1、 . 20172018 学年度上学期高三年级一调考试学年度上学期高三年级一调考试 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 第卷（选择题第卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分从每小题所给的四个选项中，选出最佳选 项，并在答题纸上将该项涂黑） 1设集合 2 1,2,4, |40ABx xxm若1AB ，则B （ ） A1, 3 B1,0 C1,3 D1,5 1答案：C 解析：由题意可知1B，将1
2、x 代入 2 40xxm，得3m，所以 2 430xx， 即(1)(3)0xx，解得1x 或3x ，所以1,3B 2已知i是虚数单位，若复数 i 12i a 为纯虚数，则实数a的值是（ ） A 1 2 B0 C 1 2 D2 2答案：D 解析：设 i i, 12i a b bR ，则ii(12i)2iabbb ，所以 2 1 ab b ，故2a 3执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为（ ） A5 B4 C3 D2 3答案：D 解析：1,100,0tMS是100,10,2SMt 是90,1,3SMt否 输出9091S ，结束，所以正整数N的最小值为 2 .
3、 4已知点( 2,0)A ，点( , )M x y为平面区域 220, 240, 33 xy xy xy 0 0 上的一个动点，则AM的最小值 是（ ） A 5 B3 C 6 5 5 D2 2 4答案：C 解析：作可行域如图所示，则AM的最小值为点A到直线220xy的距离， 2 ( 2)0266 5 555 d x y O M 220xy 240xy 330xy 5已知ABC的三个内角, ,A B C依次成等差数列，BC边上的中线7,2ADAB，则 ABC S （ ） A3 B2 3 C3 3 D6 5答案：C 解析：因为, ,A B C成等差数列，所以2BA C，又因为180ABC，所以60
4、B， 在ABD中，由余弦定理可得 222 2cos60ADABBDAB BD，即 2 230BDBD，所以(3)(1)0BDBD，所以3BD，故26BCBD， 1 sin603 3 2 ABC SABBC 6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A3 B2 3 C2 2 D5 6答案：A 解析： 该几何体的直观图如图所示， 则1,2,5,2 2,5,3BCACCDBDABAD . 所以最长的棱为 3 A B C D 7已知数列 n a满足 11 3 0,() 31 n n n a aanN a ，则 20 a（ ） A0 B3 C3 D 3 2 7答案：B 解析：
5、 解法 1： 12341 2 3 0,3,3,0 2 aaaaa ， 周期3T ， 所以 202 3aa 解法 2：设tan nn a，则 1 tan0a ， 11 tantan 3 3 tan 31 1tantan 3 n n nn n a a a tan 3 n ，所以 1 3 nn ，所以数列 n 是一个首项为 0，公差为 3 的等差数列， 1 3 n n ，所以 202020 1919 ,tantantantan3 3333 a 8已知0，函数( )sin 3 f xx 在, 3 2 内单调递减，则的取值范围是（ ） A 11 0, 3 B 5 11 , 2 3 C 1 0, 2 D
6、1 3 , 2 4 8答案：B 解析：当, 3 2 x 时，, 333 23 x ，根据题意可得 . 3 ,2,2, 33 2322 kkkZ ，所以 2 332 , 3 2 232 k kZ k ， 解得： 1251211 23 kk ，所以 1251211 0 23 kk ，所以 57 1212 k，又因为 kZ，所以0k ，所以 5 11 , 2 3 9设函数( )2sin(),f xxxR，其中0,若 511 2,0 88 ff ，且 ( )f x的最小正周期大于2，则（ ） A 17 , 224 B 211 , 312 C 111 , 324 D 2 , 312 9答案：D 解析：根
7、据题意11 53(21) , 8844 k T kZ ，所以 3 , 21 TkZ k ，又因为2T， 所以 22 0,3 , 3 kT T ，当 5 8 x 时， 5 2, 122 xkkZ 2 12 k ，又因为，所以 12 10 已知函数 3 1 ( ) x x f xex e ， 若实数a满足 20.5 loglog2 (1)fafaf， 则实数a的 取值范围是（ ） A 1 ,(2,) 2 B 1 ,2,) 2 C 1 ,2 2 D 1 ,2 2 10答案：C 解析：函数( )f x为偶函数，且在(0,)上单调递增， 0.52 loglogaa ，所以 2 2log2 (1)faf，
8、所以 2 log(1)faf，所以 2 1log1a ，所以 1 2 2 a 11 已知函数 32 ( )1f xxax的图像的对称中心的横坐标为 00 (0)xx ， 且( )f x有三个零点， 则实数a的取值范围是（ ） . A(,0) B 3 3 2 , 2 C(0,) D(, 1) 11答案：B 解析： 2 ( )32fxxax，( )fx的对称轴为 3 a x ，所以 0 0 3 a x ，所以0a，令 ( )0fx， 得 12 2 0,0 3 a xx ， 所以当0x时，( )f x取得极大值 1， 当 2 3 a x 时，( )f x 取得极小值 3 4 1 27 a ，要想使(
9、 )f x有三个零点，则必须 3 4 10 27 a ，解得 3 3 2 2 a 12 定义在1,)内的函数( )f x满足： 当24x 时，( )13f xx ； ( 2 )( )fxc f x （c为正常数） 若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（ ） A1 B2 C 1 2 或 3 D1 或 2 12答案：D 解析：在区间2,4上，当3x 时，( )f x取得极大值 1，极大值点为(3,1)A，当4,8x时， 2,4 2 x ，( ) 2 x f xcf ，所以在区间4,8上，当3 2 x ，即6x时，( )f x取得极大值c， 极大值点为(6, )Bc，当1,2x时，2
10、2,4x，所以 1 ( )(2 )f xfx c ，所以在区间1,2上， 当23x ，即 3 2 x 时，( )f x取得极大值 1 c ，所以极大值点为 3 1 , 2 C c ，根据题意，(3,1)A， (6, )Bc， 3 1 , 2 C c 三点共线，所以 1 1 1 3 3 2 c c ，解得1c或 2 第第卷（卷（非非选择题选择题 共共 90 分）分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如图，正方形ABCD中，,M N分别是,BC CD的中点，若ACAMBN，则 13答案： 8 5 解析：不妨设正方形边长为 2，以A为坐标原点建立如图所示平面直角坐标
11、系，则(2,2)AC ， (2,1),( 1,2)AMBN ，因为ACAMBN，所以(2,2 )(2,2) ， . 所以 22 22 ，解得 6 8 5 , 25 5 A B C D M N A B C D M N x y 14已知定义在实数集R上的函数( )f x满足(1)4f，且( )f x的导函数( )3fx，则不等式 (ln )3ln1fxx的解集为 14答案：(0, ) e 解析： 设lntx， 则() 31f tt， 即() 31f tt， 设()() 3g tf tt， 则( 1 )( 1 ) 3 1gf， 且( )( )30g tf t，所以函数( )g t是一个单调递减函数，
12、不等式( )31f tt等价于 ( )(1)g tg，所以1t ，即ln1x，解得(0, )xe 15已知数列 n a的前n项和为 n S， 12 6,4,0 n SSS，且 22122 , nnn SSS 成等比数列， 212221 , nnn SSS 成等差数列，则 2016 a等于 15答案：1009 解析： 由题意可得 2 21222 222121 2 nnn nnn SS S SSS ， 因为0 n S ， 所以 222222224 2 nnnnn SS SSS ， 所以 22224 2 nnn SSSnN ，故数列 2 n S为等差数列，又由 12 6,4SS， 2 124 SSS
13、，可得 4 9S ； 413 2SSS，可得 3 12S ，所以数列 2 n S是以 2 2S 为首 项，以 42 1SS为公差的等差数列，所以 2 1 n Sn，即 2 2 (1) n Sn， 故 21222 (1)(2) nnn SS Snn ，故 2 20162015 1009 ,1009 1010SS， 所以 201620162015 1009aSS . 16 已知函数( )yf x是定义域为R的偶函数， 当0x时， 5 sin,01, 42 ( ) 1 1,1. 4 x xx f x x ， 若关于x的方程 2 5 ( )(56) ( )60()f xaf xaaR有且仅有 6 个不
14、同的实数根，则实数a 的取值范围是 16答案：01a或 5 4 a 解析：由 2 5 ( )(56) ( )60f xaf xa可得5 ( )6 ( )0f xf xa，所以 6 ( ) 5 f x 或 ( )f xa，画出( )yf x的图像，当 6 ( ) 5 f x 时，因为 65 1 54 ，所以该方程有 4 个根；因 为关于x的方程 2 5 ( )(56) ( )60()f xaf xaaR有且仅有 6 个不同的实数根，所以 ( )f xa有两个根，由图可知，实数a的取值范围是：01a或 5 4 a 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 3211234 三、解答题（共 70 分
15、，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考试必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且3 cos(23 )cosaCbcA （1）求角A的大小； （2）求 2 5 cos2sin 22 C B 的取值范围 17解： （1）由3 cos(23 )cosaCbcA及正弦定理可得： 3sincos(2sin3sin)cos2sincos3sincosACBCABACA， 故2sincos3(sincossincos)3sin
16、()3sinBAACCAACB， 0B，sin0B， 3 cos 2 A，又因为0A，所以 6 A . （2） 2 5 cos2sinsincos1sincos() 1 22 C BBCBAB 33 sincoscossinsin1sincos13sin1 66226 BBBBBB 由 6 A ，可得 5 0, 6 B ，所以 2 , 663 B ，从而 1 sin,1 62 B ， 因此 32 3sin1, 31 62 B ， 故 2 5 cos2sin 22 C B 的取值范围是 32 , 31 2 18 （本小题满分 12 分）高三某班 12 月月考语文成绩服从正态分布 2 (100,1
17、7.5 )N，数学成绩的 频率分布直方图如图，如果成绩大于 135 分，则认为特别优秀 （1）这 500 名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？ （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有 6 人，从（1）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三 人中两科都特别优秀的有 X 人，求 X 的分布列和数学期望 参考数据： 若 2 ( ,)XN ， 则() 0 . 6 8 , (22 ) 0 . 9 6PXPX 18解：因为语文成绩服从正态分布 2 (100,17.5 )N，所以语文成绩特别优秀的概率为 1 1 (135)(1 0.96)0.02 2 pP X， 数学成绩特别优秀的概率为 2
18、3 0.0016 200.024 4 p 所以语文成绩特别优秀的同学有500 0.0210（人） ， 数学特别优秀的同学有500 0.02412（人）（5 分） （2）因为语文、数学两科都优秀的有 6 人，单科优秀的有 10 人，X的所有可能取值为0,1,2,3 . 321123 101061066 3333 16161616 327151 (0),(1), (2), (3), 14565628 CC CC CC P XP XP XP X CCCC 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 3 14 27 26 15 56 1 28 3271519 ()0123 145656288 E X （
19、12 分） 19（本小题满分 12 分） 如图， 在平行四边形 11 ABB A中， 111 60 ,4,2,ABBABAAC C 分别为 11 ,AB AB的中点， 现把平行四边形 11 AACC沿 1 CC折起， 如图所示， 连接 1111 ,BC B A B A ACB A1C1 B1 A C B A1 C1 B1 （1）求证： 11 ABCC； （2）若 1 6AB ，求二面角 11 CABA的余弦值 19 （1）证明：由已知可得，四边形 1111 ,ACC A BCC B均为边长为 2 的菱形，且 111 60ACCBCC，取 1 CC的中点O，连接 11 ,AO BO AC，则 1
20、 ACC是等边三角形， 所以 1 AOCC，同理可得 11 BOCC又因为 1 AOBOO，所以 1 CC 平面 1 AOB，又因 为 1 AB 平面 1 AOB，所以 11 ABCC（5 分） A C B A1 C1 B1 O . （2）由已知得 1 3,6OAOBAB，所以 222 1 OAOBAB，故 1 OAOB，分别以 11 ,OB OC OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，得 11 (0, 1,0),( 3,0,0), (0,0, 3),(0,2, 3)CBAA设平面 1 CAB的法向量 111 ( ,)mx y z， 1 ( 3,0,3),(0, 1,3)AB
21、AC ， 111 11 330 30 AB mxz AC myz ，令 1 1x ，得 11 1,3zy，所以 1 CAB的法向量(1,3,1)m 设平面 11 AAB的法向量 222 (,)nxy z， 11 ( 3,0,3),(0,2,0)ABAA， 由 122 12 330 20 AB nxz AA ny ，令 2 1x ，得 22 1,0zy， 所以平面 11 AAB的法向量(1,0,1)n ， 于是 210 cos, 552 m n m n mn 因为二面角 11 CABA的平面角为钝角，所以二面角 11 CABA的余弦值为 10 5 A C B A1 C1 B1 O x y z 2
22、0 （本小题满分 12 分）已知曲线 2 ( )lnf xaxbxx在点(1,(1)f处的切线方程是21yx （1）求实数, a b的值； （2）若 2 ( )(1)f xkxkx对任意(0,)x恒成立，求实数k的最大值 20解： （1）( )2lnfxabxxbx，由 (1)1 (1)2 fa fab ，可得1ab（4 分） . （2）由 22 ln(1)xxxkxkx对任意(0,)x恒成立，即 2ln 1 xx k x 恒成立，令 2ln ( )(0) 1 xx g xx x ，则 22 (ln1)(1)2lnln1 ( ) (1)(1) xxxxxx g x xx ， 显然ln1yxx单
23、调递增，且有唯一零点1x ， 所以( )g x在(0,1)内单调递减，在(1,)内单调递增，所以 min( ) (1)1gxg， 所以1k，故k的最大值为 1（12 分） 21 （本小题满分 12 分）已知函数 2 11 ( )ln 22 f xaxxax （a为常数，0a） （1）当1a 时，求函数( )f x的图像在1x 处的切线方程； （2）当( )yf x在 1 2 x 处取得极值时，若关于x的方程( )0f xb在0,2上恰有两个不相 等的实数根，求实数b的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a，总存在 0 1 ,1 2 x ，使不等式 2 0 ()(23)f xm aa成立，求实
24、数 m的取值范围 21解： （1）当1a 时， 2 11 ( )ln 22 f xxxx ，所以 13 ( )21,(1) 12 fxxf x ， 又(1)0f，即切点为(1,0)，所以切线方程为 3 (1) 2 yx，即3230xy（3 分） （2）( )2 1 a fxxa ax ，依题意， 1 10 1 2 1 2 a fa a ，即 2 20aa，因为 0a，所以2a，此时 2 (21) ( ) 12 xx fx x ，所以( )f x在 1 0, 2 上单调递减，在 1 ,2 2 上单 调递增，又 1135 (0)ln,(2)ln 2242 fff ，所以 31 ln 42 b（6
25、分） （3） 2 22 2(2) 2(2) ( )2 111 xaxa aaxax fxxa axaxax ， 因为12a，所以 2 21(2)(1) 0 222 aaa aa ，即 2 21 22 a a ，所以( )f x在 1 ,1 2 上单调 . 递增，所以 max 11 ( )(1)ln1 22 fxfaa 问题等价于对任意的(1,2)a，不等式 2 11 ln1(23) 22 aam aa 恒成立， 设 2 11 ( )ln1(23) (12) 22 h aaam aaa ， 则 2 12(41)2 ( )1 22 11 mamam h amam aa ， 又( 1 )0h， 所以
26、( )h a在1a 右侧 需先单调递增，所以(1)0 h ，即 1 8 m 当 1 8 m时，设 2 ( )2(41)2g amamam ，其对称轴为 1 11 4 a m ，又20m， 开口向上，且(1)810gm ，所以在(1,2)内，( )0g a ，即( )0h a，所以( )h a在(1,2) 内单调递增，( )(1)0h ah，即 2 11 ln1(23) (12) 22 aam aaa 于是，对任意的(1,2)a，总存在 0 1 ,1 2 x ，使不等式 2 0 ()(23)f xm aa成立 综上可知， 1 8 m（12 分） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23
27、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，直线l的参数方程为 3 1, 2 1 2 xt yt （t为参数） ，曲线C的极坐标方程为4cos （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）设直线l与曲线C相交于,P Q两点，求PQ的值 22解： （1）将4cos化为 2 4 cos，由 222 ,cosxyx，得 22 4xyx， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 (2)4xy . 由 3 1, 2 1 2 xt yt 消去t解得310xy ， 所
28、以直线l的普通方程为310xy （5 分） （2）把 3 1, 2 1 2 xt yt 代入 22 (2)4xy，整理得 2 3 350tt，设其两根为 12 ,t t，则 121 2 3 3,5tttt，所以 2 12121 2 ()47PQtttttt（10 分） 方法 2，圆C的圆心为(2,0)C，半径2r ，圆心C到直线l的距离 3 2 d ， 所以 22 27PQrd（10 分） 方法 3，将31xy代入 22 (2)4xy，化简得： 2 46 350yy，由韦达定理得： 1212 3 35 , 24 yyy y， 222 1212 27 ( 3)1()4257 4 PQyyy y
29、23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数( )223, ( )12f xxaxg xx （1）解不等式( )5g x ； （2）若对任意 1 xR，都有 2 xR，使得 12 ( )()f xg x成立，求实数a的取值范围 23解： （1）由125x ，得5125x ，所以13x ，即31 3x ，解得： 24x ，所以原不等式的解集为 | 24xx （2）因为对任意 1 xR，都有 2 xR，使得 12 ( )()f xg x成立，所以 |( ) |( )y yf xy yg x，又( )223(2) (23 )3f xx axx axa ，当 且仅当(2)(23)0xax时取等号，( )122g xx ，所以32a， 解得：1a或5a，所以实数a的取值范围是(, 5 1,)
