1、 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .） 1.已知集合 2 log1Pxx ， 1Qx x，则PQ （ ） A 1 0, 2 B 1 ,1 2 C0,1 D 1 1, 2 【答案】A 考点：集合的运算 2.已知i为虚数单位，复数z满足 2 3 13i1 iz ，则z为（ ） A 1 2 B 2 2 C 2 4 D 2 16 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得， 3 2 1 i112 422 322
2、3 13i ii zz ii ，故选 C 考点：复数的运算 3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ） A8 B12 C18 D24 【答案】B 考点：几何体的三视图及几何体的体积 【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力， 属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原 几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可 求解该组合体的体积学科来源: 4.已知命题p：方程 2 210xax 有两个实数根；命
3、题q：函数 4 f xx x 的最小值为4给 出下列命题： pq；pq；pq；pq 则其中真命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 试题分析： 由 22 ( 2 )4 ( 1)440aa ， 所以方程 2 210xax 有两个实数跟， 所以命题p是 真命题；当0x时，函数 4 fxx x 的取值为负值，所以命题q为假命题，所以pq，pq， pq 是真命题，故选 C 考点：命题的真假判定 5.由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（ ） A10 3 B4 C16 3 D6 【答案】C 考点：定积分求解曲边形的面积 6.函数 2 1 cos 1ex f xx 的
4、图象的大致形状是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得， 21 1 coscos 1 e1 e x xx e f xxx ，所以 1 cos() 1 e x x e fxx 1 cos( ) 1 e x x e xf x ，所以函数 f x为奇函数，图象关于原点对称，排除选项 A，C；令1x ，则 1 21 11 cos1cos10 1 e1 e e f ，故选 B 考点：函数的奇偶性及函数的图象 7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A 13 21 B 21 13 C 8 13 D13 8 【答案】D 考点：程序框图的计算 8.定义在R上的函数
5、 f x满足 1f xfx， 04f，则不等式 ee3 xx f x （其中 e为自然对数的底数）的解集为（ ） A0, B ,03, C ,00, D3, 【答案】A 【解析】 试题分析：设 , xx g xe f xe xR，则 ( )( ) 1 xxxx g xe f xe f xee f xf x，因为 1f xfx ，所以 ( ) 1f xfx0，所以 0g x，所以 yg x是单调递增函数，因为 ee3 xx f x ，所以 3g x ，又因为 00 003ge fe，即 0g xg，所以0x，故选 A 考点：利用导数研究函数的单调性来源:学+科+网 9.若实数a，b，c，d满足
6、2 2 2 3ln20baacd，则 22 acbd的最小值 为（ ） A2 B2 C2 2 D8 【答案】D 考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用 10.已知 1 1 ,01, 2 2,1, x xx f x x 存在 21 0xx，使得 12 f xf x，则 12 x f x的取值范 围为（ ） A 21 1 , 42 B 1 ,1 2 C 2 ,1 4 D 22 1 , 32 【答案】A 【解析】 试题分析：作出函数 1 1 ,01, 2 2,1, x xx f x x 的图象，如图所示，因为存在 21 ,x x当 21 0xx时， 12 f xf x，所以 1 1 0 2
7、x，因为 1 2 x在 1 0,) 2 上的最小值为 1 1 ,2 2 x 在 1 ,2) 2 上的最小值为 2 2 ， 所以 11 1221 222 xx ，所以 1 211 22 x ，因为 1121 1 (), 2 ff xxf xx，所以 2 12111 1 1 () 2 xfxx f xx，令 2 1 1 1 2 yx（ 1 211 22 x ） ，所以 2 1 1 1 2 yx为开口向上，对称轴 为 1 4 x 上抛物线，所以 2 1 1 1 2 yx在区间 21 1 , ) 22 上递增，所以当 21 2 x 时， 22 4 y ，当 1 2 x 时， 1 2 y ，即 12 x
8、 f x的取值范围是 21 1 , 42 ，故选 A 考点：对数函数的图象及二次函数的性质 11.设函数 32 1 3 3 f xxxx，若方程 2 10f xt f x 有12个不同的根，则实数t的 取值范围为（ ） A 10 , 2 3 B, 2 C 34 , 2 15 D1,2来 源:163文库 【答案】C 选 C 考点：根的存在性及根的个数判断 【方法点晴】本题主要考查了方程中根的存在性及其方程根的个数的判读，其中解答中涉及到函利用导数 研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，以及数与方程思想的应用、试题有一定的难度，属 于中档试题，解答中利用换元法转化为一元二次函数，利用一元
9、二次函数的性质是解答问题的关键，着重 考查了学生转化与化归思想、推理与运算能力 12.设曲线 exf xx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1 l，总存在曲线 32cosg xaxx 上某点处的切线 2 l，使得 12 ll，则实数a的取值范围为（ ） A1,2 B3, C 2 1 , 3 3 D 1 2 , 3 3 【答案】D来源: 考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究过曲线在某点的切线方程，其中解答中涉及到函数的求导数的 公式、两条直线的位置关系的判定与应用，解答此类问题的关键在于把问题转化为集合之间的关系，列出 不等式组求解，试题有一定
10、的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转 化与化归思想的应用 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分 ）分 ） 13.设1m，变量x，y在约束条件 , , 1 yx ymx xy 下，目标函数zxmy的最大值为2，则 m_ 【答案】12m 考点：简单的线性规划的应用 14.函数exymx在区间0,3上有两个零点，则m的取值范围是_ 【答案】 3 e e, 3 【解析】 试题分析：由题意得e0 x ymx，得 x e m x ，设 22 (1)
11、 xxxx eexeex f xfx xxx ，可得 f x在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x 时，函数 f x取得极小值，同时也 是最小值 1fe， 因为当0x时， f x ， 当3x 时， 3 3 3 e f， 所以要使得函数exymx 在区间(0,3上有两个零点，所以实数m的取值范围是 3 e e 3 m 考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值） 15.已知函数 322 3f xxmxnxm在1x时有极值0，则mn_ 【答案】11 考点：利用导数研究函数的极值 【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单
12、 调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值 0 ()0fx，反之结论不成立，即函数由 0 ()0fx，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性 的改变） ，防止错解，属于基础题 16.定义在R上的函数 f x满足： 2 fxf xx，当0x时， fxx，则不等式 1 1 2 fxfxx的解集为_ 【答案】 1 2 x 来源:163文库 考点：抽象的性质及其应用 【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质及其应用，其中解答中涉及到利用到导数研究函数的单调性、 函数单调性的应用、不等式的求解等知识点的考查，同时考查了构造函数研究函数性质的能力，其
13、中根据 题设，利用导数研究出函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及学生的推理与运算能力 三、解答题三、解答题（本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 cos2cos3cos abc ABC （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为3，求a的值 【答案】 （1） 4 A ； （2）5a 【解析】 试题分析： （1）根据正弦定理化简得 sinsinsin cos2cos3cos ABC
14、 ABC ，即可得到tan2tanBA， tan3tanCA，利用三角恒等变换，可知求解tan1A，即可求解角A的大小； （2）利用正弦定理得出 sin sin B ba A ，代入三角形的面积公式，即可求解a的值 （2）由tan1A可得tan2B，tan3C ，则 2 sin 5 B ， 3 sin 10 C 在ABC中有 sinsin ab AB ， 则 2 sin2 10 5 sin52 2 B baaa A ， 则 2 112 1033 sin3 225510 ABC a SabCaa 得 2 5a ，所以5a 考点：正弦定理；三角形的面积公式 18.（本小题满分 12 分） 函数 2
15、 1 ( )ln2 2 f xxaxx （1）当3a 时，求 f x的单调区间； （2）若1,a ，1,ex ，有 0f xb，求实数b的取值范围 【答案】 （1）增区间是 1 0, 3 ，减区间是 1 , 3 ； （2） 3 , 2 【解析】 （2）首先，对于任意1,a ， 2 1 ln2 2 xaxxb恒成立，则 2 max 1 ln2 2 bxaxx 因为函数 22 11 ln22ln 22 h axaxxx axx 在1, 上是减函数， 所以 2 1 12ln 2 h ahxxx， 2 1 2ln 2 bxxx 其次，1,xe ，使不等式 2 1 2ln 2 bxxx成立，于是 2 m
16、in 1 2ln 2 bxxx 令 2 1 2ln 2 g xxxx，则 2 11 20 x gxx xx ，所以函数 g x在1,e上是增函数，于 是 min 3 1 2 g xg，故 3 2 b ，即b的取值范围是 3 , 2 考点：利用导数研究函数的单调性及其最值 19.（本小题满分 12 分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4 sin7bAa （1）求sinB的值； （2）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求coscosAC的值 【答案】 （1） 7 sin 4 B ； （2） 7 coscos 2 AC 【解析】 试题分析： （1）根据正弦定理得4sinsin
17、7sinBAA，即可求解sinB的值； （2）已知和正弦定理以及 考点：正弦定理；三角函数的化简求值 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 42 lnf xaxbxax（, a bR） （1）若函数 yf x存在极大值和极小值，求 b a 的取值范围； （2）设m，n分别为 f x的极大值和极小值，若存在实数 2 e 1e1 , 2e2 e baa ，使得1m n，求a 的取值范围 【答案】 （1）1 b a ； （2） 221 11 ee4ee2 a 【解析】 试题分析： （1）求出函数的导数 fx，函数 yf x存在极大值和极小值，故方程 0fx有两个不 等的正实数根，列出不等式组
18、，即可求解 b a 的取值范围； （2）由 2 e1e1 , 2e2 e baa 得0a，且 2 e 1 e1 , 2e2 e b a 由（1）知 f x存在极大值和极小值，设 0fx的两根为 1 x， 2 x（ 12 0xx） ， 则 f x在 1 0,x上递增，在 12 ,x x上递减，在 2, x 上递增，所以 1 mf x， 2 nf x，根据 12 1x x 可把mn表示为关于 1, x a的表达式，再借助 1 x的范围即可求解a的取值范围 试题解析： （1） 2 2242 24 aaxbxa fxaxb xx ，其中0x2 分 由于函数 yf x存在极大值和极小值，故方程 0fx有
19、两个不等的正实数根， 即 2 2420axbxa有两个不等的正实数根记为 1 x， 2 x，显然0a4 分 所以 22 12 12 160, 2 0, 10. ba b xx a x x 解得1 b a 6 分 令 2 1 tx，则 1 2 lnmna tat t ，令 2 111 2ln ee h tttt t 所以 2 22 112 10 t h t ttt ， 所以 h t在 2 1 1 , ee 上单调递减，所以 122 ee2ee4h t 由 1mnah t，知 1 a h t ，所以 221 11 ee4ee2 a ，1 分 考点：利用导数研究函数的单调性及其极值 【方法点晴】本题
20、主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了 学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答 中根据 12 1x x 可把mn表示为关于 1, x a的表达式， 借助 1 x的范围是试题的难点， 此类问题需平时注重总 结和整理 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xxx， ex x g x （1）记 F xf xg x，判断 F x在区间1,2内的零点个数并说明理由； （2）记 F x在1,2内的零点为 0 x， min,m xf xg x，若 m xn（nR）在1,内 有两个不等实根 1 x， 2 x
21、（ 12 xx） ，判断 12 xx与 0 2x的大小，并给出对应的证明 【答案】 （1） F x在区间1,2有且仅有唯一实根； （2） 120 2xxx，证明见解析 显然当 2 x 时， 120 2xxx，下面用分析法给出证明要证： 120 2xxx即证 2010 2xxxx， 而 m x在 0, x 上递减，故可证 201 2m xmxx，又由 12 m xm x，即证 101 2m xmxx，即 01 01 11 2 2 ln xx xx xx e ， 9 分 记 0 0 2 2 ln xx xx h xxx e ， 0 1xx，其中 0 0h x 000 00 222 1221 1 l
22、n1 ln xxxxxx xxxx h xxx eee ， 10 分 记 t t t e ， 1 t t t e ，当 0,1t时， 0t；1,t时， 0t故 max 1 t e ，而 0t故 1 0t e ，而 0 20xx，从而 0 0 2 21 0 xx xx ee ，因此 000 00 222 12211 1 ln1 ln10 xxxxxx xxxx h xxx eeee ，11 分 即 h x单增从而 0 1xx时， 0 0h xh x即 01 01 11 2 2 ln xx xx xx e ， 故 120 2xxx得证 12 分 考点：利用导数研究函数的单调性及其极值（最值） 【方
23、法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了 学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答 中由 （1） 和题设条件， 得出函数 0 0 ln ,1 , x xxxx m x x xx e ， 进而利用函数 m x的性质求解是解答的关键， 此类问题需要注重方法的总结和积累 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .解答时请解答时请 写清题号写清题号. . 22.（本小题满分 10 分）选修
24、 4-1：几何证明选讲 如图，AE是圆O的切线，A是切点，ADOE于D，割线EC交圆O于B，C两点 （1）证明：O，D，B，C四点共圆； （2）设50DBC，30ODC，求OEC的大小 【答案】 （1）证明见解析； （2）20 18018020OBCDBCDBCODC 10 分 考点：与圆有关的比例线段 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 10,xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，圆C的极坐标方程为 2 4 sin20 （1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）将直线l向右平移h个单位，所得直线 l 与圆C相切，求h 【答案】 （1） 22 420xyy； （2）6h或10h 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程的应用 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxaa，aR， 21g xx （1）若当 5g x 时，恒有 6f x ，求a的最大值； （2）若当xR时，恒有 3f xg x，求a的取值范围 【答案】 （1）1； （2）2, 考点：绝对值不等式
