1、教学要求教学要求:(1)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;(2)掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;(3)了解幂级数在其收敛区间内的一些性质了解幂级数在其收敛区间内的一些性质;(4)会求幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出会求幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出 某些数项级数的和某些数项级数的和.函数项级数的一般概念函数项级数的一般概念一一 .幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性二二 .求求法法标标准准幂幂级级数数收收敛敛半半径径的的三三 .求求法法一一般般幂幂级级数数收收敛敛区区间间的的四四 .
2、函函数数的的求求法法幂幂级级数数的的运运算算性性质质与与和和五五一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义:设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的(函函数数项项)无无穷穷级级数数.,120 xxxnn例如级数例如级数.)()(1项的部分和项的部分和为前为前nxuxsniin 2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:如果如果Ix 0,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点,所有发散点
3、的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意:3.3.和函数和函数:)()()()(21xuxuxuxsn在在收收敛敛域域上上,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs,称称)(xs为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数.(定义域是定义域是?),(xsn(1)函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是
4、 数项级数的收敛问题数项级数的收敛问题.函数项级数函数项级数的和函数的定义域是该的和函数的定义域是该 1)()2(nnxu的收敛域的收敛域.二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:.)()()(001000数的一般形式数的一般形式的函数项级数称为幂级的函数项级数称为幂级形如形如 nnnnnxxaxxaaxxa.100数的标准形式数的标准形式的函数项级数称为幂级的函数项级数称为幂级形如形如 nnnnnxaxaaxaExample 1.0的敛散性的敛散性讨论讨论 nnxSolution.)1(111)(12 xxxxxxxsnnn,11)(lim,1xxsxnn 时时当当.)(l
5、im,1不存在不存在时时当当xsxnn .1 ,1 ,110 时时当当发散发散时时当当收敛于收敛于xxxxnn2.2.阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理:定理定理 1.(1 1)如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛,则则 它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛;(2 2)如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散.Proof.,0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa),2,1,0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa0
6、0 nnnxxxa00 nxxM0,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛绝绝对对即即级级数数 nnnxa(2 2)反反设设有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛,由结论由结论(1),则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,.0相相矛矛盾盾时时发发散散与与已已知知xx 注意注意:Abel定理对标准幂级数给出定理对标准幂级数给出.?4,1)2(:0处处在在收敛收敛处处在在问问 xxxannnxo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0
7、x一一点点收收敛敛,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在,它它具具有有下下列列性性质质:当当Rx 时时,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散.推论推论3.3.收敛半径与收敛区间收敛半径与收敛区间:定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的幂级数的收敛区间收敛区间 是开区间是开区间,0 R规定规定,R收收敛敛域域为为0;收敛域收敛域),(.问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?)
8、,(RR(1)幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,(2)(2)幂级数对一切幂级数对一切x都收敛都收敛,幂级数的收敛域包括幂级数的幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况收敛区间及端点情况.),RR,(RR.,RR),(RR 三、标准幂级数收敛半径的求法三、标准幂级数收敛半径的求法 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim 则则 (1)当当0 时时,1R;(3)当当 时时,0 R.(2)当当0 时时,R;定理定理 2.Proof.)0(lim)1(1 nnnaa若若xxaauunnnnnn 11limlim则则则比值审敛法得：则比值审敛法得
9、：;,110绝对收敛绝对收敛时时即即当当 nnnxaxx ;,110发散发散时时即即当当 nnnxaxx .,110可能收敛可能发散可能收敛可能发散时时即即当当 nnnxaxx .1 R,0lim)2(1 nnnaa若若0limlim11 xxaauunnnnnn 则则1.,0绝对收敛绝对收敛对一切对一切 nnnxax.R,lim)3(1 nnnaa若若)0(limlim11 xxaauunnnnnn则则,0lim nnu则则.0发散发散故故 nnnxa.0 R:0步骤步骤的收敛半径与收敛域的的收敛半径与收敛域的求求 nnnxa;lim)1(1nnnaa 计算计算;1)2(R的值得的值得由由)
10、.,(,(),)3(0RRRRRRRRxaRxnnn 或或或或或或敛域敛域的敛散性得收的敛散性得收时时由数项级数判定由数项级数判定Example 2.12的收敛半径与收敛域的收敛半径与收敛域求求 nnnxSolution.,1)1(limlim221 nnaannnn.1 R收敛半径收敛半径,1,112 nnx原幂级数成为原幂级数成为时时当当收敛收敛.,)1(,112 nnnx原幂级数成为原幂级数成为时时当当绝对收敛绝对收敛.1,1 收敛域为收敛域为Example 3.26)1(1的收敛域的收敛域求求 nnnnnxSolution.nnnnnnnnnnaa6)1(226)1(limlim111
11、1 ,36161)61(121)61(lim1 nnn.31 R,1)61(,311 nnx原幂级数成为原幂级数成为时时当当发散发散.,)1()61(,311nnnx 原幂级数成为原幂级数成为时时当当发散发散.).31,31(收敛域为收敛域为四、一般幂级数收敛区间的求法四、一般幂级数收敛区间的求法.)(00有两种方法求其收敛域有两种方法求其收敛域对于对于 nnnxxa方法方法 1.;,)1(00 nnnyayxx得得令令(2)由标准幂级数收敛区间的求法可得：由标准幂级数收敛区间的求法可得：;,的情况的情况且讨论且讨论RyRy ).,(,)3(000RxRxRxx 可得所求的收敛区间可得所求的收
12、敛区间再由再由端点情况另讨论端点情况另讨论.方法方法 2.(用比值法讨论用比值法讨论),)()(lim)1(00101xxxxaxxannnnn 计算计算;)(,11)2(0000绝对收敛绝对收敛时时即即当当 nnnxxaxxxx ;)(,110000发散发散时时即即当当 nnnxxaxxxx .)(,1000的敛散性可得所求的敛散性可得所求时时再讨论再讨论 nnnxxaxx Example 4.2)1(1的收敛域的收敛域求求 nnnnxSolution.方法一方法一,2,10 nnnnyyx得得令令,21)1(22limlim11 nnaannnnnn.2 R,1,21发散发散可得可得时时当
13、当 nny.)1(,21收敛收敛可得可得时时当当 nnny,22 y31212 xx从而从而).3,1 收敛域为收敛域为方法二方法二由比值法得，由比值法得，,21)1(2)1(2)1(limlim111 xxnnxuunnnnnnnn;,31121原幂级数绝对收敛原幂级数绝对收敛时时即即当当 xx;,31121原幂级数发散原幂级数发散时时或或即即当当 xxx,1,31发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnx.,)1(,11收敛收敛原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnnx).3,1 收敛域为收敛域为注意注意:.,)1(201202或用比值法讨论或用比值法讨论可令可令的收敛域时的收敛域时
14、或或求求yxxaxannnnnn .1 ,)2(0或用比值法讨论或用比值法讨论可令可令的收敛域时的收敛域时求求yxxannn (3)求一般函数项级数的收敛域时求一般函数项级数的收敛域时,可直接用比值法讨论可直接用比值法讨论.Example 5.求幂级数求幂级数 1122nnnx的收敛的收敛域域.Solution.3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项,应应用用比比值值判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数绝对收敛级数绝对收敛,1212 x当当,2时时即即 x,1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时
15、当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2,2(五、幂级数的运算性质与和函数的求法五、幂级数的运算性质与和函数的求法1.1.幂级数的运算性质幂级数的运算性质 21,minRRR ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.)(0 nnnnxba RRx,乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx,(其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0
16、(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)连续性连续性幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内连续内连续.可导性可导性幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导,并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)可积性可积性幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx
17、 可逐项积分可逐项积分.xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)2.2.求幂级数的和函数求幂级数的和函数方法方法:通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数数化为可求和的级数(等比级数等比级数).Example 6.33332313322的和函数的和函数求求 nnnxxxxSolution.,313)1(3limlim11 nnnnnnnnaa.3 R;,1,31发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnx.,)1(,31收敛收敛原幂级数成为原幂级数成为时时当当
18、 nnnx).3,3 收敛域为收敛域为,3)(1 nnnnxxs设设.0)0(s且且 113)(nnnxxs则则 11)3(31nnx.3131131xx xxdxxdxxs0031)()0()(sxs3ln)3ln(x.3ln)3ln()(xxsExample 7.2,1111 nnnnnnx并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求Solution.,11limlim)1(1 nnaannnn.1 R;,11发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnx.,)1(,11发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnnx).1,1(收敛域为收敛域为,)()2(11 nnnxxs设设.1)
19、0(s且且 xnnxdxnxdxxs0110)()(则则 1nnxxx 1.)1(1)1()(2xxxxs 1111)21(2)3(nnnnnn.4)211(1)21(2 sExample 8.212,2122122 nnnnnnxn并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求Solution.,21)12(22)12(limlim)1(222121xxnxnuunnnnnnnn ;,2122原级数绝对收敛原级数绝对收敛时时即即当当 xx;,2122原级数发散原级数发散时时即即当当 xx.,212,21212发散发散原级数为原级数为时时即即当当 nnxx).2,2(收敛域为收敛域为,212)()2(122 nnnxnxs设设 11202)(nnnxxdxxs2122)2(1xxxxnn 2222)2(2)2()(xxxxxs 21212212)3(12 nnnnnn.2521321)1(sExample 9.求求 12)1(nnnn的的和和.Solution.,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1),1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21(s.8 The end
