1、 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分，在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.） 1.“1m”是“复数 2 (1)(1)mm i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】 试题分析：由题意得， 2 (1)(1)mm i是纯虚数 2 10 1 10 m m m ，故是必要不充分条件，故选 B. 考点：1.复数的概念；2.充分必要条件 2.设全集UR，函数( )lg(|1|
2、 1)f xx的定义域为A，集合|sin0Bxx，则 U C AB的元 素个数为（ ） A1 B2 C3 D4来源:学#科#网 【答案】C. 考 点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算来源:ZXXK 3.若点 55 (sin,cos) 66 在角的终边上，则sin的值为（ ） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 【答案】A. 【解析】 试题分析：根据任意角的三角函数的定义， 5 cos 3 6 sin 12 ，故选 A. 考点：任意角的三角函数 4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 i a为茎 叶图中的学生成
3、绩，则输出的m，n分别是（ ） A38m，12n B26m，12n C12m，12n D24m，10n 【答案】B. 考点：1.统计的运用；2.程序框图 5.如图所示的是函数( )sin2f xx和函数( )g x的部分图象，则函数( )g x的解析式是（ ） A( )sin(2) 3 g xx B 2 ( )sin(2) 3 g xx C 5 ( )cos(2) 6 g xx D( )cos(2) 6 g xx 【答案】C.来源:学,科,网 【解析】 试题分析：由题意得，(0)0g，故排除 B，D；又 172 ()()sin 24842 gf ，故排除 A，故选 C. 考点：三角函数的图象和
4、性质 6.若函数 2 (2) ( ) m x f x xm 的图象如图所示，则m的范围为（ ） A(, 1) B( 1,2) C(0,2) D(1,2) 【答案】D. 考点：函数性质的综合运用 7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ） A1 B 2 2 C 5 2 D5 【答案】C. 考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积 8.已知数列 n a的首项为 1 1a ，且满足对任意的 * nN，都有 1 2n nn aa ， 2 3 2n nn aa 成立， 则 2014 a（ ） A 2014 21 B 2014 21 C 2015 21 D 2015 21 【答案】
5、A. 考点：数列的通项公式 9.已知非零向量a，b，c，满足| | 4abb，() ()0acbc，若对每个确定的b，| |c的最大值 和最小值分别为m，n，则mn的值为（ ）来源: A随|a增大而增大 B随|a增大而减小 C是 2 D是 4 【答案】D. 【解析】 试题分析：() ()0acbc， 2 ()0cab ca b ，即 2 | | | | cos,0cabcab ca b ，1cos,1ab c ， 2 2 | | | |0 | | | |0 cabca b cabca b ，解得 | 2 |2 22 abab c ， （ | | | 2 222 ababab bb ） ，故 m
6、in | |2 2 ab c ， max | |2 2 ab c ， 4mn，故选 D. 考点：平面向量数量积 10.已知在三棱锥PABC中，1PAPBBC，2AB ，ABBC，平面PAB 平面ABC，若 三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 3 2 B3 C 2 3 D2 【答案】B. 【解析】 考点：空间几何体的外接球 【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长 等于外接球的直径，即 222 2abcR；2.棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 32aR；棱长为 a 的正四面体：外接球的半径为 6 4 a，
7、内切球的半径为 6 12 a； 11.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的 某渐近线交于两点P，Q，若60PAQ，且3OQOP，则双曲线C的离心率为（ ） A 7 4 B 7 3 C 7 2 D7 【答案】C. 【解析】 试题分析： 如下图所示， 设AOQ， t a nc o s ba ac ，sin b c ， 2 |c o s a O Ha c ， |sin ab AHa c ，又3OQOP， 2 | | | 2 a OPPHHQ c ， 2 |3|323 2 aba AHPHba cc ， 2 7 1 ( )
8、2 b e a ，故选 C. 考点：双曲线的标准方程及其性质 【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系， 构造出关于a，c的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及 平面几何知识的运用，如 12 | 2PFPFc等. 12.已知函数 5 2 log11 221 xx f x xx ，则关于x的方程 1 (2)f xa x 的实根个数不可能为 （ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 【答案】A. 当2a时，方程( )f xa有两个正根，一个小于4的负根， 1 (2)f xa x 有六个根，当2a时， 方
9、程( )f xa有一个正根一个小于4的负根， 1 (2)f xa x 有四个根， 1 (2)f xa x 根的个 数可能为2，3，4，6，7，8，故选 A. 考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想. 【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断， 对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为( )( )f xg x的形式，通过 考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20
10、 分，把答案填在分，把答案填在题中的横线上 ）题中的横线上 ） 13.已知0a ， 6 () a x x 展开式的常数项为 15，则 22 (4) a a xxxdx _. 【答案】 22 3 3 . 考点：定积分的计算及其性质. 14.设a，bR， 关于x，y的不等式| 1xy和48axby无公共解， 则ab的取值范围是_. 【答案】 16,16. 考点：线性规划. 15.设抛物线 2 20ypx p的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若 90CBF，则AFBF_ 【答案】2p. 考点：抛物线焦点弦的性质. 【名师点睛】若AB为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点弦，F为抛
11、物线焦点，A，B两点的坐标分别为 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，则： 2 12 4 p x x ， 2 12 y yp ，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切， 112 |AFBFp . 16.已知数列 n a满足 1 2a ， 2 1 0 nn aan ，则 31 a_. 【答案】463. 考点：数列的通项公式. 【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由 1 a和递推关系求出前几项，再归纳、猜想 n a的方法，以及“累 加法” ， “累乘法”等：1.已知 1 a且 1 ( ) nn aaf n ，可以用“累加法”得： 1 2 ( ) n n k aaf k ，2n； 2.已知 1
12、a且 1 ( ) n n a f n a ，可以用“累乘法”得： 1 (2)(3)(1)( ) n aa fff nf n，2n. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 如图，在ABC中，已知点D在边BC上，且0AD AC， 2 2 sin 3 BAC，3 2AB ，3BD . （1）求AD长； （2）求cosC. 【答案】 （1）3； （2） 6 3 . 【解析】 试题分析： （1）利用已知条件首先求得cosBAD的值，再在AB
13、D中，利用余弦定理即可求解； （2）在 ABD中利用正弦定理即可求解. 试题解析： （1）0AD AC，则ADAC，sinsin()cos 2 BACBADBAD ， 即 2 2 cos 3 BAD，在ABD中，由余弦定理，可知 222 2cosBDABADAB ADBAD， 即 2 8150ADAD，解得5AD，或3AD，ABAD，3AD；6 分 （2）在ABD中，由正弦定理，可知 sinsin BDAB BADADB . 又由 2 2 cos 3 BAD，可知 1 sin 3 BAD， sin6 sin 3 ABBAD ADB BD . 2 ADBDACCC ， 6 cos 3 C .12
14、 分 考点：正余弦定理解三角形 18.（本小题满分 12 分） 已知矩形ABCD，22ADAB，点E是AD的中点，将DEC沿CE折起到DEC的位置，使二面 角DECB 是直二面角. （1）证明：BE CD ； （2）求二面角DBCE 的余弦值. 【答案】 （1）详见解析； （2） 3 3 . 在Rt DMF中， 12 22 D MEC， 11 ,tan2 22 D M MFABD FM MF ，来源:学科网 ZXXK 3 cos 3 D FM，二面角DBCE 的余弦值为 3 3 .12 分 考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解 19.(本小题满分 12 分) 2015 年 7 月
15、9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾， 5.6 万人紧急转移安置，288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元.距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响， 适逢暑假， 小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失， 将收集的数据分成0,2000，2000,4000，4000,6000，6000,8000，8000,10000五组，并作 出如下频率分布直方图： （1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2）小明向
16、班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐 款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为户，求的分布列和数学期望； （3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如图，根据图表格中 所给数据，分别求b，c，ab，cd，ac，bd，abcd 的值，并说明是否有 95%以上的 把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？ 经济损失不超过 4000 元 经济损失超过 4000 元 合计 捐款超过 500 元 30a b 捐款不超过 500 元 c 6d 合计 2 P Kk 0.15
17、0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：临界值表参考公式： 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd . 【答案】 （1）3360； （2）详见解析； （3）详见解析. 的分布列为 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 221212 012 3535355 E ；8 分 （3）解得9b，5c ，39ab，11cd，35ac ，15bd，50abcd ， 2 2 5030 69 5 4.0463.841 39 11 35 15 K ， 有 95%以
18、上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关.12 分 考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的两个焦点 1 F， 2 F，且椭圆过点(0, 3)， 6 ( 3,) 2 ，且A是椭圆 上位于第一象限的点，且 12 AFF的面积 1 2 3 AF F S. （1）求点A的坐标； （2） 过点(3,0)B的直线l与椭圆E相交于点P，Q， 直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点， 点 5 ( ,0) 2 C， 则| |CMCN是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果
19、不是请说明理由. 【答案】 （1）(2,1)A； （2）详见解析. 法二：设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy， 3 (,0)M x， 4 (,0)N x，直线l，AP，AQ的斜率分别为k， 1 k， 2 k， 由 22 3 26 yk x xy ，得 2222 12121860kxk xk， 422 1444 121860kkk ，可得 2 1k ， 2 12 2 12 12 k xx k ， 2 12 2 186 12 k x x k ， 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题 【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入
20、手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、 定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应 注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运 算. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 22 1 ( )()(1)(22), 2 x f xaxbxab exxxaR，且曲线 yf x与x轴切于原点O. （1）求实数a，b的值； （2）若 2 ( ) ()0f xxmxn恒成立，求mn的值. 【答案】 （1）0a，1b； （2）1mn. 【解析】 试题分析： （1）求导，利用导数的几何意义即可求解；
21、 （2）将不等式作进一步化简，可得 2 1 (1)(1)(1) 2 x xexxx，分类讨论，构造函数 2 1 ( )(1) 2 x g xexx，求导研究其单调性即可 得到0x，和1x 是方程 2 0xmxn的两根，从而求解. 考点：导数的综合运用 【名师点睛】1证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2求参数范围问题的常 用方法： （1）分离变量； （2）运用最值；3方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为 极值点和单调区间的讨论；4高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单 调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造
22、一个可导函数是用导数证明不等式的 关键 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，且 /PABD. （1）求证：ACDACB； （2）若3PA，6PC ，1AM ，求AB的长. 【答案】 （1）详见解析； （2）2. 考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标
23、系xOy中，已知点1, 2P，直线 1 : 2 xt l yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos，直线l和曲线C的交点为,A B. （1）求直线l和曲线C的普通方程； （2）求PAPB. 【答案】 （1）直线l的普通方程是30xy，曲线C的普通方程是 2 2yx； （2）联立直线方程与抛物 线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解. 【解析】 考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )21f xxa ，( )
24、2g xxm，a，mR，若关于x的不等式( )1g x 的整数解有 且仅有一个值为-2. （1）求整数m的值； （2）若函数( )yf x的图象恒在函数 1 ( ) 2 yg x的上方，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）4； （2）(,3). 【解析】 试题分析： （1）解不等式( )1g x ，根据整数解为2，即可求解； （2）问题等价于 1 0 2 f xg x恒 成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解. 试题解析： （1）由( )1g x ，即21xm ，21xm， 得 11 22 mm x ，不等式的整数解为2， 11 2 22 mm ，解得35m， 又不等式仅有一个整数解2，4m；4 分 （2）函数 yf x的图象恒在函数 1 2 yg x的上方，故 1 0 2 f xg x， 212axx 对任意xR恒成立，设 212h xxx ， 则 3 ,2 ( )4, 21 3 ,1 x x h xxx x x ，则( )h x在区间,1上是减函数， 考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3 .恒成立问题
