1、 20182018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数理数( (二二) ) 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】, 故选：B 2. 已知，且是虚数单位， ，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】， 由题意知：，解得：
2、故选：C 3. 已知 为直线的倾斜角，若 ，则直线的斜率为( ) A. 3 B. -4 C. D. 【答案】D 【解析】由题意知：，. 故选：D 4. 双曲线的渐近线与抛物线 相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意，知双曲线的一条渐近线为联立，得到：， 由相切，得,解得：，. 故选：D 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式， 再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5. 袋中装有
3、 4 个红球、3 个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙 摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】用 A 表示甲摸到白球，B表示乙摸到白球，则， . 故选：B 6. 算法统宗是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果 买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十 九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、 苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入分别代表钱数和果子个数，则符合输出值 的为（ ） A.
4、为甜果数 343 B. 为苦果数 343 C. 为甜果数 657 D. 为苦果数 657 【答案】B 【解析】由题意知， 即若按全是甜果来算钱超出文，一个苦果和一个甜果差价位， 则 p为苦果数，. 故选：B 7. 在区间内的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 函数零点即与图象交点的横坐标，在区间内，与图象有两个交点， 由得：，取，可知两个交点关于对称，故两个零点的和 为,. 故选：C 8. 已知恒成立，若 为真命题，则实数 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】化为，即有，又时，的最小值为 2，故由存在性的意义知.故实数
5、的最小值为 2. 故选：A 9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由三视图，可知该几何体为一个半圆柱与一个三棱锥结合而成的（如图所示）. 半圆柱的底面半径为 1，侧棱长为 2，三棱锥的底面为半圆柱的底面的内接直角三角形，直角边长为，两 个侧面是全等的等腰三角形，腰长为 2，底边为，另一个侧面是边长为 2的等边三角形，因此 . 故选：B 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示， 不能看到的部分用虚线表示 (2)由几何体的部分视图画出剩余的
6、部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式， 然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视 图是否符合 (3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合 空间想象将三视图还原为实物图 10. 如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回 到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程 与之间满足函数 关系，则此函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取线段中点为 N，计算得：. 同理，当 N 为线段 AC或 C的中点时，计算得.符
7、合 C项的图象 特征. 故选：C 11. 抛物线的准线交 轴于点，过点 的直线交抛物线于两点， 为抛物线的焦点，若 ，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】易知直线的斜率存在，且不为零.设，即，带入，得 由得：，设，由韦达定理得 ，由题知，得，,把， 带入整理，得 故选：D 12. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若 有两个零点，则 实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】画出与的大致图象，如图， 先求时，与相切时的 a值：设切点为，则,解得：， ，把，得; 再求时，与有唯一公共点， 且在此点有公切线时的 a值：， 解得：，而显
8、然是增函数，故是唯一的解，此时，把 ，得， 函数的图象是由的图象向左平移 1个单位，再向上平移 a 个单位（或向下平移-a 个单位） ，由图 象可知：时，仅在上与有两个公共点； 把代入得，可知时，与在区间和内各有一个交点 综上，实数 的取值范围是 故选：C 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每
9、题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 若向量,是椭圆 上的动点，则的最小值为_ 【答案】 【解析】设，则，当 时，取最小值为. 故答案为： 14. 已知满足，则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】如图，阴影部分即为不等式表示的区域， 的几何意义是：可行域中的点与点连线的斜率，且点在直线上，由图形可得最小值 为 1，最大值为过点且与抛物线相切的直线的斜率. 设切点为，则，把代入，解得或 5，由图可知不合题意，舍去，故切线斜 率为，的取值范围为 故答案为： 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分
10、界线是实线还是虚线，其次确 定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15. 中，角的对边分别为，当最大时，_ 【答案】 【解析】, 当且仅当，取等号，C的最大值为 75，此时 sinC=,， . 故答案为： 16. 3 位逻辑学家分配 10 枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配： (1)抽签确定各人序号：1，2，3； (2)1 号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同 意自己方案） ，就按照他的方案进行分配，否则 1 好只得到
11、2 枚金币，然后退出分配与表决； (3)再由 2 号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己 方案） ，才会按照他的提案进行分配，否则也将得到 2 枚金币，然后退出分配与表决； (4)最后剩的金币都给 3 号. 每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1 号为得到最多的金币，提出 的分配方案中 1 号、2 号、3 号所得金币的数量分别为_ 【答案】9,0,1 【解析】先看一下个人的利益最大化：3号：如果 1号的方案被否定，此时剩余金币有 8 枚，那么 2 号的 方案必然是 2号 8 枚，3号 0枚，然后 2号方案不低于半数通
12、过，由的分析可知，只要 1 号的分配方案 分配给 3号的金币数量多于 0，3号就会同意，方案就会通过，所以 1号的利益最大化的分配方案是 1号，2 号，3 号所得金币数量分别是 9，0，1. 故答案为：9，0，1 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析： （1）由，作差易得：，为等差数列，即可得 到数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出的值
13、. 试题解析： (1)当时， 由， 得 ， 两式相减得. 由，得， 故为等差数列，公差为 2. 当时，由， 所以. (2)易知， ， 两式相减得 ， ， 所以. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在 写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达 式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 18. 某校高三年级有 1000 人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数. (1)求全班平均成绩； (2)计算得分超过
14、 141 的人数； （精确到整数） (3)甲同学每次考试进入年级前 100 名的概率是 ，若本学期有 4 次考试， 表示进入前 100 名的次数，写出 的分布列，并求期望与方差. 参考数据： . 【答案】(1) ;(2)23 人； （3）见解析. 【解析】试题分析： （1）由易知全班平均成绩； （2）由正太分布曲线的对称性易得 ， 从而计算出得分超过 141 的人数；(3) 的取值为 0，1，2，3，4，计算出相应的概率值，利用公式即可算得 期望与方差. 试题解析： (1)由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩. (2) , 故 141 分以上的人数为人. (3) 的取值为 0，1，2，
15、3，4， , , , , , 故 的分布列为 0 1 2 3 4 期望， 方差. 19. 已知在直角梯形中，将沿 折起至，使二面 角为直角. (1)求证：平面平面； (2)若点满足,，当二面角为 45时，求 的值. 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】试题分析： （1）要证平面平面，转证平面即可； （2）建立空间直角坐标系 计算平面的法向量，利用二面角为 45建立等量关系求出 的值 试题解析： (1)梯形中， . 又, ,. . 折起后，二面角为直角， 平面平面. 又平面平面, 平面. 又平面， . 又, 平面. 又平面，平面平面. (2)由(1)知，平面，以 为原点，方向分别为 轴、
16、 轴、 轴正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则, 设，由, 得，得. 取线段的中点 ，连结， 则, ,. 又, 平面. 平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则 取，则. ， 即或. ，. 20. 如图，矩形中， 且 ,交于点 . (1)若点 的轨迹是曲线 的一部分，曲线 关于 轴、 轴、原点都对称，求曲线 的轨迹方程； (2)过点作曲线 的两条互相垂直的弦，四边形的面积为 ，探究是否为定值？ 若是，求出此定值，若不是，请说明理由. 【答案】 （1）曲线 的轨迹方程为； （2）为定值 . 【解析】试题分析：（1）可得 M（2，2） ，N（2+4，2） ，设 Q （x，y），整理
17、得：，即可得曲线 P 的轨迹方程为； （2）设直线的斜率为 ，把代入椭圆方程，化简整理得.利用 韦达定理易得四边形 GFHE的面积为， 所以 ， 试题解析： (1)设， 由, 求得, , , ， 整理得. 可知点 的轨迹为第二象限的 椭圆，由对称性可知曲线 的轨迹方程为. （2）设，当直线斜率存在且不为零时，设直线的斜率为 ，把代入椭圆方 程，化简整理得. ， . . , 把 换成，即得. ， ， ， . 当直线斜率不存在或为零时， . 为定值 . 点睛：求定值问题常见的方法 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 21. 已知
18、函数，其中 为自然对数的底数. (1)若有极值点，求证：必有一个极值点在区间内； (2)求证：对任意，有. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】试题分析： （1）易知，设， 若有极值点，则有两个不相等的实根； （2）对任意，有等价于， 记可得：，即证. 试题解析： (1)易知， 设， 若有极值点， 则有两个不相等的实根， ， 或， 此时， ， 有两个零点，且有一个在区间内. 即有一个极值点在区间内. (2)由，得， 得， . 只需证. 令， 则. 当时，为增函数， ，即. 只需证， 即证， 令 则， 当时，为增函数， ，即. 原不等式成立. 22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点
19、为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为. (1)求曲线 的直角坐标方程； (2)在平面直角坐标系中，将曲线 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到曲线 ，过点作直线 ，交曲线 于两点，若，求直线 的斜率. 【答案】 （1）； （2）线 的斜率为. 【解析】试题分析： （1）利用把极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线 的参数方程 为（ 为参数，） ，代入曲线 的方程，整理得， 利用韦达定理可得，得同向共线. 由可得直线 的斜率. 试题解析： (1)由，得，将，代入整理得. (2)把中的 换成 ，即得曲线 的直角坐标方程. 设直线 的参数方程为（ 为参数，） ， 代入曲线 的方程，整理得 ， , . 设两点所对应的参数分别为， 则为上述方程的两个根. 由， 得同向共线. 故由 . 由，得， 即直线 的斜率为. 23. 已知，且 . （1)的最小值； (2)证明：. 【答案】 （1）最小值为 9； （2）见解析. 【解析】试题分析： （1）利用柯西不等式求出的最小值； （2）由， 得.同理得，. 累加即可得结果. 试题解析： (1)由柯西不等式，得， 当且仅当时，取等号. 所以的最小值为 9. (2)由， 得. 同理得， . 三式相加得， ， 当且仅当时，取等号.
