1、 . 2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1已知集合 A=x|x+1|2，xz，B=y|y=x2，1x1，则 AB=（ ） A （，1 B1，1 C0，1 D1，0，1 2若 z 是复数，且（3+z）i=1（i 为虚数单位） ，则 z 的值为（ ） A3+i B3i C3+i D3i 3已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场 比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ） A ，S
2、2甲S2 乙 B ，S2甲S2乙 C ，S2甲S2 乙 D ，S2甲S2乙 4设 x，y 满足，若目标函数 z=ax+y（a0）最大值为 14，则 a 为（ ） A B23 C2 D1 5设 Sn是等比数列an的前 n 项的和，Sm1=45，Sm=93，则 Sm+1=189，则 m=（ ） A6 B5 C4 D3 6 在ABC 中， 点 D 满足， 点 E 是线段 AD 上的一个动点， 若， 则 t=（1）2+2的最小值是（ ） A B C D 7设集合 I=1，2，3，4，5选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ） A50 种
3、 B49 种 C48 种 D47 种 8设集合 A=1，2，B=1，2，3，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面 上的一个点 P（a，b） ，记“点 P（a，b）落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn（2n5，nN） ， 若事件 Cn的概率最大，则 n 的所有可能值为（ ） A3 B4 C2 和 5 D3 和 4 . 9已知函数 f（x）=，若存在 x1，x2，当 0x14x26 时， f（x1）=f（x2） ，则 x1f（x2）的取值范围是（ ） A0，1） B1，4 C1，6 D0，13，8 10某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面
4、积为 （ ） A10+6+4（cm2） B16+6+4（cm2） C12+4（cm2） D22+4（cm2 ） 11已知抛物线 C1：y=x2（p0）的焦点与双曲线 C2：y2=1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M，若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=（ ） A B C D 12关于曲线 C：，给出下列四个命题： A曲线 C 关于原点对称 B曲线 C 有且只有两条对称轴 C曲线 C 的周长 l 满足 D曲线 C 上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中，真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共四小题，每小题二、填空题（本大题共四小题，每
5、小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的 A 地测得塔尖的仰角为 45，沿着 A 向 北偏东 30前进 100 米到达 B 地（假设 A 和 B 在海拔相同的地面上） ，在 B 地测得塔尖的仰 角为 30，则塔高为 米 14在（1+x）+（1+x）2+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 （用数字作答） 15已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线=1（a0，b0）交于 A、B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 16半径为 1 的球的内部有 4 个大小相同的半径为 r 的小球，则小球半径 r 可能的最
6、大值 为 三、解答题（本大题共六小题共三、解答题（本大题共六小题共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 （）求 f（x）的单调递减区间； . （）将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求函数 y=g（x）在，0上的值 域 18如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABC=90，PD面 ABCDAD=1，BC=4 （1）求证：BDPC； （2）求直线 AB 与平面 PDC 所成角； （3）设点 E 在棱
7、 PC、上，若 DE面 PAB，求 的值 19微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字， 一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商） 为 了调查每天微信用户使用微信的时间情况， 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、 女 性微信用户各 50 名其中每天玩微信时间超过 6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非 微信控”，调查结果如表： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？ （2）现从参与调查的
8、女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 的 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数； （3）从（2）中抽选取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中 “微信控”的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望 参考公式：，其中 n=a+b+c+d P（K2 k0） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 20已知椭圆的两个焦点分别为 F1（c，0）和 F2（c，0） （c0） ， 过点的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且 F1AF2
9、B，|F1A|=2|F2B| （1）求椭圆的离心率； （2）求直线 AB 的斜率； . （3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点 H（m，n） （m0）在AF1C 的外接圆上，求的值 21设函数 （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 f（x）a 的解集为（0，+）？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，试说明理由 选修选修 4 一一 1：几何证明选讲：几何证明选讲 22已知 AB 为半圆 O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 CD，过点 A 作 ADCD 于 D，交半圆于点 E，DE=1 （）求
10、证：AC 平分BAD； （）求 BC 的长 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程是 以极点为原点，极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系，点 M（1，0） ，直 线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 （1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程； （2）线段 MA，MB 长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|MB|的值 选修选修 4 一一 5 不等式选讲不等式选讲 24设函数 f（x）=|x1|+|x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式|a+b|ab|a|f（x） （a0，a
11、R，bR）恒成立，求实数 x 的范围 . 2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1已知集合 A=x|x+1|2，xz，B=y|y=x2，1x1，则 AB=（ ） A （，1 B1，1 C0，1 D1，0，1 【考点】交集及其运算 【分析】分别求出 A 和 B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A=x|x+1|2，xz =x|3x1，xZ=3，2，1，0，1， B=y|y=x2
12、，1x1=y|0y1， AB=0，1 故选：C 2若 z 是复数，且（3+z）i=1（i 为虚数单位） ，则 z 的值为（ ） A3+i B3i C3+i D3i 【考点】复数代数形式的混合运算 【分析】由（3+z）i=1，可得 z=，再利用两个复数代数形式的除法法则，运算求出 z 的值 【解答】解：（3+z）i=1，z=3i， 故选 B 3已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场 比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ） A ，S2甲S2 乙 B ，S2甲S2乙 C ，S2甲S2 乙 D ，S2甲S2乙 【考点】极差、方差与标准差；茎叶图 . 【分析】由
13、茎叶图，分别求出和，由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中， 由此能求出结果 【解答】解：由茎叶图，得： =（15+24+23+31+36+37+39+49+44+50）=34.8， =（18+16+14+13+28+26+23+51）=23.625， ， 又由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中， ， 故选：D 4设 x，y 满足，若目标函数 z=ax+y（a0）最大值为 14，则 a 为（ ） A B23 C2 D1 【考点】简单线性规划 【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出 a 的值 【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数 z=ax+y（a0）
14、最 大值为 14，即目标函数 z=ax+y（a0）在的交点 M（4，6）处，目标函数 z 最大值为 14， 所以 4a+6=14，所以 a=2 故选 C . 5设 Sn是等比数列an的前 n 项的和，Sm1=45，Sm=93，则 Sm+1=189，则 m=（ ） A6 B5 C4 D3 【考点】等比数列的前 n 项和 【分析】由题意得=2，再由 Sm=93 解得 a1=3，从而求 m 【解答】解：=2， Sm= =93， 故 a1=3， 故 am=32m1=48， 解得，m=5， 故选 B 6 在ABC 中， 点 D 满足， 点 E 是线段 AD 上的一个动点， 若， 则 t=（1）2+2的最
15、小值是（ ） A B C D 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数 k，0k1，然后根据已知条 件及向量的加法、 减法的几何意义即可得到， 从而得到 代 入 t，进行配方即可求出 t 的最小值 【解答】解：如图， E 在线段 AD 上，所以存在实数 k 使得； . ； =； ； =； 时，t 取最小值 故选：C 7设集合 I=1，2，3，4，5选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ） A50 种 B49 种 C48 种 D47 种 【考点】组合及组合数公式 【分析】解法一，根据题意，按
16、A、B 的元素数目不同，分 9 种情况讨论，分别计算其选法 种数，进而相加可得答案； 解法二，根据题意，B 中最小的数大于 A 中最大的数，则集合 A、B 中没有相同的元素，且 都不是空集，按 A、B 中元素数目这和的情况，分 4 种情况讨论，分别计算其选法种数，进 而相加可得答案 【解答】解： 解法一，若集合 A、B 中分别有一个元素，则选法种数有 C52=10 种； 若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C53=10 种； 若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 C54=5 种； 若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有四个元素，则选法种数
17、有 C55=1 种； 若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C53=10 种； 若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C54=5 种； 若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 C55=1 种； 若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C54=5 种； 若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C55=1 种； 若集合 A 中有四个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C55=1 种； 总计有 49 种，选 B 解法二：集合 A、B 中没有相同的元素，且都不是空集， 从
18、 5 个元素中选出 2 个元素，有 C52=10 种选法，小的给 A 集合，大的给 B 集合； . 从 5 个元素中选出 3 个元素，有 C53=10 种选法，再分成 1、2 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 210=20 种方法； 从 5 个元素中选出 4 个元素，有 C54=5 种选法，再分成 1、3；2、2；3、1 两组，较小元素 的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 35=15 种方法； 从 5 个元素中选出 5 个元素，有 C55=1 种选法，再分成 1、4；2、3；3、2；4、1 两组，较 小元素的一组给 A 集合，较大元素的一
19、组的给 B 集合，共有 41=4 种方法； 总计为 10+20+15+4=49 种方法选 B 8设集合 A=1，2，B=1，2，3，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面 上的一个点 P（a，b） ，记“点 P（a，b）落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn（2n5，nN） ， 若事件 Cn的概率最大，则 n 的所有可能值为（ ） A3 B4 C2 和 5 D3 和 4 【考点】概率的意义；集合的含义 【分析】分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，组成一个有序数对，共有 23 中方法， 要计算事件 Cn的概率最大时 n 的所有可能值，要把题目中所有的情况进行
20、分析求解，比较 出 n 的所有可能值 【解答】解：事件 Cn的总事件数为 6只要求出当 n=2，3，4，5 时的基本事件个数即可 当 n=2 时，落在直线 x+y=2 上的点为（1，1） ； 当 n=3 时，落在直线 x+y=3 上的点为（1，2） 、 （2，1） ； 当 n=4 时，落在直线 x+y=4 上的点为（1，3） 、 （2，2） ； 当 n=5 时，落在直线 x+y=5 上的点为（2，3） ； 显然当 n=3，4 时，事件 Cn的概率最大为， 故选 D 9已知函数 f（x）=，若存在 x1，x2，当 0x14x26 时， f（x1）=f（x2） ，则 x1f（x2）的取值范围是（
21、） A0，1） B1，4 C1，6 D0，13，8 【考点】分段函数的应用 【分析】根据已知将 x1f（x2）转化为 x1f（x1） ，再根据函数 y=xf（x）的性质求解 【解答】解：当 0x14x26 时，因为 f（x1）=f（x2） ，由 f（x1）=f（x2）=1 或 f（x1） =f（x2）=2，得到 x1的取值范围是1，3， 所以 x1f（x2）=x1f（x1）=x1（1|x1|2）= ，即 x1f（x2） 的范围是1，4 故选 B 10某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为 （ ） . A10+6+4（cm2） B16+6+4（cm2） C12
22、+4（cm2） D22+4（cm2 ） 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰长为 2 的等腰直角三角形，高是 3，圆柱的底面半径是 1，高是 3，写出表面积 【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱， 三棱柱的是一个底面是腰为 2 的等腰直角三角形，高是 3， 半圆柱的底面半径是 1，高是 3， 组合体的表面积是 22+23+23+132=10+6+4 故选：A 11已知抛物线 C1：y=x2（p0）的焦点与双曲线 C2：y2=1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M，若 C1在点 M 处的切
23、线平行于 C2的一条渐近线，则 p=（ ） A B C D 【考点】抛物线的简单性质 【分析】 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标， 由两点式写出过两个焦点的直线方程， 求出函数 y=x2（p0）在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双 曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的 值 【解答】解：由抛物线 C1：y=x2（p0）得 x2=2py（p0） ， 所以抛物线的焦点坐标为 F（0，） 由y2=1 得 a=，b=1，c=2 所以双曲线的右焦点为（2，0） 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为， 即 设
24、该直线交抛物线于 M（） ，则 C1在点 M 处的切线的斜率为 由题意可知=，得 x0=，代入 M 点得 M（，） . 把 M 点代入得： 解得 p= 故选：D 12关于曲线 C：，给出下列四个命题： A曲线 C 关于原点对称 B曲线 C 有且只有两条对称轴 C曲线 C 的周长 l 满足 D曲线 C 上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中，真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】曲线与方程 【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可 【解答】解：把曲线 C 中的（x，y ）同时换成（x，y ） ，方程不变，曲线 C 关于原 点对称，即 A 正确； 曲线方程为，交换
25、 x，y 的位置后曲线方程不变，曲线 C 关于直线 y=x 对称， 同理，y=x，x，y 轴是曲线的对称轴，即 B 不正确； 在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线 y=x+1 的下方， 且为凹函数如图： 由以上分析可知曲线 C 的周长 l 满足，正确 曲线 C 上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即 D 正确 真命题有 3 个，故选：C 二、填空题（本大题共四小题，每小题二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的 A 地测得塔尖的仰角为 45，沿着 A 向 北偏东 30前进 100 米
26、到达 B 地（假设 A 和 B 在海拔相同的地面上） ，在 B 地测得塔尖的仰 角为 30，则塔高为 50 米 【考点】解三角形的实际应用 【分析】理解方位角、仰角的含义，画出图形，确定ABD 中的边与角，利用余弦定理， 即可求得结论 . 【解答】解：如图，CD 为古塔的高度，设为 hm，由题意，CD平面 ABD，AB=100 米， BAD=60，CAD=45，CBD=30 在CBD 中，BD=hm，在CAD 中，AD=hm， 在ABD 中，BD=hm，AD=hm，AB=100m，BAD=60， 3h2=10000+h22100hcos60 （h50） （h+100）=0 h=50 或 h=1
27、00（舍去） 故答案为：50 14在（1+x）+（1+x）2+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 120 （用数字作答） 【考点】二项式系数的性质 【分析】在（1+x）+（1+x）2+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 C22+C32+C92，然 后利用组合数公式的性质求解 【解答】解：在（1+x）+（1+x）2+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 C22+C32+C92=C103=120 故答案为：120 15已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线=1（a0，b0）交于 A、B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 【考点】双曲线的简单
28、性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标， 利用三角形是直角三角形求出顶点坐标， 代入双曲线方程， 利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可 【解答】解：抛物线焦点 F（1，0） ，由题意 0a1，且AFB=90并被 x 轴平分， 所以点（1，2）在双曲线上，得，即， 即，所以， 0a1，e25， 故 故答案为： . 16半径为 1 的球的内部有 4 个大小相同的半径为 r 的小球，则小球半径 r 可能的最大值为 2 【考点】球的体积和表面积 【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大， 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 2r，该正四面
29、体的中心（外接球球心）就是大球 的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论 【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最 大 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球 的球心， 该正四面体的高为=r， 设正四面体的外接球半径为 x，则 x2=（rx）2+（r）2， x=r， 1=r+r， r= 2 故答案为：2 三、解答题（本大题共六小题共三、解答题（本大题共六小题共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 （）求 f（x）的单调递减区间；
30、 （）将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求函数 y=g（x）在，0上的值 域 【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数 y=Asin（x+）的图象变换 【分析】 （）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求 f（x）的单调 递减区间； （）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可 【解答】解： （） =， 由，kZ， 得，kZ， 所以 f（x）的单调递减区间为，kZ . （）将的图象向左平移个单位，得到 =， 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 x，0，
31、函数 y=g（x）在，0上的值域为 18如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABC=90，PD面 ABCDAD=1，BC=4 （1）求证：BDPC； （2）求直线 AB 与平面 PDC 所成角； （3）设点 E 在棱 PC、上，若 DE面 PAB，求 的值 【考点】 直线与平面垂直的性质； 直线与平面平行的性质； 与二面角有关的立体几何综合题 【分析】 （1）根据余弦定理求出 DC 的长，而 BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得 BDDC， 而 PD面 ABCD，则 BDPD，PDCD=D，根据线面垂直判定定理可知 BD面 PDC，而 PC 在面 PDC 内，根据线面
32、垂直的性质可知 BDPC； （2）在底面 ABCD 内过 D 作直线 DFAB，交 BC 于 F，分别以 DA、DF、DP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系，根据（1）知 BD面 PDC，则就是面 PDC 的法向量，设 AB 与面 PDC 所成角大小为 ，利用向量的夹角公式求出 即可 （3）先求出向量，设 =（x，y，z）为面 PAB 的法向量，根据 =0， =0，求出 ，再根据 DE面 PAB，则 =0 求出 即可 【解答】解： （1）DAB=90，AD=1，AB=，BD=2，ABD=30， BCADDBC=60，BC=4，由余弦定理得 DC=2， BC2=DB2+DC2，BDDC， PD面
33、 ABCD，BDPD，PDCD=D，BD面 PDC， PC 在面 PDC 内，BDPC （2）在底面 ABCD 内过 D 作直线 DFAB，交 BC 于 F， 分别以 DA、DF、DP 为 x、y、z 轴建立如图空间坐标系， 由（1）知 BD面 PDC，就是面 PDC 的法向量， A（1，0，0） ，B（1，0） ，P（0，0，a）=（0，0） ， =（1，0） ， . 设 AB 与面 PDC 所成角大小为 ，cos=， （0，90）=30 （3）在（2）中的空间坐标系中 A、 （1，0，0） ，B、 （1，0） ，P（0，0，a）C、 （3， ，0） ， =（3，a） ，=（3， ，a） ，
34、 =+=（0，0，a）+（3，a）=（3，aa） =（0，0） ，=（1，0，a） ， 设 =（x，y，z）为面 PAB 的法向量， 由 =0， 得 y=0，由 =0，得 xaz=0，取 x=a，z=1， =（a，0，1） ， 由 D、E面 PAB 得： ， =0，3a+aa=0，= 19微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字， 一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商） 为 了调查每天微信用户使用微信的时间情况， 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、 女 性微信用户各 50 名其中每天玩微信时间超过 6 小时的用户列为
35、“微信控”，否则称其为“非 微信控”，调查结果如表： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？ （2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 的 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数； （3）从（2）中抽选取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中 “微信控”的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望 参考公式：，其中 n=a+b+c+d P（K2 k0） 0.50 0.40 0.25
36、 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 . 【考点】独立性检验的应用 【分析】 （1）计算 K2的值，与临界值比较，可得结论； （2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为 3：2，选出 5 人赠送营养面膜 1 份，可得结论 （3）X 的取值为 1，2，3，再求出 X 取每一个值的概率，即可求得 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）由题意，K2=0.650.708， 没有 60%的把握认为“微信控”与“性别”有关； （2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为 3：2，选出 5 人赠送营养面膜 1
37、 份，所抽取的 5 人中“微信控”有 3 人，“非微信控”的人数有 2 人； （3）X=1，2，3，则 P（X=1）=0.3，P（X=2）=0.6，P（X=3）=0.1 X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.3 0.6 0.1 X 的数学期望为 EX=10.3+20.6+30.1=1.8 20已知椭圆的两个焦点分别为 F1（c，0）和 F2（c，0） （c0） ， 过点的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且 F1AF2B，|F1A|=2|F2B| （1）求椭圆的离心率； （2）求直线 AB 的斜率； （3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点 H（m，n） （m0）在
38、AF1C 的外接圆上，求的值 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （1）由 F1AF2B 且|F1A|=2|F2B|，得 ，从而， 由此可以求出椭圆的离心率 （2）由题意知椭圆的方程可写为 2x2+3y2=6c2，设直线 AB 的方程为，设 A （x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则它们的坐标满足方程组， 整理， 得 （2+3k2 ） x 218k2cx+27k2c26c2=0 再 由根的判别式和根与系数的关系求解 . （III）解法一：当时，得，线段 AF1的垂直平分线 l 的方程为直线 l 与 x 轴的交点 是AF1C 外接圆的圆心， 因此外接圆的方
39、程为由此可以推导出的值 解法二：由椭圆的对称性可知 B，F2，C 三点共线，由已知条件能够导出四边形 AF1CH 为 等腰梯形由此入手可以推导出的值 【解答】 （1）解：由 F1AF2B 且|F1A|=2|F2B|， 得，从而 整理，得 a2=3c2，故离心率 （2）解：由（I）得 b2=a2c2=2c2， 所以椭圆的方程可写为 2x2+3y2=6c2 设直线 AB 的方程为，即 y=k（x3c） 由已知设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则它们的坐标满足方程组 消去 y 整理，得（2+3k2）x218k2cx+27k2c26c2=0 依题意， 而 由题设知，点 B 为线段 AE 的
40、中点，所以 x1+3c=2x2 联立解得， 将 x1，x2代入中，解得 （III）解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得 . 线段 AF1的垂直平分线 l 的方程为 直线 l 与 x 轴的交点是 AF1C 外接圆的圆心， 因此外接圆的方程为 直线 F2B 的方程为 ， 于是点 H（m，n）的坐标满足方程组， 由 m0，解得故 当时，同理可得 解法二：由（II）可知 当时，得，由已知得 由椭圆的对称性可知 B，F2，C 三点共线， 因为点 H（m，n）在AF1C 的外接圆上， 且 F1AF2B，所以四边形 AF1CH 为等腰梯形 由直线 F2B 的方程为 ， 知点 H 的坐标为 因为|AH|
41、=|CF1|，所以 ，解得 m=c（舍） ，或 则，所以当时同理可得 21设函数 （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 f（x）a 的解集为（0，+）？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，试说明理由 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明 【分析】 （1）先确定函数的定义域然后求导数 f（x） ，在函数的定义域内解不等式 f（x） 0 和 f（x）0，求出单调区间，讨论满足 f（x）=0 的点附近的导数的符号的变化情况， 来确定极值点，求出极值 （2）对 a 进行讨论，当 a0 时，f（x）0 恒成立，关于 x
42、的不等式 f（x）a 的解集为 （0，+）符合题意当 a0 时，关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是（0，+） 【解答】解： （） 故当 x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0 . 所以 f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减 由此知 f（x）在（0，+）的极大值为 f（1）=ln2，没有极小值 （） （）当 a0 时， 由于， 故关于 x 的不等式 f（x）a 的解集为（0，+） （）当 a0 时，由知，其中 n 为正 整数， 且有 ln（1+）1nlog2（1） 又 n2 时， 且 取整数 n0满足 ，且 n02， 则， 即当 a0 时，关于 x 的不等式
43、 f（x）a 的解集不是（0，+） ； 综合（） （）知，存在 a，使得关于 x 的不等式 f（x）a 的解集为（0，+） ，且 a 的 取值范围为（，0 选修选修 4 一一 1：几何证明选讲：几何证明选讲 22已知 AB 为半圆 O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 CD，过点 A 作 ADCD 于 D，交半圆于点 E，DE=1 （）求证：AC 平分BAD； （）求 BC 的长 【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （）连接 OC，因为 OA=OC，所以OAC=OCA，再证明 OCAD，即可证得 AC 平分BAD （）由（）知，从而
44、BC=CE，利用 ABCE 四点共圆，可得B=CED，从而 有，故可求 BC 的长 . 【解答】 （）证明：连接 OC，因为 OA=OC，所以OAC=OCA， 因为 CD 为半圆的切线，所以 OCCD， 又因为 ADCD，所以 OCAD， 所以OCA=CAD，OAC=CAD，所以 AC 平分BAD （）解：由（）知，BC=CE， 连接 CE，因为 ABCE 四点共圆，B=CED，所以 cosB=cosCED， 所以，所以 BC=2 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程是 以极点为原点，极轴为 x 轴正方向建
45、立直角坐标系，点 M（1，0） ，直 线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 （1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程； （2）线段 MA，MB 长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|MB|的值 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程 【分析】 （1）将直线 l 的参数方程消去参数 t 得直线的普通方程，再化成直线 l 的极坐标方 程，曲线 C 的极坐标方程化成：sin=2cos2，最后再化成普通方程即可； （2）将直线的参数方程代入 y=x2得关于 t 的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得 |MA|MB|=|t1t2|=2 【解答】解（1）将直线 l 的参数方程消去
46、参数 t 得：x=1+y， 直线 l 的极坐标方程， 曲线 C 的极坐标方程化成：sin=2cos2， 其普通方程是：y=x2 （2）将代入 y=x2 得，3 分 点 M（1，0）在直线上， |MA|MB|=|t1t2|=2 . 选修选修 4 一一 5 不等式选讲不等式选讲 24设函数 f（x）=|x1|+|x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式|a+b|ab|a|f（x） （a0，aR，bR）恒成立，求实数 x 的范围 【考点】绝对值不等式；函数恒成立问题 【分析】 （1）根据绝对值的代数意义，去掉函数 f（x）=|x1|+|x2|中的绝对值符号， 画出函数函数 f（x）的图象，根据图象求解不等式 f（x）3， （2）由|a+b|ab|2|a|，得 2|a|a|f（x） ，由 a0，得 2f（x） ，从而解得实 数 x 的范围 【解答】解： （1）， 所以解集0，3 （2）由|a+b|ab|2|a|， 得 2|a|a|f（x） ，由 a0，得 2f（x） ， 解得 x或 x
