1、 20182018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理数年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理数 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】集合 集合 集合 故选 B. 2. 设 是虚数单位，若， ，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，
2、根据两复数相等的充要条件得，即 ，其共轭复数为，故选 A. 3. 已知等差数列的前 项和是，且，则下列命题正确的是（ ） A. 是常数 B. 是常数 C. 是常数 D. 是常数 【答案】D 【解析】，为常数，故选 D. 4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角 形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼 成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，则. ， 所求的概率为 故选 A. 5. 已知点 为双曲线 ：（，）
3、的右焦点，点 到渐近线的距离是点 到左顶点的距离的一 半，则双曲线 的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，即. 点 到渐近线的距离是点 到左顶点的距离的一半 ，即. ，即. 双曲线的离心率为. 故选 B. 点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何 条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同求双曲线离 心率的值或离心率取值范围的两种方法： （1）直接求出的值,可得 ； （2）建立的齐次关系式,将 用 表示,令两边同除以 或 化为 的关系式,解方程或者不等式
4、求值或取值范围 6. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，的几何意义是以原点为圆心，半径 为 的圆的面积的 ，故，故选 D. 7. 执行如图程序框图，则输出的 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】第 1次循环后，不满足退出循环的条件，； 第 2次循环后，不满足退出循环的条件，； 第 3次循环后，不满足退出循环的条件，； 第 次循环后，不满足退出循环的条件，； 第次循环后，不满足退出循环的条件，； 第次循环后，满足退出循环的条件，故输出的 的值为. 故选 C. 8. 已知函数 的相邻两个零点差的绝对值为 ，则函数的图象（ ） A. 可由函数的图象
5、向左平移个单位而得 B. 可由函数的图象向右平移个单位而得 C. 可由函数的图象向右平移个单位而得 D. 可由函数的图象向右平移个单位而得 【答案】B 【解析】 ，因为函数 （）的相邻两个零点差的绝对值为 ，所以函数的最小正周期为 ，而， 故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选 B. 9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的 各项系数和为，故选 A. 10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面 积是（ ） A. B. C. D. 【答
6、案】B 【解析】由三视图可得该几何体是六棱锥，底面是边长为 1的正六边形，有一条侧棱垂直底面，且长为 2， 可以将该几何体补成正六棱柱，其外接球与该正六棱柱外接球是同一个球 故该几何体的外接球的半径，则该几何体的外接球的表面积是. 故选 B. 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法： (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆 的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解； (2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直， 且 ， 一般把有关元素“补 形”成为一个球内接长方体，利用求解 11. 设 为坐标原点，点 为抛物线 ：
7、上异于原点的任意一点，过点 作斜率为 的直线交 轴于 点，点 是线段的中点，连接并延长交抛物线于点 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设点，点，则，. 过点 作斜率为 的直线交 轴于点，点 是线段的中点 直线的方程为. 联立，解得，即. 故选 C. 12. 若函数，对于给定的非零实数 ，总存在非零常数 ，使得定义域 内的任意实数 ，都有 恒成立，此时 为的类周期，函数是上的 级类周期函数，若函数是定义在 区间内的 2 级类周期函数，且，当时，函数 ，若，使成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】是定义在区间内的 级类周期函数，
8、且， ，当时， ，故时， 时，而当时， ， 当时，在区间上单调递减， 当时， 在区间上单调递增，故，依题意得，即实数 的取值范 围是，故选 B. 【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题. 解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共 分四种情况： （1） 只需； （2） ，只需 ； （3）， 只需 ； （4）， . 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量，且
9、，则 _ 【答案】 【解析】向量，且 ，即. 故答案为. 14. 已知 ， 满足约束条件则目标函数的最小值为_ 【答案】 【解析】由约束条件作出可行域如图所示： 联立，解得. 由目标函数化为，由图可知过时，直线在 轴上的截距最大，此时 最 小， 的最小值为. 故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是 “一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ； （2）找到目标函数对应的最优解 对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ； （3）将最优解坐标 代入目标函数求出最值. 1
10、5. 在等比数列中， 且 与的等差中项为， 设 ， 则数列的前 项和为_ 【答案】 【解析】设等比数列的首项为 ，公比为 . ，即. 与的等差中项为 ，即. ，. 数列的前项和为 . 故答案为. 16. 有一个容器，下部是高为的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器 内壁的厚度，则该容器的最大容积为_ 【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为 ，圆锥的高为 ，则，故. 该容器的体积. 当时，即 在上为增函数；当时，即 在上为减函数. 当时， 取得最大值，此时， . 故答案为 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义 域，利用求
11、函数最值的方法求解，注意结果要与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值 时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知的内角 ， ， 的对边 ， ， 分别满足 ，又点 满足 （1）求 及角 的大小； （2）求的值 【答案】 （1）,； （2） . 【解析】试题分析： （1）由及正弦定理化简可得即， 从而得 又， 所以， 由余弦定理得；（2） 由， 得 ，所以 试题
12、解析： （1）由及正弦定理得， 即， 在中，所以 又，所以 在中，由余弦定理得， 所以 （2）由，得 ， 所以 18. 在四棱柱中，底面是正方形，且 ， （1）求证：； （2）若动点 在棱上，试确定点 的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为 【答案】 （1）证明见解析； （2） 为的中点. 【解析】试题分析： （1）连接，与的交点为 ，连接，则，由正方形的 性质可得，从而得平面， 又，所以； （2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面， 所以、两两垂直以点 为坐标原点，的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设（） ，求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为 ，利用空间向量夹角余弦
13、公式列方程可解得，从而可得结果. 试题解析： （1）连接， 因为， 所以和均为正三角形， 于是 设与的交点为 ，连接，则， 又四边形是正方形，所以， 而，所以平面 又平面，所以， 又，所以 （2）由，及，知， 于是，从而， 结合，得底面， 所以、两两垂直 如图，以点 为坐标原点，的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 由，易求得 设（） ， 则，即， 所以 设平面的一个法向量为， 由得令，得， 设直线与平面所成角为 ，则 ， 解得或（舍去） ， 所以当 为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间
14、向量解 答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求 出相应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018 年春节前夕， 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示 （1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 （同一组中数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2）由直方图可
15、以认为，速冻水饺的该项质量指标值 服从正态分布，利用该正态分布，求 落在 内的概率； 将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标 值位于内的包数为 ，求 的分布列和数学期望 附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为； 若，则， 【答案】 （1）； （2），分布列见解析， . 【解析】试题分析： （1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽 取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数； （2）根据 服从正态分布，从而求出 ；根据题意得， 的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各
16、随 机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得 的数学期望. 试题解析： （1）所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 为： （2） 服从正态分布，且， ， 落在内的概率是 根据题意得， ；. 的分布列为 0 1 2 3 4 20. 已知椭圆 ：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 ：与椭圆 相交于 ， 两点，点 的坐标为，问直线与的斜率之和 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由 【答案】 （1）； （2）定值为 . 【解析】试题分析： （1）由椭圆的几何性质可得，即可求得 ， 的值，
17、从而可得椭圆 的标准 方程； （2）联立直线与椭圆的方程得，根据判别式可得 的取值范围，设， ，结合韦达定理，对化简，从而可得出定值. 试题解析： （1）由已知可得解得，. 故所求的椭圆方程为 （2）由得，则，解得或 设，则，则， ， 为定值，且定值为 0 点睛： （1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线 上的点满足的条件，并进一步解题 （2）求定值问题常见的方法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 21. 已知函数，其中 为自然对数的底数 （1）若函数在区间上是单调函数，
18、试求实数 的取值范围； （2）已知函数，且，若函数在区间上恰有 3 个零点，求实数 的取值范 围 【答案】 （1）； （2）. 【解析】试题分析： （1）根据题意，由函数的解析式计算可得，由函数的导数与函数单调性的关系，分 函数在区间上是为单调增函数和单调减函数两种情况讨论， 分别求出 的取值范围， 综合即可得答案； （2）根据题意，对求导分析可得，由，知在区间内恰有一个零点，设该 零点为，则在区间内不单调，在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点， 由（1）的结论，只需在区间内两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，从而可得实数 的取值 范围. 试题解析： （1）由题意得，当函数在区间上单调
19、递增时，在区间 上恒成立. （其中） ，解得； 当函数在区间上单调递减时，在区间上恒成立， （其中） ，解得 综上所述，实数 的取值范围是 （2） 由，知在区间内恰有一个零点， 设该零点为，则在区间内不单调. 在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点. 在区间内恰有两个零点 由 （1） 知， 当时，在区间上单调递增， 故在区间内至多有一个零点， 不合题意 当 时，在区间上单调递减，故在区间内至多有一个零点，不合题意， 令，得， 函数在区间上单调递减，在区间内单调递增 记的两个零点为， , ，必有， 由，得. ， 又， 综上所述，实数 的取值范围为 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和
20、思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（ 是参数， 是大于 0 的常数） 以坐标原 点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程
21、为 （1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程； （2）分别记直线 ：，与圆、圆的异于原点的交点为 ， ，若圆与圆外切，试求实数 的 值及线段的长 【答案】 （1），； （2），. 【解析】试题分析： （1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得 圆的极坐标方程，两边同乘以 利用互化公式 即可得圆的直角坐标方程； （2）由（1）知圆的圆心 ，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分 别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长. 试题解析： （1）圆：（ 是参数）消去参数 ， 得其普通方程为， 将，代入上式并化简， 得圆的极坐标方程， 由圆的极坐标方程，得 将，代入上
22、式， 得圆的直角坐标方程为 （2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， ， 圆与圆外切， ，解得， 即圆的极坐标方程为 将代入，得，得； 将代入，得，得； 故 【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径 的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消 元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用 转化即可. 选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 23. 已知函数 （1）求不等式； （2）若正数 ， 满足，求证： 【答案】 （1）； （2）证明见解析. 【解析】 试题分析： （1） 对 分三种情况讨论， 分别求解不等式组， 然后求并集， 即可得不等式 的解集； （2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以 . 试题解析： （1）此不等式等价于或或 解得或或 即不等式的解集为 （2）， ，即， 当且仅当即时取等号 ， 当且仅当，即时，取等号
