1、 1717- -1818 衡水中学高三数学三轮复习（理科）出神入化（四）衡水中学高三数学三轮复习（理科）出神入化（四） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 若集合， ，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，所以，故选 C. 考点：集合的运算. 2. 复数（ 是虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根据复数的除法运算求
2、得复数 的代数形式后再判断出虚部 详解：由题意得， 复数 的虚部为 故选 A 点睛：本题考查复数的除法运算和复数的基本概念，主要考查学生的运算能力，属容易题 3. 已知等差数列的公差为 ，若成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根据成等比数列求得首项，然后再根据通项公式求即可 详解：成等比数列， ， 即， 解得, . 故选 C. 点睛：本题解题的关键是由条件求出，然后再根据等差数列的通项公式求解，主要考查学生的运算能力 4. 某高校调查了名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习 时间的范围是，样本数据分组为，.根据直
3、方图， 这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间 不少于小时的频率为，故选 C. 考点：频率分布直方图及其应用 视频 5. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：将原式化简得到，然后再根据二项展开式的通项求解 详解：由题意 二项展开式的通项为， 令得常数项为 故选 B 点睛：对于三项式的问题，解题时可转化为二项式求解；若无法转化，则要根据组合的方法求解 6. 直线与圆 有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B
4、 【解析】分析：根据直线和圆的位置关系求出直线和圆有两个不同交点的充要条件，然后再结合给出的选 项求解 详解：圆的方程即为 由直线与圆有两个不同交点得， 解得 又， 直线与圆 有两个不同交点的一个必要不充分条件是 故选 B 点睛：解答本题时注意两点：一是先求出直线与圆有两个交点的充要条件，即；二是要正确 理解必要不充分条件的含义，即是所选择的范围的真子集. 7. 我国古代数学名著九章算术中的更相减损法的思想与下面的程序框图相似.执行该程序框图，若输入 的 ， 分别为，则输出的 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当输入时，则；此时；此时 ；此时；此时；此时运算程序结束， 应
5、输出此时；所以应选答案 A。 8. 设，分别为双曲线 ： 的左、右焦点， 为双曲线的左顶点，以为直径的圆 交双曲线某条渐近线于、 两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先求出点 M，N 的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率 详解：由题意得圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为 设点 M 的坐标为，则点 N的坐标为， 由解得或， ， 又， ， 在中，由余弦定理得 即， 化简得， 故选 C 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求的值，根据 直接求解 (2)将条件中的几何关系用表示出来， 得到含有的方程(或不等式)，借助
6、于消去 b，然后转 化成关于 e 的方程(或不等式)求解 9. 定义在 上的可导函数，其导函数记为，满足，且当时，恒有 . 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：令，求得，则的图象关于(1,3)中心对称，同时可得 在 R 上为减函数，又由可得，然后利用函数的单调性可得结果 详解：令，则 当时，恒有 ，即， 当时，函数 g(x)为减函数 而， 函数 g(x)的图象关于点(1,3)对称， 函数 g(x)在 R上为减函数 由， 得， 即， ，解得 实数 m 的取值范围是 点睛：本题难度较大，考查函数性质的综合运用，同时也考查学生的转化运用能力解题时构造函数是
7、 关键，通过题意可得函数图象的对称性及函数的单调性，然后将不等式转化为，借助 函数的单调性解不等式即可 10. 已知向量， ， 若， 则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,所以 为可行域 内一点,可行域为一个梯形 (去掉线段)及其内部,所 以 ,从而选 B. 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确 定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 11. 已知定义在 上的函数，当时，不等式恒成立， 则实数的取值范围是（
8、 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得 对恒成立,即对恒成立, 因此,选 D. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数 的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式， 便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很 难研究，就不要使用分离参数法. 12. 已知矩形中， ， 分别是 ，上两动点，且，把四边形沿 折起，使平面平面，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
9、 画出折得的几何体（直三棱柱）如图所示，设，则，由题设底面 面积，因为高为 4（定值） ，所以只要求出的最大值时， 折得的几何体的体积最大。令，则，求导可得 ，故当时，即时，几何体的体积最大，此时底面外 接圆的半径为； 设外接球的球心为 ， 则点 到底面的距离， 所以球的半径， 则外接球的体积，应选答案 D。 点睛：解答本题时，先依据题设搞清几何体的形状是棱柱，再运用柱体的体积公式建立几何体的体积的目 标函数，通过求其最大值确定柱体的底面边长即外接圆的半径，进而借助球心距、球半径即截面圆的半径 之间的关系求出球的半径，从而使得问题获解。 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满
10、分 2020 分，将答案填在答分，将答案填在答题纸上）题纸上） 13. 设某总体是由编号为，的个个体组成，利用下面的随机数表选取 个个体，选取方 法是从随机数表第 行的第 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第 个个体编号为 _ .第 行 .第 行 【答案】. 【解析】分析：根据随机数表的读数的规则可得所求的样本个体的编号 详解： 由题意， 从随机数表第 行的第 列数字 开始， 从左到右依次选取两个数字的结果为： 18,07,17,16,09， 19， 故选出来的第 个个体编号为 19 点睛：随机数表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的，在使用随机数表时，如遇到两位数或三 位数
11、时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每两个或每三个作为一个单位，自左向右选取， 有超过总体号码或出现重复号码的数字时应舍去 14. 已知定义在 上的函数与，若函数为偶函数，函数为奇函数，且，则 _ 【答案】12. 【解析】分析：根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解 详解：函数为偶函数，函数为奇函数， 函数的图象关于 y 轴对称，函数的图象关于原点对称 ， 点睛：定积分的几何意义是表示曲线以下、x 轴以上和直线之间的曲边梯 形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负 15. 已知点满足， 的取值范围是_ 【答案】. 【解析】分析：先画出不等式组表示的可行域，然后将看作点到
12、两条直线的距离之和 求解 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示 ， 表示可行域内的点到直线和的距离之和的倍， 结合图形可 得无最大值 由解得，所以点 A 的坐标为 此时 由解得，所以点 A 的坐标为 此时 的最小值为 2， 故得的取值范围为 点睛：线性规划中的目标函数中若含有绝对值，则解题时可根据点到直线的距离公式求解，在求解过程中 需要注意对目标函数进行相应的变形，使之变为距离的形式，如，然后再 根据数形结合求解 16. 已知数列的前 项和为， 满足， 且对任意 都有， 函数， 方程的根从小到大组成数列，则的取值范围是_ 【答案】. 【解析】分析：由求得；然后根据函数及函数与方程的
13、有关知识求得，得到的 表达式后在根据表达式的特征求其取值范围 详解：， ， ， 整理得 又,， ， 设，则， ， ， 即方程在内有且仅有一个实数根， 当时，； 当时， 综上可得的取值范围是 点睛：本题将函数和数列问题综合在一起考查学生分析问题和解决问题的能力，难度较大解题的关键是 准确求得数列和的通项公式，然后得到的表达式，最后再根据表达式的特征求出取值范围 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第
14、2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17. 已知函数 ，满足，且当时，在取得最大 值为 . （1）求函数在的单调递增区间； （2）在锐角的三个角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且，求的取值范围. 【答案】 （1），. （2）. 【解析】 分析：（1） 由可得， 又， 再根据在 取得最大值得到然后再结合可得和，从而得到函数的 解析式将作为一个整体可得单调增区间 （2）由条件可得，根据余弦定理得到 ，再由正弦定理得 ，于是可得 所求范围为 详解： （1）由题意得， 在取得最大值， ， 由题意
15、得，解得， ， , 当或，即或时函数单调递增， 函数在的单调递增区间为， （2）由（1）及条件得， ， ， ， 由余弦定理可得， ， 由正弦定理可得 是锐角三角形， ，解得， ， ， ， . 的取值范围为. 点睛：解答本题注意以下几点： （1）研究三角函数的性质时，首先应将函数解析式化为的形式，然后再将看作一个 整体并结合正弦函数的相关性质求解 （2）求的取值范围时，容易忽视“锐角三角形”这一条件，从而得到扩大的 的范围，导致得 到错误的结果 18. 为及时了解男生和女生分别对高考数学试题接受程度， 四川省招生考试办公室随机测试了位成都七中 高三学生，得到情况如下表： （1）判断是否有以上的把
16、握认为“分数与性别有关”，并说明理由； （2）现把以上频率当作概率，若从成都七中全校学生中随机独立抽取三位男生测试，求这三人中至少有一 人测评分数在以上的概率. （3）已知位测试分数在以上得女生来自高三班或班，其中有 2 人来自 12 班，省招生考试办公室 打算从这位试分数在以上得女生随机邀请两位来参加座谈，设邀请的 人中来自班的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 男生 女生 总计 测试分数在以上 测试分数不超过 总计 附： 【答案】 （1）没有以上的把握认为“分数与性别有关”. （2）（提示：独立重复事件的概率）. （3）分布列见解析，期望为. 【解析】分析： （1）根据题意求得后与临界值表
17、中的数据对照后可得结论 （2）由频率得到概率，然后 求得“这三人的分数都在以下”的概率，再根据对立事件的概率求解 （3）根据题意得到 的所求可能取 值，并分别求出对应的概率，可得分布列和期望 详解： （1）由列联表可得 ， 故没有以上的把握认为“分数与性别有关”. （2）由题意可得，一名男生测试分数在以上的概率为，测试分数在分以下的概率为 ， 记“这三人中至少有一人分数在以上”为事件 ， 则 答：这三人中至少有一人分数在以上的概率为. （3）由题意得 的所求可能取值为 ， ， ， ； ； . 故 的分布列为： . 点睛： （1）临界值表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性 p，所以其有关联
18、的可能性为 1p （2）求离散型随机变量分布列的步骤：根据题意得到随机变量的所有可能取值；求出随机变量每一个 取值对应的概率；列成表格的形式可得分布列 19. 如图，在四棱锥中， ， 是棱中点且. （1）求证：平面； （2）设点 是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求 的值. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【解析】分析： （1）取中点 ，连接，可得四边形为平行四边形，于是，然后根 据线面平行的判定定理可得结论 （2）由题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，将问题转化 为数的运算的问题，并结合函数的有关知识得到线面角最大时的 的值 详解： （1）如图，取中点 ，连接， 因为为
19、的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为为的中点，设， 在中，设，则， 所以， 由余弦定理得， 即， 解得， 则， 所以， 所以 又，且， 所以平面，且 以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为点 是线段上一点，可设， 故， 所以 又面的法向量为， 设与平面所成角为 ， 则 ， 所以当时，即时，取得最大值. 所以与平面所称的角最大时. 点睛：空间向量的引入为空间角的求法提供了简捷的方法，只需借助于向量的运算便可得到所求的角但 解题时也需注意向量的夹角与空间角的关系，以及空间角的取值范围，这是在解题中比较容易忽视的问题， 因
20、此在求得向量的夹角后还得要根据题意再转化成所求的角 20. 已知双曲线的焦点是椭圆 ：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆 的方程； （2）设动点， 在椭圆 上，且，记直线在 轴上的截距为，求的最大值. 【答案】(1) . (2). 【解析】试题分析： （I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，由此 求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一 个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用 表示，进而用基本不等式求得的 最大值. 试题解析： （）双曲线的焦点坐标为，离心率为. 因为双曲线的焦点是椭圆 ：（）的顶点，
21、且椭圆与双曲线的离心率互为倒数， 所以，且，解得. 故椭圆 的方程为. （）因为，所以直线的斜率存在. 因为直线在 轴上的截距为，所以可设直线的方程为. 代入椭圆方程得 . 因为 ， 所以. 设， 根据根与系数的关系得，. 则 . 因为，即 . 整理得. 令，则. 所以 . 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意. 故的最大值为. 21. 已知函数在点处的切线方程为 . （1）求实数 的值； （2）若存在，满足，求实数 的取值范围. 【答案】(1) 实数 的值为 . (2). 【解析】分析： （1）根据导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程，与对照后 可得 （2）问题可转化为在上有解，令，结合
22、导数可得 ，故得实数 的取值范围为 详解： （1）函数的定义域为， ， . ， 又, 所求切线方程为， 即. 又函数在点处的切线方程为， . 所以实数 的值为 . （2）由题意得， 所以问题转化为在上有解. 令， 则 . 令， 则当时，有. 所以函数在区间上单调递减， 所以. 所以， 所以在区间上单调递减. 所以. 所以实数 的取值范围为. 点睛：对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数，转化为求函数最值的问题处理解题时注意 常用的结论：若有解，则；若有解，则当函数的最值不存在时，可利用 函数值域的端点值来代替，解题时特别要注意不等式中的等号能否成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 1
23、010 分分. .请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中， 已知直线 的普通方程为， 曲线 的参数方程为（ 为参数） ， 设直线 与曲线 交于 ， 两点. （1）求线段的长； （2）已知点 在曲线 上运动，当的面积最大时，求点 的坐标及的最大面积. 【答案】(1) . (2),. 【解析】试题分析： （）将曲线 的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求出 点的 坐标，利用两点间的距离公式求解即可； （）设过点 且与直线 平行的直线
24、方程.则 与相切时，的最大面积，求出 点坐标，根据点到直线的距离公式及三 角形面积公式可得结果. 试题解析：（）曲线 的普通方程为. 将直线代入中消去 得，. 解得或. 所以点， 所以 . （）在曲线 上求一点 ，使的面积最大，则点 到直线 的距离最大. 设过点 且与直线 平行的直线方程. 将代入整理得，. 令 ，解得. 将代入方程，解得. 易知当点 的坐标为时，的面积最大. 且点到直线 的距离为 . 的最大面积为. 23. 选修 4-5：不等式选讲 （1）已知，证明：； （2）若对任意实数 ，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【解析】试题分析： （）利
25、用条件运用基本不等式，将原式化为，再应 用条件，即可得结果； （）“对任意实数 ，不等式恒成立”等价于 “”，只需求出的最小值即可得结果. 试题解析：（）证明：因为， 所以 . 所以要证明 ， 即证明. 因为 ， 所以 . 因为，所以. 所以 . （）设 ， 则“对任意实数 ，不等式恒成立”等价于“”. 当时， 此时 ， 要使恒成立，必须，解得. 当时，不可能恒成立. 当时， 此时 ， 要使恒成立，必须，解得. 综上可知，实数 的取范为 . 【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常 见方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立 （即可） ； 数形结合
26、( 图 象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题是利用方法 求 得 的范围. 24. 设函数，. （1）判断函数零点的个数，并说明理由； （2）记，讨论的单调性； （3）若在恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) 的零点的个数为 .理由见解析. (2) 时，在单调递减，时，在单调递减，在单调递增. (3) ，在恒成立. 【解析】分析： （1）先判断出函数在单调递减，再根据零点存在定理可得有唯一的零点 （2） 由题意得由题意得，故，根据 的符号可得到函数的单调 性 （3）由题意知在恒成立设，可得，分析可得若 在恒成立时，必有然后通过对和两种情况的讨论可得满足题意 详解： （1
27、）, ， 故在单调递减， 又， 函数在内存在零点， 所以的零点的个数为 . （2）由题意得 ， 当时，在上单调递减； 当时，由，解得（舍去负值） ， 所以时，单调递减， 当时，单调递增. 综上：当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增 （3）由题意得在恒成立， 在恒成立， 设， 令，则， 当时，在单调递增， ，即， 若，由于，故， 所以不成立， 故当在恒成立时，必有 当时，设， 当，即时， 由（2）知，单调递减，单调递增， 因此，而， 即存在，使， 故当时，不恒成立. 当，即时， 设，则， 由于且，即，故， 因此 ， 故在单调递增. 所以时，即时，在恒成立. 综上：当，在恒成立. 点睛
28、： （1）解答导数的综合问题时，函数的单调性是工具和基础，对于函数的单调性，要通过导函数的符 号来确定，当解析式中含有字母时，一般要结合题意通过对参数进行分类讨论来解决. （2）解决恒成立问题的常用方法是参数分离法和参数讨论法，当参数容易分离时，可通过分离参数转化为 求函数的最值的问题处理；若参数无法分离，则要利用参数讨论来解决，此时经过对参数的分类讨论、逐 步排除后可得所求的范围. 25. 已知椭圆 ：的离心率为，直线交椭圆 于 、 两点，椭圆 的右顶点为 ， 且满足. （1）求椭圆 的方程； （2）若直线与椭圆 交于不同两点、 ，且定点满足，求实数的 取值范围. 【答案】 （1）. （2）
29、. 【解析】试题分析： （1） 根据可求得， 再由离心率可得 c， 于是可求得 b， 进而得到椭圆的方程 （2） 结合直线和椭圆的位置关系求解将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得 ，结合可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围 试题解析： （1）， ， 又， ， ， 椭圆 的方程为. （2）由消去 y 整理得：， 直线与椭圆交于不同的两点、 ， ， 整理得 设， 则， 又设中点 的坐标为， ， ， ，即， ， ，解得 实数的取值范围 点睛：圆锥曲线中求参数取值范围的方法 解决此类问题的方法一般采用代数法，即先建立关于参数的目标函数，再求这个函数的最值在利用代数 法求范围时常从以下方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 利用基本不等式求出参数的取值范围； 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围
