1、 河北衡水中学河北衡水中学 2017 届高三摸底联考（全国卷）届高三摸底联考（全国卷）理数试题理数试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1.若集合0xxB，且ABA，则集合A可能是（ ） A. 2 , 1 B.1xx C.1 , 0 , 1 D.R 2.复数 i i z 1 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量a，b满足()5aab，且| 2a
2、，| 1b ，则向量a与b夹角的余弦值为（ ） A. 2 3 B. 2 3 C. 2 1 D. 2 1 4.执行如图所示的程序框图，如输入的a值为 1，则输出的k的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知数列 n a中，1 1 a， 1 21() nn aanN ， n S为其前n项和，则 5 S的值为（ ） A.57 B.61 C.62 D.63 6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A. 3 2 B. 3 C. 9 2 D. 9 16 7.为了得到xy2cos，只需要将) 3 2sin( xy作如下变换（ ） A.向右平移 3 个单位 B.向
3、右平移 6 个单位 C.向左平移 12 个单位 D.向右平移 12 个单位 8.若 A 为不等式组 2 0 0 xy y x 表示的平面区域，则当a从-2 连续变化到 1 时，动直线ayx扫过 A 中的 那部分区域的面积为（ ） A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75 9.焦点在x轴上的椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形， 该三角形内切圆的半径为 3 b ，则椭圆的离心率为（ ） A. 4 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 2 10.在四面体SABC中，ABBC，2ABBC，2SASC，二面角SACB的余弦值是 3
4、3 ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A.68 B.6 C.24 D.6 11.已知函数 5 2 log1,(1) ( ) (2)2,(1) xx f x xx ，则关于x的方程(),f xa aR实根个数不可能为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 12.函数( )sin(2)(,0) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，且0)()(bfaf，对不同的 1 x， 2 ,xa b，若)()( 21 xfxf，有3)( 21 xxf，则（ ） A.)(xf在) 12 , 12 5 ( 上是减函数 B.)(xf在) 12 , 12 5 ( 上是增函数 C.)(xf在) 6 5 , 3 ( 上
5、是减函数 D.)(xf在) 6 5 , 3 ( 上是增函数 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13. 4 1 (1)(1) x x 的展开式中 2 x项的系数为_. 14.已知抛物线 2 2(0)ypx p上一点), 1 ( mM到其焦点的距离为 5，双曲线1 2 2 a y x的左顶点为A， 若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_. 1 5.如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从A点测得M点的仰角 60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC，C点测得60MCA，已知山高 100
6、BC m，则山高MN _m. 16.设函数 x x xf 1 )( 2 ， x e x xg)(，对任意 1 x， 2 (0,)x ，不等式 1 )()( 21 k xf k xg 恒成立，则正数k 的取值范围是_. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之 一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题若某地区 2015 年人
7、口总数为 45 万， 实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年 增加 0.5 万人，从 20216 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 99% （1）求实施新政策后第n年的人口总数 n a的表达式（注：2016 年为第一年） ； （2） 若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万， 则需调整政策， 否则继续实施 问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)100.9） 18.（本小题满分 12 分） 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面 于
8、直线AB，平面ABCD平面 ABPEAB，且2ABBP，1ADAE，AEAB，且/AEBP （1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN 平面ABCD？若存在， 请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角DPEA的余弦值. 来源:学.科.网 19.（本小题满分 12 分） 某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数X依次为 1，2，8，其中5X 为标准 A，3X 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品 的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 （1）已知甲厂产品的等级系数 1
9、 X的概率分布列如下所示： 1 X 5来源:Z.xx.k.Com 6 7 8 P 0.4 a b 0.1来源:ZXXK 且 1 X的数字期望 1 6EX ，求a，b的值； （2）为分析乙厂产品的等级系数 2 X，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样 本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 2 X的数学期望 （3）在（1） 、 （2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由 注：产
10、品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； “性价比”大的产品更具可购买性 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三 角形，直线0643 yx与圆 222 )(abyx相切. （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 1 l，2l分别交椭圆 C 于M，N两点， 且 12 ll， 求证： 直线MN 过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下求AMN面积的最大值. 21.（本小题满分 12 分）已知函数)(1()(aexaxf x (常数Ra且0a). （1）
11、证明：当0a时，函数)(xf有且只有一个极值点；来源:Z|xx|k.Com （2）若函数)(xf存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 1 2 4 0()f x e 且 2 2 4 0()f x e . 请请考生考生在第在第 2222、2 23 3、2424 题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图A、B、C、D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上 （1）若 1 3 EC EB ， 1 2 ED EA ，求 DC AB 的值； （2）若 2
12、 EFFA FB，证明：/EFCD 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l来源:学#科#网 的参数方程为： ty tx 2 1 2 3 1 （t为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为：4cos （1）写出 C 的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）设直线l与曲线 C 相交于P，Q两点，求|PQ值 24.（本小题满分 12 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数322)(xaxxf,21)( xxg. （1）解不等式5)(xg； （2）若对任意的Rx 1 ，都有Rx 2 ，使得)()( 21 xgxf成立，求实数a的取值范围.
