1、导数及其应用复习小结导数及其应用复习小结精选本章知识结构本章知识结构 导数导数导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度 最优化问题最优化问题精选 2导函数导函数：如果函数：如果函数y=f(x)在区间在区间(a，b)内每一点都内每一点都可导，就说可导，就说y=f(x)在区间在
2、区间(a，b)内可导即对于开区间内可导即对于开区间(a，b)内每一个确定的内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数值，都相对应着一个确定的导数f(x0)，这样在开区间，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一内构成一个新函数，把这一新函数叫做新函数叫做f(x)在在(a，b)内的导函数简称导数记作内的导函数简称导数记作f(x)或或y.即即f(x)=y=0()()limxf xxf xx 精选由由定义定义求导数的步骤（三步法）求导数的步骤（三步法）f f(x x)x x)f f(x xy y求求增增量量(1 1)x xf(x)f(x)x)x)f(xf(xx xy y算比值算比值(2)(
3、2)x xy yl li im my y求求极极限限(3 3)0 0 x x 精选3导数的几何意义导数的几何意义：函数：函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的几何意义，就是曲线的几何意义，就是曲线y=f(x)在在P(x0，f(x0)处的切处的切线的斜率，即曲线线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0，f(x0)处的切线处的切线斜率为斜率为kf(x0)所以曲线所以曲线 yf(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为处的切线方程为 y y0=f(x0)(xx0)精选 4导数的物理意义导数的物理意义：物体作直线运动时，：物体作直线运动时，路程路程s关于时间关于时间t的函数为：的函
4、数为：s=s(t)，那么瞬时，那么瞬时速度速度 v 就是路程就是路程 s 对于时间对于时间t的导数，即的导数，即v(t)=s(t).精选导数的运算法则导数的运算法则:法则法则1:1:()()()()f xg xf xg x法则法则2:2:()()()()()()f x g xfx g xf x g x法则法则3:3:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回精选导数公式导数公式：xxcos)(sin/0)(/C1/)(nnnxxxxsin)(cos/xx1)(ln/xxee/)(exxaalog1)(log/aaaxxln)(/复合函数求导
5、复合函数求导：().()()()g xu f uf ug x精选1)1)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,b)a,b)内单调递增；内单调递增；2)2)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f(x)0，精选函数的极值函数的极值1)1)如果如果b b是是f f(x)=0(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f f(x)0(x)0，在，在b b右侧附近右侧附近f f(x)0(x)0，那么，那么f(b)f(b)是函数是函数f(x)f(x)的一个极大值的一个极大值2)2)如果如果a a是是f f(x)=0(x)
6、=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧的左侧附近附近f f(x)0(x)0(x)0，那么是，那么是f(a)f(a)函数函数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值.注注：导导数数等等于于零零的的点点_ _ _ _ _ _ _ _是是极极值值点点精选2)2)在在闭区间闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一的图象是一条条连续不断连续不断的曲线的曲线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3)f(b
7、)f(b)f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)gg返回返回精选考点1：利用导数求切线 则切点的横坐标为的一条切线的斜率为已知曲线,21ln34.22xxyA.3D.1/2C.1B.2精选Axxxxxxxxy:3,02,306,21321:212/答案又解析精选精选不在曲线上。，点）曲线方程为解：160323Axxy0300003,xxyMyxM坐标满足，则点设切点为)(1(3,130200200/xxxyyxxf故切线方程为由点A（0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030 xxxx28030 xx，解得化简得，所以切点为)2,2(M。切线方程为：0169 yx精选 考点考
8、点2.函数的最值函数的最值精选 3,1,0/xxxfII或解得）令aaf2181282 aaf22181282 aaxf52222，最小值为的最大值为，在区间所以函数22022aa aaf59311725最小值为 3,1,0/xxxfII或解得）令aaf2181282 aaf22181282 aaxf52222，最小值为的最大值为，在区间所以函数22022aa aaf59311725最小值为 aaf59311725最小值为精选考点考点3：函数的极值：函数的极值已知函数已知函数取得极值，在13)(23xxbxaxxf 的极大值还是极小值；是函数和讨论xfff11已知函数已知函数取得极值，在13)
9、(23xxbxaxxf 的极大值还是极小值；是函数和讨论xfff11精选解解：解解：上是减函数。上是增函数，在在1,1,1,1,)(xf 011,323)(2ffbxaxxf依题意得01.0323,0323bababa即)1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf 1,10/xxxf令,1,10/xxxf或令,110/xxf令 .2121是极小值是极大值，ff解解：解解：上是减函数。上是增函数，在在1,1,1,1,)(xf 011,323)(2ffbxaxxf依题意得01.0323,0323bababa即)1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf 1,10/xxxf令,1,1
10、0/xxxf或令,110/xxf令 .2121是极小值是极大值，ff上是减函数。上是增函数，在在1,1,1,1,)(xf 011,323)(2ffbxaxxf依题意得01.0323,0323bababa即)1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf 1,10/xxxf令,1,10/xxxf或令,110/xxf令 .2121是极小值是极大值，ff 011,323)(2ffbxaxxf依题意得01.0323,0323bababa即)1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf 1,10/xxxf令,1,10/xxxf或令,110/xxf令 .2121是极小值是极大值，ff精选考点考点
11、4：函数的单调性：函数的单调性若函数若函数1)1(2131)(23xaaxxxf在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数a的取值范围.在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数a的取值范围.精选依依题题意意应应有有当当依依题题意意应应有有当当0)(xf.11axx或令令，解得，解得.0)(,),6(,0)(,)4,1(xfxxfx时当时)(xf.1)(2aaxxxf解解：函函数数解解：函函数数的的导导数数的的导导数数.614 a.75 a所所以以所所以以解解得得解解得得所所以以a的的取取值值范范围围是是5，7.所所以以a的的取取值值范范围围是是5，
12、7.为增函数。在为减函数内在上为增函数在函数时即当),1(,)1,1(,)1,()(,211aaxfaa不合题意上是增函数在函数时即当,),1()(,211xfaa依依题题意意应应有有当当依依题题意意应应有有当当0)(xf.11axx或令令，解得，解得.0)(,),6(,0)(,)4,1(xfxxfx时当时)(xf.1)(2aaxxxf解解：函函数数解解：函函数数的的导导数数的的导导数数.614 a.75 a所所以以所所以以解解得得解解得得所所以以a的的取取值值范范围围是是5，7.所所以以a的的取取值值范范围围是是5，7.为增函数。在为减函数内在上为增函数在函数时即当),1(,)1,1(,)1
13、,()(,211aaxfaa不合题意上是增函数在函数时即当,),1()(,211xfaa0)(xf.11axx或令令，解得，解得0)(xf.11axx或令令，解得，解得.0)(,),6(,0)(,)4,1(xfxxfx时当时)(xf.1)(2aaxxxf解解：函函数数解解：函函数数的的导导数数的的导导数数.614 a.75 a所所以以所所以以解解得得解解得得所所以以a的的取取值值范范围围是是5，7.所所以以a的的取取值值范范围围是是5，7.为增函数。在为减函数内在上为增函数在函数时即当),1(,)1,1(,)1,()(,211aaxfaa不合题意上是增函数在函数时即当,),1()(,211xf
14、aa.0)(,),6(,0)(,)4,1(xfxxfx时当时)(xf.1)(2aaxxxf解解：函函数数解解：函函数数的的导导数数的的导导数数)(xf.1)(2aaxxxf解解：函函数数解解：函函数数的的导导数数的的导导数数.614 a.75 a所所以以所所以以解解得得解解得得.614 a.75 a所所以以所所以以解解得得解解得得所所以以a的的取取值值范范围围是是5，7.所所以以a的的取取值值范范围围是是5，7.为增函数。在为减函数内在上为增函数在函数时即当),1(,)1,1(,)1,()(,211aaxfaa不合题意上是增函数在函数时即当,),1()(,211xfaa精选（1）正确理解导数的
15、概念和意义，导数是一个函数的改变量）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在即函数值在x=x0点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决；的问题都可以用导数来解决；（2）掌握求导数的方法，特别是在求复合函数的导数时，一）掌握求导数的方法，特别是在求复合函数的导数时，一定要把握层次，把每一层的复合关系都看清楚；定要把握层次，把每一层的复合关系都看清楚；（3）利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数）利用导数
16、来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一 些与实际相关的问题。些与实际相关的问题。三三 小结小结:精选1.若曲线若曲线y=x3在点处的切线的斜率等于在点处的切线的斜率等于，则点的坐标为，则点的坐标为()(A)(2,8)(B)(-2,-8)(C)(-1,-1)或或(1,1)(D)(-1/2,-1/8)2.若曲线若曲线y=x5/5上一点处的切线与直线上一点处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为垂直，则此切线方程为()(A)5x+5y-4=0 (B)5x-5y-4=0 (C)5x-5y+4=0 (D)以上皆非以上皆非精选3.曲线曲线y=x3/3-x2+5在点处的切线的倾角在点处的切线的倾角为为3/4，则的坐标为则的坐标为.精选5.已知已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为的极大值为6，那，那么么a等于等于()(A)6 (B)0 (C)5 (D)1 6.函数函数y=x3-3x的极大值为的极大值为()(A)0 (B)2 (C)+3 (D)1 精选
