1、考点一考点一 用向量证明空间中的平行和垂直关系用向量证明空间中的平行和垂直关系考点清单考点清单考向基础考向基础1.用向量证明空间中的平行关系用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量分别为v1和v2,则l或l存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.(3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或lvu.2.用向量证明空间中的垂直关系用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2v1v2v1v2=0.(2)设直线l的方向
2、向量为v,平面的法向量为u,则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2,则u1u2u1u2=0.考向突破考向突破考向考向 用向量证明空间中的平行和垂直关系用向量证明空间中的平行和垂直关系例例1如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:APBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3,试证明平面AMC平面BMC.证明证明(1)如图所示,以O为坐标原点,射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P
3、(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),=(0,3,4)(-8,0,0)=0,即APBC.(2)由(1)知AP=5,又AM=3,且点M在线段AP上,AP BC AP BC AP BC=.又=(-4,-5,0),=+=,则=(0,3,4)=0,即APBM.又根据(1)的结论知APBC,且BMBC=B,AP平面BMC,AM平面BMC.又AM平面AMC,故平面AMC平面BMC.AM 35AP 9 120,5 5BA BM BA AM 16 12-4,-,55AP BM 16 12-4,-,55AP BM 例例2如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1B1=2,BC=.
4、(1)若E为线段CC1的中点,求证:平面A1BE平面B1CD;(2)若点P为侧面A1ABB1(包含边界)内的一个动点,且C1P平面A1BE,求线段C1P长度的最小值.2解析解析由题意知DA,DC,DD1两两垂直,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的坐标系,则A(,0,0),B(,2,0),C(0,2,0),A1(,0,2),B(,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0).(1)证明:E是线段CC1的中点,E(0,2,1).=(,2,2),=(0,2,0),=(0,-2,2),22221DB 2DC1BA=(-,0,1),设m=(x1,y1,
5、z1)是平面B1CD的法向量,则解得故可取m=(-,0,1).设n=(x2,y2,z2)是平面A1BE的法向量,则解得故可取n=(1,).mn=-1+0+1=0,mn,故平面A1BE平面B1CD.(2)P为侧面A1ABB1(包含边界)内的一个动点,BE 211111DB2x2y2z0,DC2y0,mm 111x-2z,y0,212222BA-2y2z0,BE-2xz0,nn 22222,2,yxzx22222设P(,a,b),0a2,0b2,则=(,a-2,b-2).C1P平面A1BE,n=(1,)是平面A1BE的一个法向量,n,故n=+(a-2)+(b-2)=0,解得a=3-b,故1b2,|
6、=.1b2,当b=时,|取得最小值,为.故线段C1P长度的最小值为.21C P2221C P1C P2221C P222(-2)(-2)ab222(1-)(-2)bb22-67bb 2352-22b321C P102102考点二考点二 空间角与距离空间角与距离考向基础考向基础1.向量法求空间角向量法求空间角(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,为异面直线所成的角,则cos=|cos|=.(2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为斜线l与平面所成的角,则sin=|cos|=.(3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角
7、为,则=或=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=.|a ba b|a na n1212|n nn n(2)线面距离:已知直线a平面,直线a上一点B(x0,y0,z0),平面内一点A(x1,y1,z1),平面的一个法向量n,则直线a到平面的距离为d=;(3)面面距离:已知平面平面,平面内一点A(x1,y1,z0),平面内一点B(x0,y0,z1),平面(或平面)的一个法向量n,则平行平面,间的距离为d=.|BA|nn|BA|nn 2.向量法求空间距离向量法求空间距离(1)点面距离:已知平面外一点B(x0,y0,z1),平面内一点A(x1,y1,z0),平面的一个法向量n,则点B到平
8、面的距离为d=;|BA|nn 考向一考向一 用向量法求线线角、线面角用向量法求线线角、线面角考向突破考向突破例例3(1)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,则异面直线AB和CD所成角的余弦值为 .(2)(2016课标,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.证明MN平面PAB;求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解析解析(1)设等边三角形ABC的边长为2.取BC的中点O,连接OA、OD,等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,OA,OC,OD两两垂直,以O为
9、坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,),B(0,-1,0),C(0,1,0),D(,0,0),=(0,-1,-),=(,-1,0),cos=,33AB 3CD 3AB CD|AB CDAB CD 12214异面直线AB和CD所成角的余弦值为.(2)证明:由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.142312因为AT平面PAB,MN 平面PAB,所以MN平面PAB.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,且AE=.以A为坐标原点,的
10、方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,=(0,2,-4),=,=.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则即22-AB BE22-2BCAB5AE 55,1,22PM PN 5,1,-22AN5,1,22PM0,PN0,nn 2-40,5-20,2yzxyz可取n=(0,2,1).于是|cos|=.即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.AN|AN|AN|nn8 5258 525答案答案(1)14考向二考向二 用向量法求二面角用向量法求二面角例例4如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面AA1C1C
11、,AA1=AB=AC=2,A1AC=60.过AA1的平面交B1C1于点E,交BC于点F.(1)求证:A1C平面ABC1;(2)求证:四边形AA1EF为平行四边形;(3)若=,求二面角B-AC1-F的大小.BFBC23解析解析(1)证明:因为AB平面AA1C1C,A1C平面AA1C1C,所以A1CAB.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC,所以平行四边形AA1C1C为菱形,所以A1CAC1.又ABAC1=A,AB,AC1平面ABC1,所以A1C平面ABC1.(2)证明:因为A1AB1B,A1A 平面BB1C1C,BB1平面BB1C1C,所以A1A平面BB1C1C.因为平面AA1EF平面B
12、B1C1C=EF,所以A1AEF.因为平面ABC平面A1B1C1,平面AA1EF平面ABC=AF,平面AA1EF平面A1B1C1=A1E,所以A1EAF,所以四边形AA1EF为平行四边形.(3)在平面AA1C1C内,过A作AMAC.因为AB平面AA1C1C,所以AB,AC,AM两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,1,),C1(0,3,),所以=(-2,2,0),=(0,3,).因为=,所以=,33BC 1AC 3BFBC23BF 23BC 4 4-,03 3所以F,所以=.由(1)得平面ABC1的一个法向量为=
13、(0,1,-).设平面AC1F的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则x=-2,z=-,所以n=(-2,1,-).所以cos=.由图可知二面角B-AC1-F的平面角是锐角,所以二面角B-AC1-F的大小为45.2 4,03 3AF 2 4,03 31AC31AC0,AF0,nn 330,240.33yzxy331AC11A|A|nCnC 22平面ABC1;(2)由面面平行的性质定理、线面平行的性质定理分别得到两组对边互相平行,进而证明四边形AA1EF为平行四边形;(3)由平面的法向量和夹角公式求解.思路分析思路分析(1)通过证明四边形AA1C1C为菱形,得出A1CAC1,从而证得A1C考
14、向三考向三 用向量法求距离用向量法求距离例例5已知正方形ABCD的边长为1,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解析解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,=,=,=(0,0,1).设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),11,021,1,02PE 11,-12EF 1 1-,02 2DP 则有令x=1,则n=.点D到平面PEF的距离d=.(2)直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离.=,平面PE
15、F的一个法向量为n=,点A到平面PEF的距离d1=.PE0,EF0nn1-0,211-022xy zxy3,2.zxyx31,1,2|DP|nn 3217231717AE 10,0231,1,2|AE|nn 121721717直线AC到平面PEF的距离为.1717方法1 空间角与距离的向量求法空间角与距离的向量求法1.两条异面直线所成角的向量求法设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,其夹角为,异面直线l,m所成的角为,则根据cos=|cos|=求.2.直线与平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则根据sin=|cos|或cos=s
16、in 求.3.二面角的平面角的向量求法(1)若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的平面角就是向量与的夹角(如图甲).|a ba bAB CD 方法技巧方法技巧(2)设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角(如图乙、丙).4.点面距离的向量求法如图,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离|=|cos|=.BO AB AB|AB|nn 5.线面、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解.6.异面直线间距离的求法如图所示,CD是异面直线a与b的公垂线段,A、B分别为a
17、、b上的两点,令na,nb,则n.CD=+,n=n+n+n,即n=n.两异面直线a与b的距离d=|=.AB AC CD DB AB AC CD DB AB CD CD|AB|nn 例例1设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.3222332 33解析解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则即11D A1DADB 1DA0,DB0,nn 220,220,xzxy令x=1,
18、则y=-1,z=-1,故n=(1,-1,-1),点D1到平面A1BD的距离是d=.11|D A|nn 232 33答案答案 D方法2 用向量法求立体几何中的探索性问题用向量法求立体几何中的探索性问题常见的探索性问题有以下两种类型:(1)条件追溯型:解决此类问题的基本策略为执果索因,其结论明确,需要求出使结论成立的充分条件,将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点.但在执果索因的过程中,常常会犯的错误是将必要条件当成充要条件,应引起注意.(2)存在判断型:解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略为:先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数
19、据或事实,说明假设成立,即存在;若导出与条件相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,所以用传统方法解决起来难度比较大,若用空间向量通过待定系数法求解存在性问题,则思路简单,解法固定,操作方便.例例2 (2016北京,17,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.5AMAP解题导引解题导引 解析解析(
20、1)证明:因为平面PAD平面ABCD,ABAD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又=(1,1,-1),PD0,PC0,nn -0,2-0.y zx zPB 所以cos=-.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点,则存在0,1使得=.因此M(0,1-,),=(-1,-,).因为BM 平面PCD,所以BM平面PCD当且仅当n=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0,解得=.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时=.PB PB|PB|nn3333AM AP BM BM 14AMAP14
