积上可积,并称数并称数 J 为为 在在 V 上的上的三重积分三重积分,记作记作 定义定义1 对上述对上述 (,),Vf x y z和和若有一确定的实数若有一确定的实数 J,(,)d(,)d d,dVVJf x y zVf x y zx y z或或其中其中(,)f x y z称为被积函数称为被积函数,x,y,z 称为积分变量称为积分变量,V 称为积分区域称为积分区域.当当(,)1dVf x y zV时，时，在几何
4、上表示在几何上表示 V 的体积的体积.三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性 质质,这里不再一一细述这里不再一一细述.例如例如:(1)有界闭域有界闭域 V 上的连续函数必三重可积上的连续函数必三重可积;(2)有界闭域有界闭域 V 上的有界函数上的有界函数(,),f x y z若其间断点若其间断点 集中在有限个零体积集中在有限个零体积的曲面的曲面 (可类似于零面积那样可类似于零面积那样 定义定义)上上,则则(,)f x y z在在 V 上必三重可积上必三重可积.二、化三重积分为累次积分 1.积分区域为长方体积分区域为长方体 定理定理21.15 若
5、函数若函数(,)f x y z在长方体在长方体,Va bc de f 上的三重积分存在上的三重积分存在,且对任何且对任何,xa b 二重积分二重积分()(,)d dDI xf x y zy z存在存在,其中其中,Dc de f 则积分则积分d(,)d dbaDxf x y zyz也存在也存在,且且(,)d dd(,)d d.(1)baVDf x y zy zxf x y zy z证证 用平行于坐标面的平面网用平行于坐标面的平面网 T 作分割作分割,它把它把V分成分成 有限个小长方体有限个小长方体111,.i jkiijjkkvxxyyzz ,(,)i jki jkMmf x y z设设分分别别
6、为为在在 上的上、下确界上的上、下确界.i jkv1,iiixx 11,jkjjkkDyyzz在上有在上有，(,)d d.jki jkjkii jkjkDmyzfy zy zMyz 现按下标现按下标,j k 相加相加,则有则有,(,)d d(,)d d()jkiiij kDDfy zy zfy zy zI及及,().i jkijkiii jkijki j kii j kmxyzIxMxyz (2)上述不等式两边是分割上述不等式两边是分割 T 的上和与下和的上和与下和,由于由于 f 在在 0T V 上可积上可积,当当 时时,下和与上和具下和与上和具有相同的极有相同的极 ()I x,a b限限,所
7、以由所以由(2)式得式得 在在上可积上可积,且且 ()d(,)d d d.baVI xxf x y zx y z有时为了计算上的方便有时为了计算上的方便,也可采用其他计算顺序也可采用其他计算顺序.2.积分区域为积分区域为 xy型区域型区域xyV型区域型区域是指可以用以下方式表示的区域是指可以用以下方式表示的区域:12()(,)(,)(,),(,),xyVx y zzx yzzx yx yD()xyDVxy(,),1,2iz x y i 其中其中是是在在平面上的投影平面上的投影,同样地同样地,当区域当区域 V 为为 zx 型区域时型区域时,即当即当 12()(,)(,)(,),(,)zxVx y
8、 zy z xyyz xz xD时时,有有21()(,)(,)(,)d d dd d(,)d.xyzx yzx yVDf x y zx y zx yf x y zz(3)是是 上的连续函数上的连续函数.此时有此时有 ()xyD又当区域又当区域 V 为为yz型区域型区域,即即12()(,)|(,)(,),(,),yzVx y zxy zxxy zy zD时时,e fVz(),zze fD 是是在在轴上的投影轴上的投影,是过点是过点 类似地类似地,若若()(,),(,),zVx y zezfx yD其中其中 21()(,)(,)(,)d d dd d(,)d.zxyx yyx yVDf x y z
9、x y zz xf x y zy(3)21()(,)(,)(,)d d dd d(,)d.yzxx yxx yVDf x y zx y zy zf x y zx(3)(0,0,)zzV作垂直于作垂直于 轴的平面在轴的平面在 上的截面上的截面.此时此时()(,)d d dd(,)d d.(4)zfeVDfx y zx y zzfx y zx y注注 俗称俗称 为为“先一后二先一后二”形式；形式；(3),(3),(3)(4),(4)类似地又有类似地又有 ()(,)d d dd(,)d d.(4)xbaVDfx y zx y zxfx y zy z()(,)d d dd(,)d d.(4)ydcVD
10、fx y zx y zyfx y zz x为为 形式形式.使用时应根据实际使用时应根据实际情形来情形来 (4)“先二后一先二后一”公式公式 (3),解解 如图如图21-33 所示所示,V 在在 xy 平面上的投影区域为平面上的投影区域为 ()(,)|0,12,xyDx yyxx,.yx zy所围的区域所围的区域它是它是 x 型区域型区域;这里这里 12(,)0,(,).zx yzx yy 所以由所以由22d d d,Vx y zVxy其中其中例例1 计算计算 选择累次积分的合适顺序选择累次积分的合适顺序.1,2,0 xxz为由平面及为由平面及2133图图 yxzzy 21yx 222222d
11、d d,VxyzIx y zabcV例例2 求求 其中其中是椭球是椭球 体体:2222221.xyzabc2222011111ln()dln2dln2.222xyyxyxx()22220d d ddd dxyyVDx y zzx yxyxy222222100101dddddxyxy yxyzxxyxy椭圆截面椭圆截面(垂直于垂直于x 轴轴):2222221yzxbca或或 222222221.11yzxxbcaa解解 222222d d dd d dd d d.VVVxyzIx y zx y zx y zabc其中其中 ()2222d d ddd d,xaaVDxxx y zxy zaa这里这
12、里()xD表示表示 因此因此 2222244d d d()d.15aaVxbcx y zxaxxabcaa同理可得同理可得 222222211,xxbcbcaxaaa由于由于 的面积等于的面积等于 ()xD224d d d,15Vyx y zabcb224d d d.15Vzx y zabcc所以求得所以求得 443.155Iabcabc三、三重积分换元法 与二重积分一样与二重积分一样,某些类型的三重积分经过适当的某些类型的三重积分经过适当的 变变量变换后能简化计算量变换后能简化计算.设变换设变换:(,),(,),(,),Txx u v wyy u v w zz u v w 把把 uvw 空间
13、中的区域空间中的区域 V一对一地映成一对一地映成 xyz 空间中空间中 的的区域区域 V,并设函数并设函数(,),(,),(,)x u v wy u v w z u v w及及 它它们的一阶偏导数在们的一阶偏导数在 V内连续且函数行列式内连续且函数行列式(,)0,(,).xxxuvwyyyJ u v wu v wVuvwzzzuvw积时积时,可以证明如下三重积分换元公式可以证明如下三重积分换元公式:于是与二重积分换元法于是与二重积分换元法一样一样,当当 (,)f x y zV在在上可上可(,),(,),(,)|(,)|d d d.Vf x u v wy u v w z u v wJ u v w
14、u v w(,)d d dVf x y zx y z(5)下面介绍几个常用的换元公式下面介绍几个常用的换元公式:1.柱面坐标变换柱面坐标变换cos,0:sin,02,.xrrTyrzzz 由于变换由于变换 T 的函数行列式的函数行列式 cossin0(,)sincos0,001rJ rzrr 按按 (5)式式,三重积分的柱面三重积分的柱面坐标换元公式为坐标换元公式为 V V这里这里 为为 在柱面坐标变换下的原象在柱面坐标变换下的原象.(,)d d d(cos,sin,)d d d,VVf x y zx y zf rrz r rz (6)与极坐标变换一样与极坐标变换一样,柱面坐标变换并非是一对一
15、的柱面坐标变换并非是一对一的,0r (,)0,J u v w 并且当并且当 时时,但我们仍可证明但我们仍可证明(6)式成立式成立.在柱面坐标系中在柱面坐标系中,用用 rz 常常数数,常常数数,常常数数的的V xyz的平面的平面分割分割 时时,变换后在变换后在 坐标系中坐标系中,r 常数常数是以是以 z 轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面,常数常数是过是过 z 轴的半轴的半 用柱面坐标计算三重积分用柱面坐标计算三重积分,通常是找出通常是找出 V 在在 xy 平面平面 平面平面,是垂直于是垂直于 z 轴的平面轴的平面 (图图21-34).z 常数常数2134 图图yxz Ozz zrrr V 上
16、的投影区域上的投影区域 D,即当即当 12(,)|(,)(,),(,),Vx y zz x yzzx yx yD时时21(,)(,)(,)d d(,)d,zx yzx yVDf x y zx yf x y zz其中二重积分部分应用极坐标变换计算其中二重积分部分应用极坐标变换计算.示示,是由曲面是由曲面 与与 所围的区域所围的区域.222()xyz4z 例例3 计算计算 22()d d d,Vxyx y z其中其中 V 如图如图 21-35 所所 解解 V 在在 xy 平面上的投影区域平面上的投影区域 D为为 222,xy 按柱按柱 坐标变换坐标变换,区域区域 V 可表为可表为 2135 图图y
17、x22zO2(,)|24,02,02.Vrzrzr 所以由公式所以由公式 (6),223()d d dd d dVVxyx y zrrz 222430028ddd.3rrrz 2.球面坐标变换球面坐标变换sincos,0,:sinsin,0,cos,02.xrrTyrzr 如图如图21-36,由于由于 2136 图图zxy rrr Osincoscoscossinsin(,)sinsincossinsincoscossin0rrJ rrrr 2sin,r 0,sin0,当当在在上上取取值值时时,所以在球坐标变所以在球坐标变 换下换下,按公式按公式(5),三重积分的球坐标变换公式为三重积分的球坐
18、标变换公式为 (,)d d dVf x y zx y z2(sincos,sinsin,cos)sind d d,Vf rrrrr (7)这里的这里的 为为V V 在球坐标变换下的原象在球坐标变换下的原象.0,(,)0.J r 或或时时，但仍然可以证明但仍然可以证明(6)式式 类似地类似地,球坐标变换并不是一对一的球坐标变换并不是一对一的,并且当并且当 0,r 成立成立.rVxyz面面网网分分割割时时，变变换换后后在在直角坐标系中，直角坐标系中，=常数是以原点为心的球面常数是以原点为心的球面,=常数是以原点为顶常数是以原点为顶 z z点点,轴为中心轴的圆锥面轴为中心轴的圆锥面,=常数是过常数是
19、过 轴的半平轴的半平 面面.在球坐标系下在球坐标系下,当区域当区域V为集合为集合12(,)|(,)(,),Vrrrr 1212()(),在球坐标系中在球坐标系中,用用r 常常数数,常常数数,常常数数的的平平时时,(7)式可化为累次积分式可化为累次积分(,)d d dVf x y zx y z222111()(,)()(,)dd(sincos,rrf r 2sinsin,cos)sind.(8)rrrr 例例4 求由圆锥体求由圆锥体22cotzxy 和球体和球体 2222()xyzaa 所所确定的立体体积确定的立体体积 (图图21-37),其中其中为常数为常数.0,02a 和和2137 图图xy
20、a Oz解解 在球坐标变换下在球坐标变换下,球面方程球面方程2222()xyzaa 2 cos,ra 22cotzxy 可表示成可表示成 锥面方程锥面方程.可可表表示示成成 因此因此(,)|02 cos,0,02.Vrra 由公式由公式 (8)求得求得 V 的体积为的体积为 22 cos2000dddsindaVVrr344(1cos).3a 除上面介绍的两种变换外除上面介绍的两种变换外,下面再举一个例子下面再举一个例子,进一进一 步说明如何根据被积函数或积分区域的特点来选择步说明如何根据被积函数或积分区域的特点来选择 其他不同的变换其他不同的变换.例例5 求求d d d,VIz x y zV其中为由其中为由22222210 xyzzabc与与所确定的区域所确定的区域.解解 作广义球坐标变换作广义球坐标变换 sincos,:sinsin,cos,xarTybrzcr 于是于是2sin.Jabcr 在上述坐标变换下在上述坐标变换下,V 的的原象为原象为 (,)01,0,02.2Vrr 由公式由公式 (8),有有 23d d dsincosd d dVVz x y zabc rr 21232000ddsincosdabc rr2220sincos d.24abcabc
