1、1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义的函数,因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质.五、实数的稠密性六、实数与数轴上的点一一对应七、实数的绝对值与三角形不等式三、实数的四则运算四、实数的阿基米德性一、实数的十进制小数表示二、实数的大小 记号与术语N:(0)自然数集 包含自然数集 包含R:实实数数集集Z:整数集整数集Q:有理数集有理数集:存在存在R:负实数集负实数集:任意任意+R:正正实实数数集集+N:正整数集正整数集1.任何一个实数都可以用十进制小数表示任何一个实数都可以用十进制小数表示.若若+012R,.;nxxa a aa则则012R,.nxxa a aa 则则.,2,1,9,2,1,
2、0,N0 naan其中其中2.有限小数有限小数kaaaax210.),0(ka其其中中又可表示为又可表示为99)1(.1210 kkaaaaax.9)1(.1210kkaaaaa一、实数的十进制小数表示若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.即即:若若,.210naaaax,.210nbbbby.,2,1,0,nbayxnn则则用无限小数表示实数，称为用无限小数表示实数，称为正规表示正规表示.742851.071 如如Q,xx 可用循环十进制小数表示，可用循环十进制小数表示，3.Q|,Z,0mx xm nnn 其其中中表示有理数集表示有理数集.,.,1
3、210pkkkaaaaaax若若反反之之0111Q.1010110pkkjiipkjpijaaxa 则则,nmx 若若一般一般,.1210pkkkaaaaaax则则.np 其中其中4.无理数为无限不循环小数无理数为无限不循环小数.:3.1415926;如如.1010010001.0 x二、实数的大小00+N,ababn 或或使使.,.11210210 nnnnbabbbbaaaa而而定义定义1+,R,x y 若若是正规的十进制小数表示是正规的十进制小数表示,规定规定.yxyx 规规定定,R,x y+R,R,xy .0 xy规规定定012.nyb b bb 012.,nxa a aa(1),.x
4、y xy xy 实数的大小关系有以下性质实数的大小关系有以下性质:三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立.(2),.xyyzxz若则若则即大小关系具有传递性即大小关系具有传递性.三、实数的四则运算实数集实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是）亦是有理数集有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）是）是实数的四则运算与大小关系实数的四则运算与大小关系,还满足还满足:+(1),R,R,.x yxyxy 若若则则.,)2(22112121yxyxyyxx 则则封闭的封闭的.封闭的封闭的.四、实
5、数的阿基米德性 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性:+,R,N,.a bnnba 使使得得理由如下：设理由如下：设 N,.0210 kaaaaaan.1011 kka则则为第一个不为零的正整数为第一个不为零的正整数,pb,.210nbbbbb 设设,101 kpn令令.101anbk 则则例例1+10,N,.bnbn 若若则则使使得得1.bn 证证1,a 令令由由阿阿基基米米德德性性+N,1nnb 使，即阿基米德阿基米德(Archimedes,287B.C.212B.C.,希腊希腊)五、实数的稠密性之间，既有有理之间，既有有理与与任意两个不相等的实数任意两个不相等的实数ba.2数又有无理数数
6、又有无理数.必必有有另另一一个个之之间间与与任任意意两两个个不不相相等等的的实实数数,.1ba.2.bacc 例例如如实实数数证证+1N,abn若若，则则由由例例，存存在在使使).(211abn 的的最最大大的的正正整整数数，是是满满足足设设ankk.1ank 即即是是则则nknk2,1 ,21,bnknka 于是于是例例2.0,R,bababa ，则，则，对对若若 证证,0 baba，设，设倘若倘若,ba则则.矛矛盾盾与与 ba的无理数的无理数.14kabnn而而是是与与之之间间 ,ab与之间的有理数与之间的有理数六、实数与数轴上的点一一对应实数集实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系与数
7、轴上的点可建立一一对应关系.1.这种对应关系，粗略地可这样描述：这种对应关系，粗略地可这样描述：(0),PP设设是是数数轴轴上上的的一一点点 不不妨妨设设在在 的的右右边边若若在在01.nnan整数与之间，则整数与之间，则1(,1,.n nPiai把把十十等等分分 若若点点在在第第 个个区区间间，则则 ,2,3,.nan 类类似似可可得得到到对对应应于于令令点点这这时时p,012.na a aa反之反之,任何一实数也对应数轴上一点任何一实数也对应数轴上一点.2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性完备性.我们将在后面有关章节中作进一步讨论我
8、们将在后面有关章节中作进一步讨论.七、实数的绝对值与三角形不等式2.实数的绝对值性质实数的绝对值性质:.0|0;0|)1(aaaa时时当且仅当当且仅当.|)2(aaa ,|)3(hahha .|hahha.0,0,|aaaaa|.1aa 的绝对值的绝对值实数实数定义为定义为:|)4(bababa (三角形不等式三角形不等式).|)5(baab|(6)(0).|aabbb的证明：的证明：3.三角形不等式三角形不等式|bababa 得得由由|,|bbbaaa|,|)|(|bababa.|baba 即即|,|bbabbaa又又.|baba 即即复习思考题循环节不超过循环节不超过 q 的循环小数？的循环小数？一一定定可可以以表表示示为为为为什什么么有有理理数数互互素素和和若若qpqp,.12.为什么为什么 1 和和 0.99 表示同一个数表示同一个数?在在 R 中稠密中稠密.+:Z,N 2mnEnm3.如何定义数集如何定义数集 在在 中稠密中稠密?按你的定义证明按你的定义证明ER
