1、 . 河北衡水中学河北衡水中学 20162016- -20172017 学年度学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科）高三下学期数学第三次摸底考试（理科） 必考部分必考部分 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合 1 3 lg 21 |,|1 32 x Mx f xNx x x ，则集合MN等于（ ） A 2 , 3 B1, C 1 2 , 2 3 D 2 ,1 3 2. zC，若
2、1 2zzi ，则 1 z i 等于（ ） A 71 44 i B 71 44 i C 11 44 i D 11 44 i 3.数列 n a为正项等比数列，若 3 3a ，且 11 23,2 nnn aaanN n ，则此数列的前 5 项和 5 S等 于 （ ） A121 3 B41 C119 3 D 241 9 4. 已知 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、 右焦点， 以线段 12 FF为边作正三角形 12 FMF， 如果线段 1 MF的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e等于（ ） A2 3 B2 2 C. 6 D2 5.在ABC中， “s
3、insincoscosABBA ”是“AB”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件 6.已知二次函数 2 f xxbxc的两个零点分别在区间2, 1和1,0内，则 3f的取值范围是 （ ） A12,20 B12,18 C. 18,20 D8,18 7.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，若该简单几何体的体积是 2 3 3 ， 则其底面周长为（ ） . A 231 B 251 C. 222 D53 8.20 世纪 30 年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x是偶数，就将它减半； 如果x是奇数，
4、则将它乘3加1， 不断重复这样的运算， 经过有限步后， 一定可以得到1， 这就是著名的 “31x” 猜想.如图是验证“31x”猜想的一个程序框图，若输出n的值为 8，则输入正整数m的所有可能值的个 数为（ ） A3 B 4 C. 6 D无法确定 9. 6 322 43 axx xx 的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 3 x 项的系数为（ ） A 117 2 B 63 2 C. 57 D33 10. 数列 n a为非常数列，满足： 395 11 , 48 aaa，且 1 22 3111n nn aaa aa anaa 对任何的正整 数n都成立，则 1250 111 aaa 的值为（ ）
5、 A1475 B1425 C. 1325 D1275 11.已知向量, 满足 1,2,，若 17 2 ，的最大值和最小值 分别为,m n，则mn等于（ ） . A 3 2 B2 C. 5 2 D 15 2 12.已知偶函数 f x满足44fxfx，且当0,4x时， ln 2x f x x ，关于x的不等式 2 0fxaf x在200,200上有且只有 200 个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A 1 ln6,ln2 3 B 1 ln2,ln6 3 C. 1 ln2,ln6 3 D 1 ln6,ln2 3 二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 4 4 小题，小题，每每小小题题 5 5 分
6、，分，共共 2020 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上 13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场 商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示： 价格x 8.5 9 9.5 10 10.5 销售量y 12 11 9 7 6 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是3.2yxa ，则 a 14.将函数 3sin2cos2f xxx的图象向右平移m个单位（0m） ，若所得图象对应的函数为偶函 数，则m的最小值是 15.已知两平行平面、间的距离为2 3，点AB、，点CD、，且4,3ABCD
7、，若异面直 线AB与CD所成角为 60，则四面体ABCD的体积为 16.已知AB、是过抛物线 2 20ypx p焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足 2 3, 3 OAB ABFB SAB ，则AB的值为 三、解答题三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17. 如图，已知ABC关于AC边的对称图形为ADC，延长BC边交AD于点E，且5,2AEDE， 1 tan 2 BAC. . （1）求BC边的长； （2）求cosACB的值. 18.如图，已知圆锥 1 OO和圆柱 12 OO的组合体（它们的底面重合） ，圆锥的底面圆 1
8、O半径为5r ，OA为 圆锥的母线，AB为圆柱 12 OO的母线，DE、为下底面圆 2 O上的两点， 且6,6.4DEAB，5 2AO， AOAD. （1）求证：平面ABD 平面ODE； （2）求二面角BAD O的正弦值 19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第 3 个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上 一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台阶， 当有任何一方登上第 3 个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X （1）求
9、游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率； （2）求X的分布列和数学期望 20.如图，已知 6 ,1 2 P 为椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 上的点，且 22 5ab，过点P的动直线与圆 . 222 :1F xya相交于AB、两点，过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q （1）求椭圆E的离心率； （2）若2 3AB ，求PQ 21. 已知函数 1 1 , 2 xxx axbe f xaRg xbR eexe ，其中e为自然对数的底数 （参考数据： 11 2 42 7.391.28,1.65eee， ） （1）讨论函数 f x的单调性； （2）若1a 时，函数 2yfxg x有三个
10、零点，分别记为 123123 xxxxxx、 、，证明： 12 243xx 选考部分选考部分 请考生在请考生在 2222、2323 两两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中直线 1 l的倾斜角为，且经过点1, 1P，以坐标系xOy的原点为极点，x轴的 非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox，曲线E的极坐标方程为4cos，直线 1 l与曲线E相交于AB、两 点，过点P的直线 2 l与曲线E相交于CD、两点，且 12 ll （1）平面直角坐标系中，求直线 1 l的一般方程和曲
11、线E的标准方程； （2）求证： 22 ABCD为定值 23.选修 4-5：不等式选讲 已知实数ab、满足 22 3abab （1）求ab的取值范围； （2）若0ab，求证： 22 1134 4abab . 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 . 1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC 二、填空题二、填空题 13. 39.4 14. 6 15. 6 16. 9 2 三、解答题三、解答题 17.解： （1）因为 1 tan 2 BAC，所以 2 2tan4 tan 1tan3 BAC BAE BAC ，所以 3 cos 5 BAE 因为5 27ABADAEDE ， 所以
12、222 2cos49254232BEABAEAB AEBAE， 所以4 2BE ，又 7 5 BCAB CEAE ，所以 7 2 3 BC （2）由（1）知4 2BE ， 所以 222 4932252 cos 222 7 4 2 ABBEAE B AB BE ， 所以 2 sin 2 B ，因为 1 tan 2 BAC， 所以 52 5 sin,cos 55 BACBAC， 所以coscosACBBACB 2522 510 sinsincoscos 252510 BBACBBAC 18.解： （1）依题易知，圆锥的高为 2 2 5 255h ，又圆柱的高为6.4,ABAOAD， 所以 222
13、ODOAAD， 因为ABBD，所以 222 ADABBD， 连接 1122 OOOODO、，易知 12 OOO、 、三点共线， 22 OODO， 所以 222 22 ODOOO D， 所以 2 2 2222222 22 6.4555 26.464BDOOO DAOAB， 解得8BD，又因为6DE ，圆 2 O的直径为 10，圆心 2 O在BDE内， . 所以易知 0 90BDE，所以DEBD 因为AB 平面BDE，所以DEAB，因为ABBDB，所以DE 平面ABD 又因为DE 平面ODE，所以平面ABD 平面ODE （2）如图，以D为原点，DB、DE所在的直线为xy、轴，建立空间直角坐标系 则
14、0,0,0 ,8,0,6.4 ,8,0,0 ,4,3,11.4DABO 所以8,0,6.4 ,8,0,0 ,4,3,11.4DADBDO， 设平面DAO的法向理为, ,ux y z， 所以86.40,4311.40DA uxzDO uxyz，令12x ，则12,41, 15u 可取平面BDA的一个法向量为0,1,0v ， 所以 4182 cos, 105 82 u v u v u v ， 所以二面角BAD O的正弦值为 3 2 10 19.解： （1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有3 39 个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上， 他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第 * i iN次划
15、拳小华赢”为 i A；事件“第i 次划拳小华平” 为 i B；事件“第i 次划拳小华输”为 i C，所以 31 93 iii P AP BP C 因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况： 第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为 2 12122124 7 81 pA P B P CP BP CP AP B， 第二种：小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为 . 32 212331234212345 29 243 pP B P BP CA P A P BP CP CA P A P CP A
16、P CP C 所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为 12 72950 81243243 ppp （2）依题可知X的可能取值为 2、3、4、5， 4 1234 12 522 381 P XP A P CP AP C ， 2 12 12 222 39 P XP A P A ， 123123123 322P XP A P BP AP B P A P AP B P BP B 123123123 123 222 13 2 27 P A P BP BP BP AP BP BP BP A P CP AP A 22 41523 81 P XP XP XP X ， 所以X的分布列为： X 2 3 4 5
17、P 2 9 13 27 22 81 2 81 所以X的数学期望为： 213222251 2345 927818181 E X 20.解： （1）依题知 22 22 61 1,5,0 4 abab ab ， 解得 22 3,2ab，所以椭圆E的离心率 22 2 323 33 ab e a ； （2）依题知圆F的圆心为原点，半径为2,2 3rAB， 所以原点到直线AB的距离为 2 2 22 2 3 21 22 AB dr ， 因为点P坐标为 6 ,1 2 ，所以直线AB的斜率存在，设为k 所以直线AB的方程为 6 1 2 yk x ，即 6 10 2 kxyk ， . 所以 2 6 1 2 1 1
18、 k d k ，解得0k 或2 6k 当0k 时，此时直线PQ的方程为 6 2 x ， 所以PQ的值为点P纵坐标的两倍，即2 12PQ ； 当2 6k 时，直线PQ的方程为 16 1 22 6 yx ， 将它代入椭圆E的方程 2 1 32 xy ，消去y并整理，得 2 3410 6210xx， 设Q点坐标为 11 ,x y，所以 1 610 6 234 x，解得 1 7 6 34 x ， 所以 2 1 1630 1 2172 6 PQx 21.解： （1）因为 1xx axx f xae ee 的定义域为实数R， 所以 1 x x fxae e 当0a时， 0f x 是常数函数，没有单调性 当
19、0a时，由 0fx，得1x；由 0fx，得1x 所以函数 f x在,1上单调递减，在1,上单调递增 当0a时，由 0fx得，1x ； 由 0fx，得1x， 所以函数 f x在1,上单调递减，在,1上单调递增 （2）因为 1,20afxg x， 所以 1 21 2 0 2 xxx xbe eexe ，即 1 11 1 221 0 22 x xxxx x xex bb xeexee e . 令 1 2 x x te e ，则有 1 0teb t ，即 2 10tbe t 设方程 2 10tbe t 的根为 12 tt、，则 12 1t t ， 所以 123 xxx、 、是方程 12 11 22 *
20、 ,* xx xx tete ee 的根 由（1）知 1 2 x x te e 在,1单调递增，在1,上单调递减 且当x时，t ，当x 时， max ,12te tte， 如图，依据题意，不妨取 2 2ete ，所以 1 2 111 2 t ete ， 因为 3151 2 2244 1111 10,11 2422 teeeeteeeee ， 易知 2 01x，要证 12 243xx ，即证 1 11 24 x 所以 1 111 0 24 tt xt e ，又函数 yt x在,1上单调递增， 所以 1 11 24 x ，所以 12 243xx 22.解： （1）因为直线 1 l的倾斜角为，且经过
21、点1, 1P， 当 0 90时，直线 1 l垂直于x轴，所以其一般方程为10x ， 当 0 90时，直线 1 l的斜率为tan，所以其方程为1tan1yx ， 即一般方程为tantan10xy 因为E的极坐标方程为4cos，所以 2 4 cos， 因为cos ,sinxy，所以 22 4xyx 所以曲线E的标准方程为 2 2 24xy . （2）设直线 1 l的参数方程为 1cos 1sin xt yt （t为参数） ， 代入曲线E的标准方程为 2 2 24xy， 可得 22 1cos21sin4tt ，即 2 2 cossin20tt， 则 121 2 2 cossin,2tttt， 所以
22、222 2 12121 2 44 cossin8124sinABttttt t， 同理 2 124sin2124sin2 2 CD ， 所以 22 124sin2124sin224ABCD为定值 23.解： （1）因为 22 3abab，所以 22 32ababab 当0ab时，32abab，解得3ab，即03ab； 当0ab时，32abab，解得 1ab，即10ab ， 所以13ab ，则034ab ， 而 2 22 2323abababababab， 所以 2 04ab，即22ab ； （2）由（1）知03ab， 因为 22 22224 1134443 44 ab ababa bab 2 222222 34333311111 330 4442 ab a baba baba babab 当且仅当2ab时取等号， 所以 22 1134 4abab . .
