1、 2017201720182018 学年度第一学期高三十模考试学年度第一学期高三十模考试 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案 的序号填涂在答题卡上）的序号填涂在答题卡上） 1. 设集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知中， ，则的值是（ ） A. B. C. D. 4.
2、 设 ， 为的展开式的第一项（ 为自然对数的底数） ，若任取 ，则满足的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. 学+科+网.学+科+网. C. D. 6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 执行如下程序框图，则输出结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，设椭圆 ：的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在第二象限上的点，直线 交 椭圆 于点 ，若直线平分线段于，则椭圆 的离心率是（ ） A. B. C
3、. D. 10. 设函数为定义域为 的奇函数，且 ，当时，则函数 在区间上的所有零点的和为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中为函数 的导数，求 （ ） A. B. C. D. 12. 已知直线 ：，若存在实数 使得一条曲线与直线 有两个不同的交点，且以这两个交点 为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程： ；. 其中直线 的“绝对曲线”的条数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 已知实数 ， 满足，且，则实数
4、的取值范围_ 14. 双曲线的左右焦点分别为、 ， 是双曲线右支上一点， 为的内心，交 轴于 点， 若，且，则双曲线的离心率 的值为_ 15. 若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是_ 16. 观察下列各式： ； ； ； ； 若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为_ 三、 解答题： （本大题共三、 解答题： （本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 1717 2121 为必考题，每个试题考生都必须作答为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选
5、考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答） 17. 已知等差数列中，公差，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前 项和，且存在，使得成立，求实数 的取值范围. 18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调 查结果绘成折线图如下： （1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足 小时的人数. （2）若从学习时间不少于 小时的学生中选取 人，设选到的男生人数为 ，求随机变量 的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论） 19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知
6、，过底面对角线 作与 平行的平面交于 . （1）试判定点 的位置，并加以证明； （2）求二面角的余弦值. 20. 在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点 、 同时满足： ；. （1）求顶点 的轨迹 的方程； （2） 过点作两条互相垂直的直线 ， ， 直线 ， 与 的轨迹 相交弦分别为， 设弦， 的中点分别为， . 求四边形的面积 的最小值； 试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21. 已知函数. （1）当，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数 的取值范围； （3）已知 ， ， 均为正实数，且，求证 . 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点 ，极轴为 轴正半轴（两坐标系取 相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（ 为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程； （2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若， 分别是曲线和曲线上的动点，求 的最小值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知. （1）当时，解不等式. （2）若不等式对恒成立，求实数 的取值范围.
