1、 河北衡水中学河北衡水中学 20182018 届高三数学理科三轮复习系列七届高三数学理科三轮复习系列七- -出神入化出神入化 7 7 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：利用对数函数的性质化简集合 ，利用补集和交集定义的求解即可. 详解：因为 ， ， 又因为集合 ，故选 D. 点睛：本题主要考查描述法表示集合的概念，交
2、集和补集的运算，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住 元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质 求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合. 2. 若复数 满足，其中 为虚数单位，则共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，故选 B. 3. 拋物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】抛物线可化为，焦点在 轴上，抛物线的准线方程是，故 选 D. 4. 已知某厂的产品合格率为 0.8，现抽出 10 件产品检查，则下列说法正确的是（ ） A. 合格产品少于 8 件 B. 合格产品多于 8 件 C
3、. 合格产品正好是 8 件 D. 合格产品可能是 8 件 【答案】D 【解析】由已知中某厂的产品合格率为，则抽出件产品检査合格产品约为件，根据概率的意 义，可得合格产品可能是 件，故选 D. 5. 在中，点 在边 上，且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ， 故选 B. 6. 当时，执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ） A. 9 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】C 【解析】由程序框图可知，退出循环，输出 的值为， 故选 C. . 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图， 且该几何体的体积为
4、 ，则该几何体的俯视图可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由正视图与侧视图可知，该几何体可以为如图所示的正方体截去一部分后的四棱锥，如图所示，由 图知该几何体的俯视图为 ，故选 D. 8. 已知定义在上的函数满足，当 时，设在上的最 大值为，则（ ） A. 7 B. C. D. 14 【答案】A 【解析】分析：，就是函数向右平移 个单位，最大值变为原来的 倍，当时， ，可得，利用等比数列的通项公式可得 ，从而可得结果. 详解：， 就是函数向右平移 个单位，最大值变为原来的 倍， 当时， ， ， ，故选 A. 点睛：本题主要考查二次函数的单调性，等比数列的通项公式，意在考
5、查转化与划归思想与计算能力，以 及综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 9. 已知函数( 为自然对数的底)，则 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：求出导函数，利用导函数判断函数的单调性，根据数形结合，利用零点存在定理判断极值 点位置，结合，利用排除法可得结果. 详解： 函数的极值点就是的根， 相当于函数和函数交点的横坐标，画出函数图象如图， 由图知函数和函数有两个交点， 因为,. 所以，可排除选项； 由，可排除选项 ，故选 C. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题 方向，该题型的特点是综合性
6、较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方 面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的 变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 10. 双曲线的左、 右焦点分别为 ， 过作倾斜角为的直线与 轴和双曲线的右支分 别交于两点，若点 平分线段，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】双曲线 的左焦点 为,直线 的方程为，令，则， 即，因为 平分线段，根据中点坐标公式可得 ，代入双曲线方程，可得，由 于，则，化简可得，解得，由，解得，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心
7、率，属于中档题.求解与双曲线性质有关 的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚 轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先 将 用有关的一些量表示出来， 再利用其中的一些关系构造出关于 的等式， 从而求出 的值.本题是利用点到 直线的距离等于圆半径构造出关于 的等式，最后解出 的值. 11. 已知是函数 在上的所有零点之和，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】分析：函数的零点，转化为两个函数的图形的交点的横坐标，利用函数的对称性求解即可. 详解： ,
8、 由，可得， 函数在上的所有零点之和， 等价于与图象交点横坐标之和， 函数的图象关于直线对称， 函数的图象也关于直线对称， 如图，两个函数共有 个交点，两组都关于对称， 函数， 在上的所有零点之和，故选 B. 点睛：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档 题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点， 考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的 单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点 函数在 轴有交点方程有根函数与有交点. 12. 定义：如杲函数在区间上存在，满足 ，则 称函数是在区间上的一个双
9、中值函数， 己知函数是区间 上的双中值函数， 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 函数是区间上的双中值函数， 区间上存在 ， 满足 解得 实数 的取值范围是. 故答案为 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 函数的图象在点 处的切线与直线平行，则的极值点是_ 【答案】 【解析】分析：求出函数的导数，根据，求出 的值，从而求出的解析式，求出函数的导 数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可. 详解：， 故，解得， 故， 令，解得， 因为时，时 所以是函数的极值点，
10、故答案为 . 点睛：本题考查函数的单调性，极值问题，考查导数的几何意义，是一道基础题. 应用导数的几何意义求切 点处切线的斜率， 主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率 ,即求该点处的导数； (2) 己知斜率 求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点 利用求解. 14. 如图，在正方体中，过直线的平面平面 ，则平面 截该正方体所 得截面的面积为_ 【答案】 【解析】试题分析：设，中点为 ，连接，由中位线定理得，根据正方体的性 质可知，可得平面，进而平面，因为平面，所以平 面 平面，故答案为 考点：1、正方体的性质及三角形中位线定理；2、线面垂直的判定定理
11、及面面垂直的判定定理 【方法点睛】本题主要考查正方体的性质及三角形中位线定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定 理，属于难题解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面 面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题 的关键是由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直 15. 已知定义在 上的偶函数满足，且当时，若方程 恰有两个根，则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】分析：方程恰有两个根，等价于的图象与的图象有两个交点，画出 函数图象，结合图象可得结果. 详解： 时， 是偶函数且周期是 ，可得整个函数的图象，
12、令，本题转化为两个函数交点的问题， 结合图象，当直线过点时，； 当直线与相切时，； 所以，若交点在纵轴右边，符合题意的 的取值范围是； 因为函数是偶函数，结合函数的对称性可得， 若交点在纵轴左边，符合题意的 的取值范围是； 所以若方程恰有两个根，则 的取值范围是， 故答案为. 点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构 建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域 问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形 结合求解一是转化为两个函
13、数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个 数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 . 16. 如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，当 变化时，对角线的最大值为_ 【答案】 【解析】设，则由余弦定理可得，由正弦定理可得， ， 时，有最大值 ，取得最大值为 ，故答案为 . 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知数列满足：. （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前 项和. 【答案】 （1）；
14、（2） 【解析】 分析：（1） 由可得,由此可得， 利用累加法可得数列 的通项公式； （2）由（1）可知，利用分组求和法与错位相减法，结合等差数列的求和公式与等 比数列的求和公式，从而可得结果. 详解： （1）由可得 又，由，得， 累加法可得： 化简并代入得：； （2）由（1）可知，设数列的前 项和 则 又的前 项和为， 点睛：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点： 掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以. 18. 某学校为了
15、解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取 50 名考生的数学成绩，分成 6 组制成频率分布直方图如图所示： （1）求 的值；并且计算这 50 名同学数学成绩的样本平均数 ； （2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出 3 位作为代表进行座谈，记成绩在 的同学人数位 ，写出 的分布列，并求出期望. 【答案】 （1），； （2）见解析 【解析】试题分析： （1）由 解得 ，根据各矩形中 点横坐标与纵坐标的积求和即可得到该校名学生成绩的平均值； （2）成绩在的同学人数为 ，成 绩在人数为 ， ， 的可能取值为，根据排列组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得 分布列，进而
16、利用期望公式可得 的数学期望. 试题解析： （1）由题 解得 (2)成绩在的同学人数为 6，成绩在人数为 4， ， ， 所以 的分布列为 19. 已知四棱锥，底面为正方形，且底面 ，过的平面与侧面的交线为， 且满足(表示的面积). （1）证明：平面； （2）当时，二面角的余弦值为，求 的值. 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】试题分析： （1）由正方形性质可得，从而得平面 ，根据线面平行的性质定理可得 ， 由三角形中位线定理可得， 进而根据线面平行的判定定理可得平面；（2） 底面 为正方形， 且底面，两两垂直， 建立如图所示空间直角坐标系， 设， ， 分别求出平面的一个法向量及平面 的
17、一个法向量， 利用空间向量夹角余弦公式可得， 从而可得结果. 试题解析： （1）由题知四边形 ABCD 为正方形 AB/CD，又平面 PCD，AB 平面 PCD AB/平面 PCD 又 AB平面 ABFE，平面 ABFE平面 PCD=EF EF / AB，又 AB/CD EF /CD， 由 SPEF：S 四边形 CDEF=1:3 知 E、F 分别为 PC、PD 的中点 连接 BD 交 AC 与 G，则 G 为 BD 中点， 在PBD 中 EG 为中位线， EG/PB EG/PB，EG平面 ACE，PB 平面 ACE PB/平面 ACE. （2）底面 ABCD 为正方形，且 PA底面 ABCD，
18、 PA、AB、AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz， 设 AB=AD=2a，AP=2b，则 A（0，0，0） ，D（0，2a，0） ，C（2a，2a，0） G（a，a，0） ，P（0，0，2b） ，F（a，a，b） ， PA底面 ABCD，DG底面 ABCD，DGPA ， 四边形 ABCD 为正方形ACBD,即 DGAC，ACPA=A DG平面 CAF， 平面 CAF 的一个法向量为 设平面 AFD 的一个法向量为而 由得 取可得 为平面 AED 的一个法向量， 设二面角 CAFD 的大小为 则得 又 当二面角 CAFD 的余弦值为时. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定
19、定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体 几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应 直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4） 将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20. 已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 ，点 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，是椭圆 上的两点， （i）若，且为等边三角形，求的面积; （ii)若，证明：不可能是等边三角形. 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 试题分析：
20、（） 根据面积公式得到， 以及点在曲线上， 代入得到， 以及， 求得； （） （）根据等边三角形的性质，可得直线的倾斜角是或，这样求得直线的 方程，联立椭圆方程，得到点的坐标，求得面积； （）因为，所以斜率存在，设直线的方程 是，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且表示线段中点 的坐标，若是等边三角形， 则，可求得，不合题意. 试题解析：（） 依题意， 联立两式， 解得， 故椭圆 的方程为. （） （）由且为等边三角形及椭圆的对称性可知，直线和直线与 轴的夹角为，由 可得. 即或，当时，的面积为； 当时，的面积为. （）因为，故直线斜率存在，设直线，中点为，联立消去 得， 由得到， 所以，
21、 所以. 又，若为等边三角形，则有， 即，即，化简得， 由得点 横坐标为，不合题意. 故不可能为等边三角形. （用点差法求 点坐标也可） 21. 已知函数. （1）若，试讨论函数的单调性； （2）设，当对任意的恒成立时，求函数的最大值的取值范 围. 【答案】 （1）在上递减，在上递增； （2） 【解析】试题分析： （）求导得.结合，可得在上递减，在上 递增. （）由对任意的恒成立 可得.又由（）知，当时， ，可得 对 求导，研究其最值，并求其范围即可 试题解析： （）. 因为，则时时， 在上递减，在上递增. （）当时，若，则. 所以对任意的恒成立 ，. 由（）知，当时，在上递减，在上递增. 依
22、题意，有， . . 设，则， ，在上递增， ，. 因此，存在唯一，使得， 当时，单调递增； 当时，单调递减. 因此在处取得最大值，最大值为 ， 设，则， 在上递减， 时的最大值. 反之，任取，下证， 在上递减，在上递增，且时， 任取，存在唯一的，使得. ，在上递减， 时，. 综上，当对任意的恒成立时，函数最大值，最大值的取值范围为. 注： 后半部分的证明是为了说明当 在内变化时， 能取遍内的所有值， 从而的最大值能取遍 内所有的值，防止把的最大值的取值范围变大. 22. 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程是（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，已知曲线 的极坐
23、标方程为. （1）求直线 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线 相交于两点，求. 【答案】 （1）； （2） 【解析】试题分析： （1）由消去 得：，把代入，得直线 的极坐标方程； （2）利用 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程可得，利用点到直线距离公式以 及勾股定理可得的值. 试题解析： （）由消去 得：， 把代入，得， 所以曲线 C 的极坐标方程为 （） 即 圆 C 的圆心 C（0，-1）到直线 的距离 所以 23. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数的图像与 轴没有交点，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）或； （2） 【解析】分析： （1）不等式等价于或，从而可
24、得结果； （2）分类讨论，根据函数 图象与 轴无交点，得到关于 的不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可得结果. 详解： （1）时，不等式可化为，即 或， 即或. （2）当时，要使函数与 轴无交点， 只需即 当时，函数与 轴有交点. 当时，要使函数与 轴无交点， 只需此时 无解. 综上可知，当时，函数与 轴无交点. 点睛：绝对值不等式的常见解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 24. 甲题型：给出如图数阵表格形式，表格内是按某种规律排列成的有限个正整数. （1）
25、记第一行的自左至右构成数列，是的前 项和，试求； （2）记为第 列第 行交点的数字，观察数阵请写出表达式，若，试求出的值. 【答案】 （1）； （2） 【解析】分析： （1）观察表格中数据，找出共同特性，可得，利用分组求和可得结果； （2） 由（1）知，第 族第一个数（首项），通过观察表格找出共同特性可得 ，设，现对 可能取值进行赋值试探，然后确定. 详解： （1）根据上述分析，数列其实就是第 族的首项记，观察知： ， 归纳得：. （2）由（1）知，第 族第一个数（首项）.通过观察表格，找出共同特性可得 ，. 于是观察归纳得: (其中 为行数， 表示列数设) 设，现对 可能取值进行赋值试探，然
26、后确定 . 取，则， 易知，故必然，于是 2017 必在第 64 族的位置上，故 2017 是第 64 族中的第一行数. . 点睛：本题主要考查归纳推理，属于难题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性 质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形 的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及 项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形 数目的归纳和图形变化规律的归纳. 25. 已知为双曲线 的左、右焦点，过作垂直于
27、 轴的直线，并在 轴上方交双 曲线于点，且. （1）求双曲线 的方程； （2）过双曲线 上一点 作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，试求的值； （3）过圆上任意一点作切线 交双曲线 于两个不同点，中点为 ，证明： . 【答案】 （1）； （2） ； （3）见解析 【解析】分析：(1) 在直角三角形中，解得，从而可得双曲线 的方程； （2）确定两条渐近线方程，设双曲线 上的点，求出点 到两条渐近线的距离，利用 在双曲线 上，及向量的数量积公式，结合即可求得结论； （3）分类讨论: 当切线 的斜率存在， 设切钱 的方程代入双曲线 中，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，结合直线 与圆 相切，
28、可 得成立；当切线 的斜率不存在时，求出的坐标，即可得到结论. 详解： （1）根据已知条件得，焦点坐标为， 轴， 在直角三角形中，解得， 于是所求双曲线方程为. （2）根据（1）易得两条双曲线渐近线方程分別为，设点，则 ， 又在双曲线上，所以 于是. （3）当直线 的斜率不存在时，则，于是，此时，即命题成立. 当直线 的斜率存在时，设 的方程为切线 与 的交点坐标为， 于是有消去 化成关于 的二次为. 为的中点， 即 坐标为 则， 又点 到直线 的距离为，.代入得： ，故得证. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综 合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立， 消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决， 往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解 决问题的关键.
