1、 小结与复习第11章 数的开方要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质 概 念表示主要性质平方根 算术平方根 立方根 若 ，则x叫做a的平方根.2(0)xa aa正数有两个平方根，互为相反数0的平方根是0.负数没有平方根.若 则x的非负数值 叫做a的算术平方根.2(0)xa aa非负性：当a 0时，0.a若 ，则x叫做的立方根.3xa3a正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.要点梳理要点梳理联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 才
2、有；(3)0的平方根、算术平方根均为 .平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为 运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ；(3)0的平方根和立方根都是0.非负数0逆3a3a二、开平方与开立方 求一个非负数a的 的运算，叫做开平方其中a叫做 .求一个数a的 的运算，叫做开立方其中a叫做 .开平方与 、开立方与 都分别互为逆运算 点拨(1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求
3、一个数的平方根(立方根)平方根被开方数立方根被开方数平方立方强调：数的开方的几个重要性质性质1：a 0(a0)（双重非负性）性质2：(a)2=a(a0)性质3：（a0）a （a0）-a a2=|a|=性质4：33aa 点拨算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根1.用计算器求一个正数的算术平方根三、用计算器求算术平方根、立方根2.用计算器求立方根 用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 （）SHIFTa=a=用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上
4、依次键入3四、实数1.实数的分类(1)按定义分：(2)按符号分：实数有理数分数整数无理数（有限小数及无限循环小数）（无限不循环小数）实数正实数负实数正有理数正无理数负有理数负无理数02.实数与数轴(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运算法则以及运算律同样适用.考点讲练考点讲练考点一考点一 平方根、算术平方根及立方根平方根、算术平方根及立方根 例1 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-18，求这个正数.【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于a的一元一次方程，
5、解之求得a的值，从而可求出这个正数.解：根据平方根的性质，有a+3+2a-18=0，解得a=5，a+3=8，82=64，所以这个正数是64.一个正数的平方根有两个，它们互为相反数而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.方法总结1.下列说法正确的有（）-64的立方根是-4；49的算术平方根是7；的立方根是 ；的平方根是 .A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个1271311614B针对训练C2.的平方根是 （）A.4 B.2 C.2 D.416例2 若a，b为实数且 +|b-1|=0，则(ab)2016=.1a3.若 与(b-27)2 互为相反数
6、，则 .33ab8a-11【解析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据乘方的定义求出(ab)2016的值.+|b-1|=0，a+1=0，且b-1=0，a=-1，b=1.(ab)2016=(-11)2016=(-1)2016=1，故填1.1a1初中阶段主要涉及三种非负数：0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.a方法总结针对训练4.在实数，0，-1 中，无理数是（）A.B.C.0 D.-11515B例3 在实数 ，中，无理数有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个34222A考点考点二 无理数的识别针对训练【解析】是分数；虽然含有分母2，但它的分子是无
7、理数 ，所以 是无理数；同理 也是无理数.故选B.34222222例4 如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论正确的是（）A.ab B.|a|b|C.-ab D.a+b0ba0BAC【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|0，根据|a|b|，知-ab，C正确.故选C.针对训练5.若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧B考点考点三 实数与数轴上的点的关系例5 估计 的值在（）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间61B考点考点四 实
8、数的运算与大小比较【解析】469因此 的值在3到4之间.故选B.469,263,3614,即61 像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.方法总结针对训练6.满足 的整数x是 .23x1,0,18.规定用符号x表示一个实数x的整数部分，例如：3.14=3，=0.按此规定 的值为 .23 10147.比较大小:.21215 例6 计算 .3136227432【解析】对于被开方数是带分数的，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方.31933362276
9、363.4422 3.2故填针对训练7289.计算 .331632700.125+1464考点五 本章数学思想和解题方法u分类讨论思想 例7 a的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b=【解析】a的算术平方根是3，可知a=9；16的平方根有两个，为4.由此可以确定a，b的值，然后代入计算即可.当a=9，b=4时，a+b=13；当a=9，b=-4时，a+b=5.故答案为13或5.13或5方法总结 对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.10.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2，求a-b+c的值.针对训练解：由题意可知a=4或-
10、4，b=-3，c=2或-2.有以下四种情况：（1）当a=4，b=-3，c=2时，a-b+c=4-（-3）+2=9；（2）当a=-4，b=-3，c=2时，a-b+c=-4-（-3）+2=1；（3）当a=4，b=-3，c=-2时，a-b+c=4-（-3）+（-2）=5；（4）当a=-4，b=-3，c=-2时，a-b+c=-4-（-3）+（-2）=-3.综上所述，a-b+c的值为9或1或5或-3.u数形结合思想 例8 如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和 ，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为 【解析】设点C所对应的实数是x根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可设点C所对应的实数是x，则有x-=-1，解得x=2 -1故答案为2 -132 31333311.数轴上A，B两点对应的实数分别是 和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为 .针对训练242方法总结 数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答.平方根实 数数的开方性质有理数整数无理数立方根性质分数平方根a算术平方根a立方根3a课堂小结课堂小结
