1、 . 数学（数学（理）试题理）试题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 来源来源: :学学 （2） 若新政策实施后的 2016年到 2035 年人口平均值超过49万， 则需调整政策， 否则继续实施, 问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明: 10 10 0.991 0.010.9）. 18. （本小题满分 12 分） 如图, 已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面, 平面ABCD 平面ABPEAB,且2,1,ABBPADAEAEAB,且AEBP. （1） 设点M为棱PD中点, 在面ABCD内是否存在点N,使得MN 平面ABCD？若存在, 请证明, 若 不存在, 说明理由
2、; （2）求二面角DPEA的余弦值. 来源: 19. （本小题满分 12 分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次1,2,.8，其中 5X 为 标准A， 3X 为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B生 产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数 1 X的概率分布列如下所示： 1 X 5 6 7 8 P 0.4 a来源: b 0.1 且 1 X的数学期望 1 6E X,求, a b的值; （2） 为分析乙厂产品的等级系数 2 X， 从该厂生产的产品中随机抽取30件， 相应的等级系
3、数组成一个样本， 数据如下: . 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 2 X的数学期望； （3）在（1） 、 （2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注： 产品的“性价比”； “性价比”大的产品更具可购买性. 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三 角形，直线3460xy与圆 2 22 xyba相切. （1）求椭圆C的方程; （2）已知椭圆C的左顶点A的两条直线 12 ,l l分别交椭圆C于,M N两点, 且 12 ll,求证: 直线MN过定
4、点, 并求出定点坐标； (3) 在(2) 的条件下求AMN面积的最大值. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 1 x f xa xea(常数0aRa且). （1）证明: 当0a时, 函数 f x有且只有一个极值点; （2）若函数 f x存在两个极值点 12 ,x x,证明: 12 22 44 00f xf x ee 且. 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图, ,A B C D 四点在同一个圆上，BC与AD的
5、延长线交于点E,点F在BA的延长线上. （1）若 11 , 32 ECED EBEA ,求 DC AB 的值; （2）若 2 EFFA FB,证明:EFCD. . 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为: 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数), 曲线C的极坐标方程为:4cos. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程; （2）设直线l与曲线C相交于,P Q两点, 求PQ的值. 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 223,12f xxa
6、xg xx . （1）解不等式 5g x ; （2）若对任意 1 xR,都有 2 xR,使得 12 f xg x成立, 求实数a的取值范围. 河北省衡水中学河北省衡水中学 20172017 届高三摸底联考（全国卷）数学（理）届高三摸底联考（全国卷）数学（理） . 试题参考答案试题参考答案 一、一、 选择题：选择题：每小题 5 分，共 60 分，每小题所给选项只有一项符合题意. ADCBA DCDCB DB 二、二、 填空题：填空题：每题每题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 2 14. 1 4 15. 150 16. 1e2 1 k 三、解三、解答题答题 17.本题满分本题满
7、分 12 分分 解：解： （1）当10n时，数列 n a是首项为45.5，公差为0.5的等差数列， 因此，新政策实施后第n年的人口总数 n a（单位：万）的表达式为 10 45.50.51 ,110 50 0.99,11 n n nn a n （2）设 n S n S为数列 n a的前n项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和 公式得： 10 2010111220 .477.549501 0.99972.5SSaaa 万 新政策实施到2035年年人口均值为 20 48.6349 20 S 故到2035年不需要调整政策 18本题满分本题满分 12 分分 解： （1）
8、连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN平面ABCD 证明：M为PD中点，N为BD中点 MN为PDB的中位线，PBMN / 又平面ABCD平面ABPE 平面ABCD平面ABPE=AB,BC平面ABCD,ABBC BC 平面ABPE PBBC ， 又ABPB ，BBCAB PB平面ABCD . 所以MN平面ABCD （2）以 A 为原点，AE，AB，AD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系， AD平面 PEA 平面 PEA 的法向量) 1 , 0 , 0( 1 ADn 另外) 1 , 0 , 0(D，)0 , 0 , 1 (E，)0 , 2 , 2(P ) 1, 0 , 1 (DE，) 1
9、, 2 , 2(DP,设平面 DPE 的法向量),( 2 zyxn ，则 022 0 zyx zx ，令1x，得) 1 , 2 1 , 1 ( 2 n 3 2 ,cos 21 nn 又APED为锐二面角,所以二面角APED的余弦值为 3 2 19本题满分 12 分 解： （1） 1 6,5 0.4678 0.16EXab ，即6 73.2ab 又由 1 X 的概率分布列得0.40.11,0.5abab 由 得 0.3 0.2 a b （2）由已知得，样本的频率分布表如下： 2 X 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频
10、率视为概率，可得等级系数 X2的概率分布列如下： 2 X 3 4 5 6 7 8 p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以， 2 3 0.34 0.25 0.26 0.1 7 0.1 8 0.14.8EX 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性， 理由如下： . 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为 6 1 6 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为 4.8 1.2 4 据此，乙厂的产品更具可购买性。 20本题满分 12 分 解： （1）由题意 2 2 46 1 5 a
11、b a b ba 即 2 2 :1 4 x Cy （2）( 2,0)A 设 1: 2lxmy， 2 1 :2lxy m 由 22 2 440 xmy xy 得 22 (4)40mymy 2 22 284 (,) 44 mm M mm 同理 2 22 284 (,) 4141 mm N mm i) 1m 时， 2 5 4(1) MN m k m 2 56 :() 4(1)5 MN m lyx m 过定点 6 (,0) 5 ii) 1m时 6 : 5 MN lx 过点 6 (,0) 5 MN l过定点 6 (,0) 5 （3）由（2）知 3 2242 244 8 54414174 AMN mmmm
12、 S mmmm 2 1 8 8 119 4()94 1 m m mm mm m m 令 1 21tmm m 且时取等号 16 1 25 Sm 且时去等号， max 16 25 S 21本题满分 12 分 解：依题意， x fxa xea 令 x h xa xea，则 1 x h xa xe. （1）当0x时， 0h xfx，所以 0fx 无解，则函数 f x 不存在大于零的极值点； 当0x时，由 10 x h xa xe，故 h x在 0,) 上单调递增. 又 2 00ha， ， . 0 a h aa aea 所以 h xfx在0,) 上有且只有一个零点. 3 分 又注意到在 fx的零点左侧，
13、 0fx ，在 fx的零点右侧， 0fx ， 所以函数 f x在0,)有且只有一个极值点. 综上所述，当0a 时，函数 f x在(,) 内有且只有一个极值点. 4 分 （2）因为函数)(xf存在两个极值点 12 ,x x（不妨设 12 xx） ， 所以 12 ,x x,是 h xfx的两个零点，且由（1）知，必有0a. 令 10 x h xa xe得1x ； 令 1 x h xa xe0 得1x； 令 10 x h xa xe得1x. 所以 h xfx在(, 1 单调递增，在 1,) 单调递减， 6 分 又因为 2 00ha， 所以必有 12 10xx . 令 0 t fta tea，解得 t
14、 ate， 8 分 此时 11 tttt f ta teate tete 232 2 t ettt . 因为 12 ,x x是 h xfx的两个零点， 所以 1 232 1111 2 x f xexxx ， 2 232 2222 2 x f xexxx . 将代数式 232 2 t ettt 视为以t为自变量的函数 232 2 t g tettt 则 gt 22 121 t ett . 当1t 时，因为 2 10,210tt ，所以 0g t ， 则 g t在(, 1) 单调递增. 因为 1 1x ，所以 1 f x 1 2 4 1g xg e ， . 又因为 11 2 2232 111111
15、 210 xx f xexxxex x，所以 1 2 4 0fx e . 当10t 时，因为 2 10,210tt ，所以 0g t ， 则 g t在( 1,0)单调递减， 因为 2 10x ，所以 22 2 4 001gg xf xg e . 综上知， 1 2 4 0fx e 且 2 2 4 0f x e 12 分 22.本题满分 10 分 （1）解：因为, ,A B C D 四点共圆；EDCBEF,又 , ECEDDC DECBEAECDEAB EAEBAB ,又 116 , 326 ECEDCD EBEAAB . （2） 2 , EFFB EFFA FB FAEF ,又,EFABFEFA
16、EFEBFEAFBE , 又因为, ,A B C D 四点共圆；EDCEBFFEAEDCEFCD . 2323本题满分本题满分 1010 分分 解：(1) . 2 4cos ,4cos, 由 222, cosxyx,得 22 4xyx, 所以曲线C的直角坐标方程为 2 2 24xy,由 3 1 2 1 2 xt yt ,消去t解得：- 3 +10xy.所以直线 l 的 普通方程为- 3 +10xy. (2)把 3 1 2 1 2 xt yt 代入 22 4xyx, 整理得 2 3 350tt , 设其两根分别为 12 ,t t，则 2 121 212121 2 3 3,5,47ttttPQtttttt . . 24、本题满分本题满分 10 分分 解析：解析： （1）由125x得5125x ，13x ，解得24x 所以原不等式的解集为| 24xx . （2）因为对任意 1 xR，都有 2 xR，使得 12 f xg x 成立 所以 |y yf xy yg x， 有 ( )2232233f xxaxxaxa， 当 且 仅 当2230xax时 , 取 等 号 , 1 22g xx , 所 以23 a从 而 1a或5a. 所 以 实 数 a的 取 值 范 围 , 51, .
