1、 . 2016-2017 学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知，则复数 z=（ ） A13i B13i C1+3i D1+3i 2已知命题 p： x1，x2R， （f（x2）f（x1） （x2x1）0，则p 是（ ） A x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0 B x1， x2R， （f （x2） f（x
2、1）（x2x1）0 C x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0 D x1， x2R， （f （x2） f（x1）（x2x1）0 3已知已知 f（x）是奇函数，且 f（2x）=f（x），当 x2，3时，f（x）=log2 （x1），则 f（）=（ ） Alog27log23 Blog23log27 Clog232 D2log23 4直线 y=kx+3 与圆（x2）2+（y3）2=4 相交于 M，N 两点，若， 则 k 的取值范围是（ ） A B C D 5如图，若 n=4 时，则输出的结果为（ ） A B C D 6已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所
3、示， 若该几何体的底面边长为 2， 侧棱长为， 则该几何体的侧视图可能是 （ ） . A B C D 7已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形， 顶角为 120，则 E 的离心率为（ ） A B2 C D 8已知 x，y 满足约束条件，则 z=2x3y 的最小值为（ ） A6 B4 C3 D2 9已知向量 ， 满足| |=1，| |=2， =（，），则| +2 |=（ ） A B C D 10若数列an满足 a1=1，且对于任意的 nN*都有 an+1=an+n+1，则 等于（ ） A B C D 11如图是函数 f（x）=x2+ax+b 的部分图象
4、，则函数 g（x）=lnx+f（x）的零点 所在的区间是（ ） A（） B（1，2） C（，1） D（2，3） 12已知函数，若关于 x 的方程 f2（x）mf（x）+m1=0 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ） . A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上 13如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线 x=2 及 y=0 所围成的阴影部分的面积 S： 先产生两组 01 的增均匀随机数，a=rand （ ），b=rand （ ）； 产生 N 个
5、点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数 N1，已知 某同学用计算器做模拟试验结果，当 N=1000 时，N1=332，则据此可估计 S 的值 为 （保留小数点后三位） 14九章算术是我国古代数学成就的杰出代表其中方田章给出计算弧 田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢 2）弧田，由圆弧和其所 对弦所围成 公式中“弦”指圆弧对弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差， 按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差现有圆心角为 ，弦长等于 9 米的弧田按照九章算术中弧田面积的经验公式计算所得弧 田面积与实际面积的差为 15已知an满足 ，类比课本 中推导等比数列前 n
6、 项和公式的方法，可求得= 16已知三棱锥 OABC，BOC=90，OA平面 BOC，其中 AB=， AC=，O，A，B，C 四点均在球 S 的表面上，则球 S 的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（12 分）如图，在ABC 中，B=30，AC=2，D 是边 AB 上一点 . （1）求ABC 面积的最大值； （2）若 CD=2，ACD 的面积为 4，ACD 为锐角，求 BC 的长 18（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADC= BCD=90，BC=2，PD=4，PDA=60
7、，且平面 PAD平面 ABCD （）求证：ADPB； （） 在线段 PA 上是否存在一点 M， 使二面角 MBCD 的大小为， 若存在， 求的值；若不存在，请说明理由 19（12 分）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中 随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第一组 90，100） 5 0.05 第二组 100，110） 35 0.35 第三组 110，120） 30 0.30 第四组 120，130） 20 0.20 第五组 130，140） 10 0.10 合计 100 1.00 （1）试估计该校高三学生本次月考的
8、平均分； （2） 如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率， 那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取 3 名学生的成绩， 并记成绩落在 . 110，130）中的学生数为 ， 求：在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110，130）中的概率； 的分布列和数学期望（注：本小题结果用分数表示） 20（12 分）已知抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 抛物线 C 的切线 l 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 Q，当|FD|=2 时，PFD=60 （1）判断PFQ 的形状，并求抛物线 C 的方程； （2）若 A，B 两点在抛物线 C 上
9、，且满足，其中点 M（2，2），若抛 物线 C 上存在异于 A、B 的点 H，使得经过 A、B、H 三点的圆和抛物线在点 H 处 有相同的切线，求点 H 的坐标 21（12 分）设函数 f（x）=lnx，g（x）=（m0） （1）当 m=1 时，函数 y=f（x）与 y=g（x）在 x=1 处的切线互相垂直，求 n 的值； （2）若函数 y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求 mn 的取值范围； （3）是否存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成 立？若存在，求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多
10、做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分）极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点， 以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C1的极坐标方程为 =4sin，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数，0），射线与曲 线 C1交于（不包括极点 O）三点 A，B，C （1）求证：； （2）当时，B，C 两点在曲线 C2上，求 m 与 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）=|a3x|2+x| （1）若 a=2，解不等式 f（x）3； （2）若存在实数 x
11、，使得不等式 f（x）1a+2|2+x|成立，求实数 a 的取值范 . 围 . 2016-2017 学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知，则复数 z=（ ） A13i B13i C1+3i D1+3i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即
12、可得出 【解答】解：， =（1+i）（2+i）=1+3i 则复数 z=13i 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 2已知命题 p： x1，x2R， （f（x2）f（x1） （x2x1）0，则p 是（ ） A x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0 B x1， x2R， （f （x2） f（x1）（x2x1）0 C x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0 D x1， x2R， （f （x2） f（x1）（x2x1）0 【考点】命题的否定 【分析】由题意，命题 p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词
13、， 结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出 正确选项 【解答】解：命题 p： x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0 是一个 全称命题，其否定是一个特称命题， . 故p： x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0 故选：C 【点评】 本题考查命题否定， 解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则， 本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误， 学习时要注意准确把握规 律 3已知已知 f（x）是奇函数，且 f（2x）=f（x），当 x2，3时，f（x）=log2 （x1），则 f（）=（ ） Alog27log23 Blog23log2
14、7 Clog232 D2log23 【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的图象 【分析】由 f（x）是奇函数，且 f（2x）=f（x），可知 f（4+x）=f（x），于是 f（）=f（4）=f（2 ）=log232，从而可得答案 【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（2x）=f（x）， f（2+x）=f（x）=f（x）， f（4+x）=f（x），即 f（x）是以 4 为周期的函数； f（）=f（4）； 又 f（2x）=f（x）， f（2）=f（4）=f（）； 又当 x2，3时，f（x）=log2（x1），f（x）是奇函数， f（2）=f（2）=log232， f（）=log232 故选
15、 C 【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，求得 f（ ）=f（2）是关键，也 是难点，考查综合分析与转化的能力，属于中档题 4直线 y=kx+3 与圆（x2）2+（y3）2=4 相交于 M，N 两点，若， 则 k 的取值范围是（ ） . A B C D 【考点】直线和圆的方程的应用 【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为 L，弦心距为 d，半径为 r，则 可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题 【解答】解：圆（x2）2+（y3）2=4 的圆心为（2，3），半径等于 2， 圆心到直线 y=kx+3 的距离等于 d= 由弦长公式得 MN=22， 1， 解得， 故选 B 【点评】
16、利用直线与圆的位置关系，研究参数的值，同样应把握好代数法与几何 法 5如图，若 n=4 时，则输出的结果为（ ） A B C D 【考点】程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：输入 n=4，i=1，s=0， . s=，i=24， s=+，i=34， s=+，i=44， s=+，i=54， 输出 s=（1）=， 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程， 以便得出正确的结论，是基础题 6已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱
17、锥的正视图与俯视图如图所 示， 若该几何体的底面边长为 2， 侧棱长为， 则该几何体的侧视图可能是 （ ） A B C D 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】利用该几何体的底面边长为 2，侧棱长为，可得该几何体的高为， 底面正六边形平行两边之间的距离为 2，即可得出结论 【解答】解：该几何体的底面边长为 2，侧棱长为， 该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为 2， 该几何体的侧视图可能是 C， 故选：C 【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础 7已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形， . 顶角为 120，则 E 的离心
18、率为（ ） A B2 C D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】设 M 在双曲线=1 的左支上，由题意可得 M 的坐标为（2a， a），代入双曲线方程可得 a=b，再由离心率公式即可得到所求值 【解答】解：设 M 在双曲线=1 的左支上， 且 MA=AB=2a，MAB=120， 则 M 的坐标为（2a， a）， 代入双曲线方程可得， =1， 可得 a=b， c=a， 即有 e= 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用 任意角的三角函数的定义求得 M 的坐标是解题的关键 8已知 x，y 满足约束条件，则 z=2x3y 的最小值为（ ） A6 B4 C3
19、D2 【考点】简单线性规划 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值 【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z=2x3y 变形为 y=x，当此直 线经过图中 B（1，2）时，在 y 轴的截距最大，z 最小，所以 z 的最小值为 21 32=4； . 故选：B 【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何 意义求最值是常规方法 9已知向量 ， 满足| |=1，| |=2， =（，），则| +2 |=（ ） A B C D 【考点】平面向量数量积的运算；向量的模 【分析】利用向量的数量积运算即可得出 【解答】解：向量 ， 满足| |=1，| |=2， =（，
20、）， 可得| |2=5，即| |2+| |22 =5，解得 =0 | +2 |2=| |2+4| |24 =1+16=17 | +2 |= 故选：C 【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键 10若数列an满足 a1=1，且对于任意的 nN*都有 an+1=an+n+1，则 等于（ ） A B C D 【考点】数列的求和 【分析】由所给的式子得 an+1an=n+1，给 n 具体值列出 n1 个式子，再他们加 . 起来，求出 an，再用裂项法求出，然后代入进行求值 的值， 【解答】由 an+1=an+n+1 得，an+1an=n+1， 则 a2a1=1+1， a3a2=2+1， a4a3=
21、3+1 anan1=（n1）+1， 以上等式相加，得 ana1=1+2+3+（n1）+n1， 把 a1=1 代入上式得，an=1+2+3+（n1）+n= =2（） 则=2（1）+（）+（） =2（1） =， 故答案选：C 【点评】本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相 消法求数列的前 n 项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题 11如图是函数 f（x）=x2+ax+b 的部分图象，则函数 g（x）=lnx+f（x）的零点 所在的区间是（ ） A（） B（1，2） C（，1） D（2，3） 【考点】函数零点的判定定理 【分析】由二次函数图象的对称轴确定 a 的
22、范围，据 g（x）的表达式计算 g（） 和 g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间 . 【解答】解：由函数 f（x）=x2+ax+b 的部分图象得 0b1，f（1）=0，即有 a= 1b， 从而2a1， 而 g（x）=lnx+2x+a 在定义域内单调递增， g（）=ln+1+a0， 由函数 f（x）=x2+ax+b 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到： 01，解得2a0， g（1）=ln1+2+a=2+a0， 函数 g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（，1）； 故选 C 【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求 解能力和识图能力，属于基础题 12已知
23、函数，若关于 x 的方程 f2（x）mf（x）+m1=0 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断 【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设 m=f（x），利用换元法，将 方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论 【解答】解：化简可得 f（x）=， 当 x0 时，f（x）0，f（x）=， 当 0x时，f（x）0，当 x时，f（x）0， . 故当 x=时，函数 f（x）有极大值 f（ ）= ； 当 x0 时，f（x）=0，f（x）为减函数， 作出函数 f（x）对应的图象如图： 函
24、数 f（x）在（0，+）上有一个最大值为 f（）=； 设 t=f（x）， 当 t时，方程 t=f（x）有 1 个解， 当 t=时，方程 t=f（x）有 2 个解， 当 0t时，方程 t=f（x）有 3 个解， 当 t=0 时，方程 t=f（x）有 1 个解， 当 t0 时，方程 m=f（x）有 0 个解， 则方程 f2（x）mf（x）+m1=0 等价为 t2mt+m1=0， 等价为方程 t2mt+m1=（t1）t（m1）=0 有两个不同的根 t=1，或 t=m 1， 当 t=1 时，方程 t=f（x）有 1 个解， 要使关于 x 的方程 f2（x）mf（x）+m1=0 恰好有 4 个不相等的实
25、数根， 则 t=m1（0，）， 即 0m1，解得 1m+1， 则 m 的取值范围是（1， +1） 故选：A . 【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分 析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一 元二次方程，是解决本题的关键 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上 13如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线 x=2 及 y=0 所围成的阴影部分的面积 S： 先产生两组 01 的增均匀随机数，a=rand （ ），b=ran
26、d （ ）； 产生 N 个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数 N1，已知 某同学用计算器做模拟试验结果，当 N=1000 时，N1=332，则据此可估计 S 的值 为 1.328 （保留小数点后三位） 【考点】几何概型 【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件的点（x，y）的 概率，再转化为几何概型的面积类型求解 【解答】解：根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是， 矩形的面积为 4，设阴影部分的面积为 s 则有=， . S=1.328 故答案为：1.328 【点评】 本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立 关系，引入方程思想 14九章算术是我
27、国古代数学成就的杰出代表其中方田章给出计算弧 田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢 2）弧田，由圆弧和其所 对弦所围成 公式中“弦”指圆弧对弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差， 按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差现有圆心角为 ，弦长等于 9 米的弧田按照九章算术中弧田面积的经验公式计算所得弧 田面积与实际面积的差为 +9 【考点】函数模型的选择与应用 【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按 照上述弧田面积经验公式计算得（弦矢+矢 2），从而可求误差 【解答】解：扇形半径 r=3 扇形面积等于=9（m2） 弧田面积=9r2si
28、n=9（m2） 圆心到弦的距离等于，所以矢长为 按照上述弧田面积经验公式计算得 （弦矢+矢 2） = （9 +） =（ +） 9（+）=9 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 9平方米 故答案为： +9 【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能 力，属于中档题 . 15已知an满足 ，类比课本 中推导等比数列前 n 项和公式的方法，可求得= 【考点】类比推理 【分析】先对 Sn=a1+a24+a342+an4n1 两边同乘以 4，再相加，求出其和的 表达式，整理即可求出 5Sn4nan的表达式，即可求出 【解答】解：由 Sn=a1+a24+a342+an4n1
29、得 4sn=4a1+a242+a343+an14n1+an4n +得：5sn=a1+4（a1+a2）+42（a2+a3）+4n1（an1+an）+an4n =a1+4 +4nan =1+1+1+1+4nan =n+4nan 所以 5sn4nan=n 故=， 故答案为 【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目， 关键点在于对课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法的理解和掌握 16已知三棱锥 OABC，BOC=90，OA平面 BOC，其中 AB=， AC=，O，A，B，C 四点均在球 S 的表面上，则球 S 的表面积为 14 【考点】球的体积和表面积 【分析】根据BO
30、C=90且 OA平面 BOC，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以 三条侧棱为棱长得到一个长方体， 由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球 上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积 【解答】解：BOC=90，OA平面 BOC， 三棱锥的三条侧棱两两垂直， 可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体， . 由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上， 球的直径是， 球的半径是 球的表面积是=14， 故答案为：14 【点评】本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥 与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成，本 题非常值得一做 三、解答题：解答应写出
31、文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分） （2016 秋桃城区校级月考）如图，在ABC 中，B=30，AC=2， D 是边 AB 上一点 （1）求ABC 面积的最大值； （2）若 CD=2，ACD 的面积为 4，ACD 为锐角，求 BC 的长 【考点】余弦定理 【分析】（1） 在ABC 中， 由余弦定理， 基本不等式可求， 进而利用三角形面积公式即可计算得解ABC 的面积的最大值 （2）设ACD=，由已知及三角形面积公式可求 sin，进而利用同角三角函数 基本关系式可求 cos，利用余弦定理可求 AD 的值，进而利用正弦定理可求 BC
32、 的值 【解答】解：（1）在ABC 中， 由余弦定理，得 AC2=20=AB2+BC22ABBCcosABC =， . ， 当且仅当 AB=BC 时，取等号， ， ABC 的面积的最大值为； （2）设ACD=，在ACD 中， CD=2，ACD 的面积为 4，ACD 为锐角， ， ， 由余弦定理，得， AD=4 由正弦定理，得， 此时， BC 的长为 4 【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，同角三角函 数基本关系式， 正弦定理在解三角形中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 18（12 分）（2016 秋普宁市校级期末）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面
33、 ABCD 为直角梯形，ADC=BCD=90，BC=2，PD=4，PDA=60，且平 面 PAD平面 ABCD （）求证：ADPB； （） 在线段 PA 上是否存在一点 M， 使二面角 MBCD 的大小为， 若存在， 求的值；若不存在，请说明理由 . 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】（I）过 B 作 BOCD，交 AD 于 O，连接 OP，则 ADOB，由勾股定理 得出 ADOP，故而 AD平面 OPB，于是 ADPB； （II）以 O 为原点建立坐标系，设 M（m，0，n），求出平面 BCM 的平面 ABCD 的法向量，令|cos|=cos解出
34、n，从而得出的值 【解答】证明：（I）过 B 作 BOCD，交 AD 于 O，连接 OP ADBC，ADC=BCD=90，CDOB 四边形 OBCD 是矩形， OBADOD=BC=2， PD=4，PDA=60，OP=2 OP2+OD2=PD2，OPOD 又 OP 平面 OPB，OB 平面 OPB，OPOB=O， AD平面 OPB，PB 平面 OPB， ADPB （II）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，OAAD， OP平面 ABCD 以 O 为原点，以 OA，OB，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 B（0，0），C（2，0）， 假设存在点 M（m，0
35、，n）使得二面角 MBCD 的大小为， 则=（m，n），=（2，0，0） 设平面 BCM 的法向量为 =（x，y，z），则 . ，令 y=1 得 =（0，1，） OP平面 ABCD， =（0，0，1）为平面 ABCD 的一个法向量 cos=解得 n=1 = 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与二面角的计算， 属于中档题 19（12 分）（2016 秋桃城区校级月考）某校高三一次月考之后，为了为解数 学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组， 制成了下面频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第一组 90，100） 5 0.05 第二组 100，11
36、0） 35 0.35 第三组 110，120） 30 0.30 第四组 120，130） 20 0.20 第五组 130，140） 10 0.10 合计 100 1.00 （1）试估计该校高三学生本次月考的平均分； （2） 如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率， . 那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取 3 名学生的成绩， 并记成绩落在 110，130）中的学生数为 ， 求：在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110，130）中的概率； 的分布列和数学期望（注：本小题结果用分数表示） 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】（
37、1）计算本次月考数学学科的平均分即可； （2）由表知成绩落在110，130）中的概率， 利用相互独立事件的概率计算 “在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110，130）中”的概率值； 由题意 的可能取值为 0，1，2，3；计算对应的概率值， 写出 的分布列与数学期望 【解答】解：（1）本次月考数学学科的平均分为 =； （2）由表知，成绩落在110，130）中的概率为 P=， 设 A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110，130）中”， 则， 所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110，130）中的概率为； 的可能取值为 0，1，2，3； 且， ， ， ； 的分
38、布列为 0 1 2 3 P 数学期望为 . （或， 则 【点评】 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题， 是基础题 20（12 分）（2016 秋桃城区校级月考）已知抛物线 C：x2=2py（p0）的焦 点为 F，过抛物线上一点 P 作抛物线 C 的切线 l 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 Q， 当|FD|=2 时，PFD=60 （1）判断PFQ 的形状，并求抛物线 C 的方程； （2）若 A，B 两点在抛物线 C 上，且满足，其中点 M（2，2），若抛 物线 C 上存在异于 A、B 的点 H，使得经过 A、B、H 三点的圆和抛物线在点 H 处 有相同的切线，求点 H 的坐
39、标 【考点】直线与抛物线的位置关系 【分析】（1）设 P（x1，y1），求出切线 l 的方程，求解三角形的顶点坐标，排 除边长关系，然后判断三角形的形状，然后求解抛物线方程 （2）求出 A，B 的坐标分别为（0，0），（4，4），设 H（x0，y0）（x00，x0 4） ， 求出 AB 的中垂线方程， AH 的中垂线方程， 解得圆心坐标， 由， 求解 H 点坐标即可 【解答】解：（1）设 P（x1，y1）， 则切线 l 的方程为，且， 所以，所以|FQ|=|FP|， 所以PFQ 为等腰三角形，且 D 为 PQ 的中点， 所以 DFPQ，因为|DF|=2，PFD=60， 所以QFD=60，所以，
40、得 p=2， 所以抛物线方程为 x2=4y； （2）由已知，得 A，B 的坐标分别为（0，0），（4，4）， 设 H（x0，y0）（x00，x04）， . AB 的中垂线方程为 y=x+4，AH 的中垂线方程为， 联立，解得圆心坐标为：， kNH=， 由，得， 因为 x00，x04，所以 x0=2， 所以 H 点坐标为（2，1） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与圆的位置关系，考查 转化思想以及计算能力 21（12 分）（2015盐城三模）设函数 f（x）=lnx，g（x）=（m0） （1）当 m=1 时，函数 y=f（x）与 y=g（x）在 x=1 处的切线互相垂直，求 n
41、 的值； （2）若函数 y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求 mn 的取值范围； （3）是否存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成 立？若存在，求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方 程 【分析】（1）分别求出 f（x）、g（x）的导数，求得在 x=1 处切线的斜率，由 两直线垂直的条件，解方程即可得到 n； （2）求出 y=f（x）g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运 用基本不等式即可求得 mn 的范围； （3）假设存在实数 a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，
42、结合 不等式恒成立思想即有三种解法 【解答】解：（1）当 m=1 时， . y=g（x）在 x=1 处的切线斜率， 由，y=f（x）在 x=1 处的切线斜率 k=1， ，n=5 （2）易知函数 y=f（x）g（x）的定义域为（0，+）， 又， 由题意，得的最小值为负， m（1n）4，由 m0，1n0， ， m+（1n）4 或 m+1n4， mn3 或 mn5； （3）解法一、假设存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实 数 x 恒成立 令 （x） = ， 其中 x0， a0， 则 （x）=， 设， （x）在（0，+）单调递减，（x）=0 在区间（0，+）必存在实根， 不妨设
43、 （x0）=0，即， 可得（*）（x）在区间（0，x0）上单调递增， 在（x0，+）上单调递减， 所以 （x）max=（x0），（x0）=（ax01）ln2a（ax01）lnx0， 代入（*）式得， 根据题意恒成立 又根据基本不等式，当且仅当时，等式成立 . 即有，即 ax0=1，即 代入（*）式得，即， 解得 解法二、假设存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成立 令 （x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中 x0，a0 根据条件对任意正数 x 恒成立， 即（ax1）（ln2alnx）0 对任意正数 x 恒成立， 且，
44、解得且， 即时上述条件成立，此时 解法三、假设存在实数 a，使得 f（）f（eax）+f（）0 对任意正实数 x 恒成立 令 （x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中 x0，a0 要使得（ax1）（ln2alnx）0 对任意正数 x 恒成立， 等价于（ax1）（2ax）0 对任意正数 x 恒成立， 即对任意正数 x 恒成立， 设函数，则 （x）的函数图象为开口向上， 与 x 正半轴至少有一个交点的抛物线， 因此，根据题意，抛物线只能与 x 轴有一个交点， 即，所以 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考 查函数的单调性的
45、运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一 定的综合性 . 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）（2016 秋桃城区校级月考）极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的 长度单位， 以原点为极点， 以 x 轴正半轴为极轴， 曲线 C1的极坐标方程为 =4sin， 曲 线 C2的 参 数 方 程 为 （ t 为 参 数 ， 0 ） ， 射 线 与曲线 C1交于（不包括极点 O）三点 A，B，C （1）求证：； （2）当
46、时，B，C 两点在曲线 C2上，求 m 与 的值 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】（1）依题意|OA|=4sin， 利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为，命题得证 （2）当时，B，C 两点的极坐标分别为，再把 它们化为直角坐标，根据 C2是经过点（m，0），倾斜角为 的直线，又经过点 B，C 的直线方程为，由此可得 m 及直线的斜率，从而求得 的值 【解答】（1） 证明： 依题意|OA|=4sin， 则 =； （2）解：当时，B，C 两点的极坐标分别为， 化为直角坐标为， 曲线 C2是经过点（m，0），且倾斜角为 的直线，又因为经过点 B，C 的直线 方程为， 所以 【点评】 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐 标，直线的倾斜角和斜率，属于中档题 . 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23（2016中山市二模）已知函数 f（
