1、 20172017- -20182018 学年度第二学期高三年级十六模考试学年度第二学期高三年级十六模考试 理数试卷理数试卷 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知 是虚数单位，则复数集合的实部和虚部分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：复数分子、分母同乘以 ，可化为，根据实部和虚部的定义可得结果. 详解：因为复数 ， 所以
2、，复数的实部是 ，虚部是，故选 A. 点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题. 2. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：因为，所以，.选 . 考点：集合的运算 3. 已知随机变量 服从正态分布，且，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于对称，且，结合题意得到 的值. 详解： 随机变量 服从正态分布， 曲线关于对称，且， 由，可知，故选 B. 点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点， （1）正态曲线对称； （2）在正态曲线下方和 轴 上方范围内的区域面积为 . 4. 下列有
3、关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”的否命题为“若 ，则” B. 命题“若，则互为相反数”的逆命题是真命题 C. 命题“，使得”的否定是“ ，都有” D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 【答案】B 【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可. 详解：“若，则”的否命题为“若，则”， 错误； 逆命题是 “若则 ， 互为相反数，”， 正确； “，使得”的否定是“，都有”， 错误； “若 ，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， 错误，故选 B. 点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与 结论之间的关系； (2)要注意
4、四种命题关系的相对性， 一旦一个命题定为原命题， 也就相应地确定了它的“逆 命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直 接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除. 5. 已知 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，选 A. 6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为 ，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几 何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是 个圆锥） ，故体积为 ，故选 D. 7. 已知函数，现将的图
5、形向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为 原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得 到函数的图象， ， ，即 在上的值域为，故选 A. 8. 我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创 举与我国古老的算术“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入 ，时，输出的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图
6、规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 得到输出的 的值. 详解：输入， 第一次循环， ； 第二次循环，； 第三次循环，； 第四次循环，；退出循环，输出，故选 A. 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结 构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6） 在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即 可. 9. 已知实数
7、满足约束条件，若不等式 恒成立，则实数 的最大值 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函 数在点处取得最大值， 在点 或点 处取得最小值，即. 题中的不等式即：， 则：恒成立， 原问题转化为求解函数的最小值， 整理函数的解析式有： ， 令，则， 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，据此可得，当时，函数取得最大值， 则此时函数取得最小值，最小值为：. 综上可得，实数 的最大值为 . 本题选择 A选项. 10. 已知函数，若对任意的 ，总有恒成立，记的 最小值为，则最大值为（ ） A. B
8、. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令， 得，当时，；当时，；所以当时， ，从而，因为，所以当 时，；当时，；因此当时， ，选 C. 点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解 得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值 同端点值的大小 11. 设双曲线的左、右焦点分别为 ，过的直线与双曲线的右知交于两点，若 ，且是的一个四等分点，则双曲线 的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点； 若,则,但此时， 再由双曲线的定义， 得， 得到，这与矛盾；
9、若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足 , 所以 是直角三角形，且 , 所以由勾股定理，得，得, 故选 B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力， 分类讨论思想，属于中档题，首先对是的一个四等分点进行分类讨论，经过讨论，只有成 立， 经过分析， 发现证明了 是直角三角形， 且， 因此可利用勾股定理得到之间的关系， 进而得到 的值，综合分析发现得到 是直角三角形是解决问题的关键. 12. 已知偶函数满足，且当时， ，关于 的不等式在区间 上有且只有个整数解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由偶
10、函数满足，可得函数周期为 ，利用导数研究函数的单调性，画出函 数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有 个解， 由可得结果. 详解： 由，可知函数的对称轴为， 由于函数是偶函数，, 所以函数是周期为 的周期函数， 当时， 函数在上递增，在上递减， 最大值，且， 由选项可知 ，解得或， 根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解， 根据函数为偶函数，在上有个周期，且有个整数解， 也即每个周期内有 个解， 故，解得，故选 D. 点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之 间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一
11、种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达 形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常 见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数 性质 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 已知平面向量 ， ， 且， 若 为平面单位向量， 则的最大值为_ 【答案】 【解析】 分析： 由，且求出向量平面向量的夹角， 设出， 然后利用向量的坐标运算求解. 详解：由，且， 得， 设出
12、， ，的最大值为，故答案为. 点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方 面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解） ； （2）求投影， 在 上的投影是 ； （3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 14. 二项式展开式中的常数项是_ 【答案】 【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即 二项式展开式中的常数项是. 15. 已知点 是抛物线上一点， 为坐标原点，若是以点为圆心， 的长为半径 的圆与抛物线 的两个公共点，且为等边三角形，则 的值是_ 【答案】 【解析】由题意，可知，所以，所以。 16. 已知直三棱柱中， ,若棱在正视图的投影面 内， 且
13、与投影面 所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为 ，当 变化时，的最大 值是_ 【答案】 【解析】分析：利用与投影面 所成角 ，建立正视图的 面积为和侧视图的面积为 的关系，利用，求解最大值. 详解： 与投影面 所成角 时，平面如图所示， ， ， ， 故正视图的面积为， 因为，所以， 侧视图的面积为， ， ， ， ， ， 故得的最大值为，故答案为. 点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、 图象法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值常见类型有：化成的形式利用配 方法求最值；形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值； 型，可化为求
14、最值 . 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知等差数列的前项和为， 数列是等比数列， ，,. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前 项和为，求. 【答案】 （1），（2） 【解析】分析： （1）根据等差数列的前项和为，数列是等比数列， ,列出关于公比 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列和 的通项公式； （2） ）由（1）知， ，利用分组求和与裂项相消法求和，结合等比数列范求和公式可得结果. 详解： （1）设等差数
15、列的公差为 ，等比数列的公比为 ， ，, ， ， ，. （2）由（1）知， 点睛：本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属 于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方 法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)； （2） ； （3） ； （4） ；此外，需注意裂项之后相消 的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，点分别 为的中点，设直线与平面交于点 . （1）已知平面平面，求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （1）
16、见解析（2） 【解析】试题分析： （1）由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得平面,在 根据线面平行的性质定理可得； （2）由勾股定理可得 ， 平面，由此可以点 为 原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出 直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式. 试题解析：（1）,平面,平面. 平面, 平面,平面平面 . （2）底面是菱形， 为的中点 平面，则以点 为原点， 直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系 则 ， 设平面的法向量为，有得 设，则， 则解之得， 设直线与平面所成角为 则 直线与平面所成角的正弦值为 . 【方法点晴】本
17、题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立 体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相 应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4） 将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象 却在近 年出现了戏剧性的逆转， 统计显示， 2011 年之前， 方便面销量在中国连续年保持两位数增长， 2013 年的年销量更是创下亿包的
18、辉煌战绩；但 2013 年以来，方便面销量却连续 年下跌，只剩亿包，具 体如下表.相交于方便面， 网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来， 网络订餐市场规模的“井喷式” 增长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全国方便面销售情况（单位：亿包/桶） （数据来源：世界方便面协会） 年份 2013 2014 2015 2016 时间代号 年销量 （亿包/桶） （1）根据上表，求 关于 的线性回归方程，用所求回归方程预测 2017 年方便面在中国的年 销量； （2）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生看怎样的转变？某媒体记者随机对身 边的为朋友做了一次调查， 其中 位受访者表示
19、超过 年未吃过方便面，为受访者认为方便面是健康食品； 位受访者有过网络订餐的经历.现从这人中抽取 人进行深度访谈，记 表示随机抽取的 人，认为方便面 是健康食品的人数，求随机变量 的分布列及数学期望. 参考公式：回归方程：，其中，. 参考数据： 【答案】 （1）356（2）见解析 【解析】分析： （1）根据平均数公式可求出 与 的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式 中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得 关于 的回归方程；(2) 的可能值为 ， ， ， ，结合组合知识，根据古典概型概率公式求出随机变量的概率， 从而可得分布列，利用期望公式可得结果. 详解：（1）， ，
20、所以 当时， （2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有 人， 的可能值为 ， ， ， ， 所以；， . 点睛：求回归直线方程的步骤：确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回 归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归 方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 20. 如图， 设抛物线的准线 与 轴交于椭圆 的右焦点为的左焦 点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于 轴上方一点 ，连接并延长其交于点为上一 动点，且在之间移动. （1）当取最小值时，求和的方程； （2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线 的方
21、程. 【答案】 （1） （2）的面积最大值为， 【解析】试题分析： （1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程； （2） 因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得 ，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程， 联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值. 试题解析： （1）因为，则，所以取最小值时， 此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为； （2）因为，则，设椭圆的标准方程为， 由得，所以或（舍去） ，代入抛物线方程 得，即， 于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以 此时抛物线方程为，则直线的方程为联立 ，得或（舍去） ，于是所以， 设到直线的距离为 ，
22、则， 当时， 所以的面积最大值为此时 21. 已知函数（ 为常数， 是自然对数的底数） ，曲线在点处的切 线与 轴垂直. （1）求的单调区间； （2）设，对任意，证明：. 【答案】 （1）单调递增区间是，单调递减区间是（2）见解析 【解析】试题分析： （1）求出，根据曲线在点处的切线与 轴垂直即切线斜率为 ，求出 的 值， 解即得函数的单调递增区间和递减区间；（2） 由于， 所以整理 得，分别证明时，和，根据（1）可知：当时，由（1）知 成立；当时，即证，构造函数 ， 利用导数研究其在单调性， 求出其在上的最大值即可证得， 再构造函数，利用导数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论
23、. 试题解析： （1）因为，由已知得， 所以， 设，则，在上恒成立，即在上是减函数， 由知，当时，从而，当时，从而 综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是 （2）因为，要证原式成立即证成立， 现证明：对任意恒成立， 当时，由（1）知成立； 当时，且由（1）知， 设，则， 当时，当时，所以当时，取得最大值所以 ，即时， 综上所述，对任意 令，则恒成立，所以在上递增， 恒成立，即，即 当时，有；当时，由式， 综上所述，时，成立，故原不等式成立 考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明. 方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区
24、间上的最值来证 明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解 答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研 究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（ 为参数） ，以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求
25、的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点的直线 与交于两点，与交于两点.求的最值范围. 【答案】 （1）， .（2） 【解析】试题分析： （1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以 利用 即可得的直角坐标方程； （2） 设直线 的参数方程为 （ 为参数） ， 代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果. 试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （2）设直线 的参数方程为（ 为参数） 又直线 与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线 与曲线：可得则 联立直线 与曲线：可得，则 即 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知，. （1）解不等式； （2）若方程有三个解，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析：（1）不等式即为.利用分类讨论的方法去掉绝对 值符号，可求其解集； （2），即 作出函数的图像，由图像可求方程有三个解时实数 的取值范围. 试题解析：（1）不等式即为. 当时，即化为，得， 此时不等式的解集为. 当时，即化为，解得， 此时不等式的解集为. 综上，不等式的解集为. （2），即. 作出函数的图像如图所示， 当直线与函数的图像有三个公共点时，方程有三个解，所以. 所以实数 的取值范围是.
