1、 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1.若集合0xxB，且ABA，则集合A可能是（ ） A. 2 , 1 B.1xx C.1 , 0 , 1 D.R 【答案】A. 【解析】 试题分析：ABA，AB，故只有 A 符合题意，故选 A. 考点：集合的关系及其运算. 2.复数 i i z 1 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D. 考点：复数的概念及其运算. 3
2、.已知平面向量a，b满足()5aab，且| 2a ，| 1b ，则向量a与b夹角的余弦值为（ ） A. 2 3 B. 2 3 C. 2 1 D. 2 1 【答案】C. 【解析】 试题分析：由题意得， 21 542 1 cos,5cos, 2 aa ba ba b ，故选 C. 考点：平面向量数量积. 4.执行如图所示的程序框图，如输入的a值为 1，则输出的k的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】 试题分析：依次执行程序中的语句，可得：1b，： 1 2 a ，1k ；：2a ，2k ； ：1a ，跳出循环，故输出2k ，故选 B. 考点：程序框图. 5.已知数列 n
3、 a中，1 1 a， 1 21() nn aanN ， n S为其前n项和，则 5 S的值为（ ） A.57 B.61 C.62 D.63 【答案】A. 考点：数列的通项公式. 6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A. 3 2 B. 3 C. 9 2 D. 9 16 【答案】D. 【解析】 试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体， 2 1 1 216 24 3 239 V ，故选 D. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积. 7.为了得到xy2cos，只需要将) 3 2sin( xy作如下变换（ ） A.向右平移 3 个单位 B.向右平移 6
4、个单位 C.向左平移 12 个单位 D.向右平移 12 个单位 【答案】C. 考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换 8.若 A 为不等式组 2 0 0 xy y x 表示的平面区域，则当a从-2 连续变化到 1 时，动直线ayx扫过 A 中的 那部分区域的面积为（ ） A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75 【答案】D. 【解析】来源: 试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为 11227 2 2 22224 S ，故选 D. 考点：线性规划. 9.焦点在x轴上的椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一
5、个三角形， 该三角形内切圆的半径为 3 b ，则椭圆的离心率为（ ） A. 4 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 2 【答案】C. 考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换 10.在四面体SABC中，ABBC，2ABBC，2SASC，二面角SACB的余弦值是 3 3 ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A.68 B.6 C.24 D.6 【答案】B. 考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球. 【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接 建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解. 11.已知函数
6、 5 2 log1,(1) ( ) (2)2,(1) xx f x xx ，则关于x的方程(),f xa aR实根个数不可能为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D. 【解析】 试题分析：如下图所示，作出函数( )f x的函数图象，从而可知，0a：( )f xa有 2 个不等正根， (|)fxa有 4 个不等实根；：0a：( )f xa有 1 个正根，1 个根为 0， (|)fxa有 3 个不等实根；：01a：( )f xa有 1 个正根，1 个负根， (|)fxa有 2 个不等实根；：12a：( )f xa有 2 个不等正根，1 个负根， (|)fxa有 4 个不等实根；：2a：
7、( )f xa有 1 个正根，1 个负根， (|)fxa有 2 个不等实根；：2a：( )f xa有 1 个负根， (|)fxa无实数根，故综上可知，(|)fxa的可能的实根个数为0，2，3，4，故选 D. 考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想. 【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像 的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方 程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解 12.函数( )sin(2)(,0) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，且0)
8、()(bfaf，对不同的 1 x， 2 ,xa b，若)()( 21 xfxf，有3)( 21 xxf，则（ ） A.)(xf在) 12 , 12 5 ( 上是减函数 B.)(xf在) 12 , 12 5 ( 上是增函数 C.)(xf在) 6 5 , 3 ( 上是减函数 D.)(xf在) 6 5 , 3 ( 上是增函数 【答案】B. 考点：三角函数的图象和性质. 【名师点睛】根据sin()yAx，xR的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到A 与；2.求的值时最好选用最值点求：峰点：2 2 xk ，谷点：2 2 xk ， 也可用零点求， 但要区分该零点是升零点， 还是降零点， 升
9、零点(图象上升时与x轴的交点)：2xk； 降零点(图象下降时与x轴的交点)：2xk(以上kZ) 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13. 4 1 (1)(1) x x 的展开式中 2 x项的系数为_. 【答案】2. 【解析】 试题分析：由二项式定理可知 4 (1) x中， 14 rr r TC x ，令2r ，可知 2 x的系数为 2 4 6C ，令3r ，可 知 3 x的系数为 3 4 4C ，故 4 1 (1)(1) x x 的展开式中 2 x的系数为642，故填：2. 考点：二项式定理. 14.已知抛物线 2 2
10、(0)ypx p上一点), 1 ( mM到其焦点的距离为 5，双曲线1 2 2 a y x的左顶点为A， 若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_. 【答案】 1 4 . 考点：二项式定理. 15.如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从A点测得M点的仰角 60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC，C点测得60MCA，已知山高 100BC m，则山高MN _m. 【答案】150. 【解析】 试题分析：由题意得，100 2AC ，在MAC中，根据正弦定理可知 100 3 sinsin ACAM AM AMCACM ，sin60150MNAM，故填：150.
11、考点：正余弦定理解三角形. 【名师点睛】这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据 题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解解三角形的方法在实际问题 中，有广泛的应用在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法近年的高考中我们发现以解 三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分 理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形 16.设函数 x x xf 1 )( 2 ， x e x xg)(，对任意 1 x， 2 (0,)x ，不等式 1
12、)()( 21 k xf k xg 恒成立，则正数k 的取值范围是_. 【答案】 1 ,) 21e . 考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想. 【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求 最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界
13、上人口老龄化速度最快的国家之 一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题若某地区 2015 年人口总数为 45 万， 实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年 增加 0.5 万人，从 20216 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 99% （1）求实施新政策后第n年的人口总数 n a的表达式（注：2016 年为第一年） ； （2） 若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万， 则需调整政策， 否则继续实施 问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.0
14、1)100.9） 【答案】 （1） 10 450.5 ,110 50 0.99,1120 n n nn a n ； （2）详见解析. 【解析】 试题分析： （1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解； （2）根据题意求得 20 S的值， 即可得出结论. 考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和 18.（本小题满分 12 分） 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD平面 ABPEAB，且2ABBP，1ADAE，AEAB，且/AEBP （1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN 平面ABCD？若存在， 请证明
15、；若不存在，请说明理由； （2）求二面角DPEA的余弦值. 【答案】 （1）详见解析； （2） 2 3 . 【解析】 试题分析： （1）连接AC，BD交于点N，连接MN，证明MN 平面ABCD，从而MN即为所求； （2） 建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解. 试题解析： （1）连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN 平面ABCD， M为PD中点，N为BD中点，MN为PDB的中位线，/MNPB， 又平面ABCD平面ABPE，平面ABCD平面ABPEAB，BC 平面ABCD，BCAB， BC 平面ABPE，BCPB，又PBAB，ABBCB，PB 平面ABCD，MN 平面ABCD；
16、 （2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系， AD 平面PEA，平面PEA的法向量 1 (0,0,1)nAD， 又(0,0,1)D，(1,0,0)E，(2,2,0)P，(1,0, 1)DE ，(2,2, 1)DP ，设平面DPE的法向量 2 ( , , )nx y z，则 0 220 xz xyz ，令1x ，得 2 1 (1,1) 2 n ， 12 2 cos, 3 n n， 又DPEA为锐二面角，二面角DPEA的余弦值为 2 3 . 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解 19.（本小题满分 12 分） 某产品按行业生产标准分
17、成 8 个等级，等级系数X依次为 1，2，8，其中5X 为标准 A，3X 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品 的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 （1）已知甲厂产品的等级系数 1 X的概率分布列如下所示： 1 X 5 6 7 8 P 0.4 a来源:学|科|网 Z|X|X|K b 0.1 且 1 X的数字期望 1 6EX ，求a，b的值； （2）为分析乙厂产品的等级系数 2 X，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样 本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3
18、 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 2 X的数学期望 （3）在（1） 、 （2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由 注：产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； “性价比”大的产品更具可购买性 【答案】 （1） 0.3 0.2 a b ； （2）4.8； （3）详见解析. （2）由已知得，样本的频率分布表如下： 2 X 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布
19、，将频率视为概率，可得等级系数 2 X的概率分布列如下： 2 X 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 2 3 0.34 0.25 0.26 0.1 7 0.1 8 0.14.8EX ， 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8； （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6，价格为 6 元/ 件， 其性价比为 6 1 6 ， 乙厂产品的等级系数的期望等于 4.8， 价格为 4 元/件，其性价比为 4.8 1.2 4 ， 据此，乙厂的产品更具可购买性. 考点：离散型随机变量的概率分布及其期望 20.（本小题满分 12 分）
20、已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三 角形，直线0643 yx与圆 222 )(abyx相切. （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 1 l，2l分别交椭圆 C 于M，N两点， 且 12 ll， 求证： 直线MN 过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下求AMN面积的最大值. 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）详见解析； （3） 16 25 . （3）由（2）知 3 2242 244 8 54414174 AMN mmmm S mmmm 2 1 8 8 119 4()94
21、1 m m mm mm m m ，令 1 21tmm m 且时取等号， 16 25 S时，当1m取等号，即 max 16 25 S. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题 【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2） 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐 含或已知的不等关系建立不等式， 从而求出参数的取值范围； （4） 利用基本不等式求出参数的取值范围； （5） 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 21.（本小题满分 12 分）已知函
22、数)(1()(aexaxf x (常数Ra且0a). （1）证明：当0a时，函数)(xf有且只有一个极值点； （2）若函数)(xf存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 1 2 4 0()f x e 且 2 2 4 0()f x e . 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析.来源:学*科*网 考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想 【思路点睛】1证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2求参数范围问题的常 用方法： （1）分离变量； （2）运用最值；3方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为 极值点和单调区间的讨论 请考生在第请考生在第 2222
23、、2323、2424 题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图A、B、C、D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上 （1）若 1 3 EC EB ， 1 2 ED EA ，求 DC AB 的值； （2）若 2 EFFA FB，证明：/EFCD 【答案】 （1 ） 6 6 ； （2）详见解析. 考点：1.圆的性质；2.相似三角形的判定与性质. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴
24、与x轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为： ty tx 2 1 2 3 1 （t为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为：4cos （1）写出 C 的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）设直线l与曲线 C 相交于P，Q两点，求|PQ值 【答案】 （1）详见解析； （2）7. 【解析】 试题分析： （1）利用cosx，siny，即可将极坐标方程化为直角坐标方程； （2）将直线方程与 圆方程联立，利用参数t的几何意义结合韦达定理即可求解. 试题解析： （1）4cos， 2 4 cos，由 222 xy，cosx，得 22 4xyx， 曲线C的直角坐标方程为 22 (2)4xy，又由 3 1 2 1
25、 2 xt yt ，消去t解得310xy ， 直线l的普通方程为310xy ；（2） 把 3 1 2 1 2 xt yt 代入 22 4xyx， 整理得 2 3 350tt， 设其两根分别为 1 t， 2 t， 12 3 3tt， 1 2 5t t ， 2 12121 2 | |()47PQtttttt. 考点：1.极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系 24.（本小题满分 12 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数322)(xaxxf,21)( xxg. （1）解不等式5)(xg；来源:学&科&网 （2）若对任意的Rx 1 ，都有Rx 2 ，使得)()( 21 xgxf成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）( 2,4)； （2）5a或1a. 考点：1.绝对值不等式；2.转化的数学思想 来源:163文库
