1、圆心角_弧_弦_的关系课件1、了解圆的旋转不变性。2、理解圆心角、弦心距的概念。3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系。学习目标学习目标我们知道圆是轴对称图形，经过圆心的我们知道圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。每一条直线都是它的对称轴。O那么圆是中心对称图形吗？那么圆是中心对称图形吗？顺时针旋转顺时针旋转90顺时针旋转顺时针旋转180圆即是轴对称图形也是中心对称图形圆即是轴对称图形也是中心对称图形它的圆心就是对称中心。其实圆旋它的圆心就是对称中心。其实圆旋转任意角度都能与自身重合。转任意角度都能与自身重合。圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做
2、圆心角圆心角.OBA一、概念一、概念DABO圆心到弦的距离，叫圆心到弦的距离，叫弦心距弦心距,右图中，右图中，OD为为AB弦的弦心距。弦的弦心距。如如:AOB判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。OOOO根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位的位置时，置时，AOBAOB，射线，射线 OA与与OA重合，重合，OB与与OB重重合而同圆的半径相等，合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点点 A与与 A重重合，合，B与与B重合重合OABOABABAB二、二、探究探究 如图，将圆心角如图，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置
3、，的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能发现哪些等量关系？为什么？重合，重合，AB与与AB重合重合AB与AB.ABA B AB=ABCC/OA/B/AB 弧、弦、圆心角之间的关系：弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。所对的弧相等，所对的弦相等。如图，作如图，作OCAB于于C，OC/A/B/于于C/在上述定理的条件下，在上述定理的条件下，OC=OC/是否成立？是否成立？可通过可通过AOB AOB然后利用全等的性质得到然后利用全等的性质得到圆心角圆心角,弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理（圆心角定理）（
4、圆心角定理）在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等.OABDABDOABDOABD由条件由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出拓展与深化拓展与深化 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果轮换下面四组条件如果轮换下面四组条件:两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距,你能得出什么结论你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由与同伴交流你的想法和理由.OABDABDOABDOABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=A
5、OB推论推论 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条两条弧弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相等有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等.OABDABDOABDOABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB条件条件结论结论在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果圆心角相等如果圆心角相等那么那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的圆心角所对的弦的弦心距相等弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所对的圆心
6、角相等弦所对的圆心角相等弦所对的弧相等弦所对的弧相等弦的弦心距相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所对的圆心角相等弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等 推论：推论：(圆心角定理的逆定理圆心角定理的逆定理)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有两条弧、两条
7、弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。各组量都分别相等。如图如图,AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，OE、OF为为AB、CD的弦心距，的弦心距，如果如果ABCD，那么，那么 ，；如果如果OEOF，那么，那么 ，；如果弧如果弧AB弧弧CD，那么，那么 ，；如果如果AOBCOD，那么，那么 ，。CABDEFO练习练习下列说法正确吗？为什么？下列说法正确吗？为什么？在在 O和和 O中，中，AOBAOBABAB在在 O和和 O中，中，弦弦AB弦弦AB 弧弧AB弧弧AB注意前提：在同圆或等圆中OABAB 下面的说法正确吗?为什么?
8、如图,因为 BOAAOB根据圆心角、弧、弦的关系定理可知：BAAB1.下列命题中真命题是（下列命题中真命题是（）A、相等的弦所对的圆心角相等。、相等的弦所对的圆心角相等。B、圆心角相等，所对的弧相等。、圆心角相等，所对的弧相等。C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。D、长度相等的弧所对的圆心角相等。、长度相等的弧所对的圆心角相等。2、在、在 O中，中，=，B=70，则，则A=ABA、如图：、如图：AB为为 O的直径，的直径，=，COD=35，则则AOE=度。度。BCCDDEABCDEo牛刀小试牛刀小试BC=CD=DE BOC=COD=DOE=35 1
9、803 3575AOE 解：解：C40 75证明：证明：AB=AC又又ACB=60，AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO四、例题选讲四、例题选讲例例1.如图如图,在在 O中，中，ACB=60，求证：求证：AOB=BOC=AOC.AB AC AB=AC ABC是等边三角形是等边三角形.D C A B O1.如图如图,AB、CD为为的两条弦，的两条弦，,求证求证ABCD.O AD=BC2.已知：如图，已知：如图，AD=BC.求证：求证：ABCDOCBDAE练习练习例例2：已知如图（：已知如图（1）O中，中，AB、CD为为 O的弦，的弦，1=2，求证：，求证：AB=CD变式练习变式练习1：
10、如图（如图（1），已知弦），已知弦AB=CD，求证：求证：1=212ABCDO（1）变式练习变式练习2：如图（如图（2），），O中，弦中，弦AB=CD，求证：求证：BD=ACABCDO变式练习变式练习3：如图（如图（2），），O中，弦中，弦BD=AC，猜测猜测A与与D的数量关系。的数量关系。（）3.已知：已知：AB是是 O的直径的直径,M.N是是AO.BO的中点。的中点。CMAB,DNAB,分别与圆交分别与圆交于于C.D点。点。求证：求证：AC=BD O（1）试判断）试判断OEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；4.如图所示，如图所示，CD为为 O的弦，在的弦，在CD上取上取CE=DF，
11、连结连结OE、OF，并延长交，并延长交 O于点于点A、B。（2）求证：）求证：AC=BDABCDEF 5.如图：已知如图：已知OA，OB是是 O中的两条半径，且中的两条半径，且OAOB,D是弧是弧AB上的一点，上的一点，AD的延长线交的延长线交OB延长线于延长线于C。已知。已知C=250，求圆心角，求圆心角DOB的度数的度数.O例例3：已知：如图（：已知：如图（1），已知点），已知点O在在BPD的角平分线的角平分线PM 上，且上，且 O与角的两边交于与角的两边交于A、B、C、D，求证：求证：AB=CDOPACDMB（1）变式变式1：如图（：如图（2），），P的两边与的两边与 O交与交与A、B、
12、C、D，AB=CD求证：点求证：点O在在BPD的平分线上的平分线上OPACDB（2）变式变式2：如图（：如图（3），），P为为 O上一点，上一点，PO平分平分APB，求证：求证：PA=PBPABO(3)变式变式3：如图（：如图（4），当），当P在在 O内时，内时，PO平分平分BPD，在，在 中还中还存在相等的弦吗？存在相等的弦吗？APCBDO（）OBACDFE已知：如图，已知：如图，O的两条半径的两条半径OAOB，C、D是弧是弧AB的三等分点的三等分点。求证：求证：CDAEBF。如图，如图，O在在ABC三边上截得的弦长相三边上截得的弦长相等，等，A=70，则，则BOC=度。度。思考思考 BACODEFGMNPQH125已知：如图，已知：如图，AB、CD是是 O的弦，且的弦，且AB与与CD不平行，不平行，M、N分别是分别是AB、CD的中点，的中点，AB=CD，那么，那么AMN与与CNM的大小关系是什么？为什么？的大小关系是什么？为什么？思考思考 O B A C D M N 同圆或等圆中两个圆心角同圆或等圆中两个圆心角有二倍关系；问：它们所有二倍关系；问：它们所对的两条弦之间有二倍关对的两条弦之间有二倍关系么？系么？
