1、 . 20172017- -20182018 届高三数学下学期理科数学届高三数学下学期理科数学 周日测试周日测试 7 7 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合2Ax x，320Bxx，则（ ） AAB RU BAB I C2ABx xI D 3 2 2 ABxx U 2记复数z的虚部为lmz，已知复数 5 2 21 i zi i ，（i为虚数单位），则lmz为（
2、） A2 B3 C3i D-3 3已知命题p：“对任意0x，都有ln1xx”，则命题p的否定是（ ） A对任意0x，都有ln1xx B存在 0 0x ，使得 00 ln1xx C对任意0x，都有ln1xx D存在 0 0x ，使得 00 ln1xx 4下列函数： 1 2 x y ， 2 yx，3yx， 3 y x 在0,上是增函数且为偶函数的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5已知曲线 3 2 3 fxx在点 1,1f处的切线的倾斜角为，则 22 2 sincos 2sincoscos （ ） A 1 2 B2 C 2 5 D 3 8 6函数 cos ln x y x 的图象大
3、致是（ ） A B C D 7若向量, a b r r 的夹角为 3 ，且2a r ，1b r ，则向量a r 与向量2ab rr 的夹角为（ ） . A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8 定义在R上的奇函数 f x满足： 2f xf x， 且当01x时， 2xf x ， 则 1 2 l o g 2 0 1 7f 的值为（ ） A 1024 2017 B 2017 1024 C 1 2017 D 1 1024 9丹麦数学家琴生（Jensen）是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等 式方向留下了很多宝贵的成果，设函数 f x在, a b上的导函数为 fx，
4、fx在, a b上的导函数为 fx ，若在 , a b上 0fx 恒成立，则称函数 f x在, a b上为“凸函数”，已知 4 32 3 432 xt f xxx在1,4上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（ ） A3, B3, C 51, 8 D 51, 8 10已知函数 sin3cos0f xxx的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于 2 ，若将函数 yf x的图象向左平移 6 个单位得到函数 yg x的图象，则 yg x是减函数的区间为（ ） A, 4 3 B, 4 4 C0, 3 D,0 3 11已知在ABC中，ax，2b，30B，若三角形有两个解，则x的取值范围是（ ） A2, B 2
5、,2 2 C2,4 D 2,2 3 12设点P为函数 2 1 2 2 f xxax与 2 3ln20g xaxb a图象的公共点，以P为切点可作直线 l与两曲线都相切，则实数b的最大值为（ ） A 3 4 2 3 e B 3 4 3 2 e C 2 3 4 3 e D 2 3 3 4 e 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 已知函数 yf x的定义域为 ,abU（其中ab） ， 则 “ yf x在,a和, b 上分别单调递增” 是 “ yf x在 ,abU上为增函数”
6、 的 条件. （填 “充分不必要” 、 . “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”） 14 已知函数 2sin0f xx.若0,2 32 ff ， 则实数的最小值为 15设函数 f x是定义在R上的可导函数，且满足条件 0f xxfx，则不等式 2 111fxxfx 的解集为 16我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC三个内角 ABC、 、所对的边分别为abc、 、，面积为S，则“三斜求积”公式为 2 222 22 1 42 acb Sa c 若 2 sin4sinaCA， 2 2 12acb，则用“三斜求积”公式求 得ABC的面积为 三、解
7、答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 已知数列 n a的前n项和1 nn Sa ，其中0 （1）证明 n a是等比数列，并求其通项公式； （2）若 5 31 32 S ，求 18自 2016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不 要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解 针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进
8、行 问卷调查，得到如下数据： （1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为 多少？ （2）假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自 主选择 求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率； 如果用表示两种方案休假周数之和求随机变量的分布列及数学期望 . 19 如图， 在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形， 平面AEF 平面EFCB，EFBC，4BC ， 2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点 （1）求证：AOBE； （2）求二面角FAEB的余弦值. 20 在平面直角坐标系
9、xoy中， 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 1 2 e ， 左顶点为4,0A ， 过点A作斜率为0k k 的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E （1）求椭圆C的方程； （2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的0k k 都有OPEQ，若存在，求出点Q的 坐标；若不存在说明理由； （3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求 ADAE OM 的最小值 21 已知函数 ln 1f xax（aR且0a） （1）求函数 yf x的单调递增区间； （2）当0a时，设函数 3 1 6 g xxf x，函数 h xgx， 若 0h x 恒成立，求实数a的取值范围；
10、证明： 2 ln 1 2 3 e n L 2222 123nn * NL 22在直角坐标系xoy中，圆C的方程为 2 2 625xy. （1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （2）直线l的参数方程是 cos sin xt yt （t为参数），l与C交于AB、两点，10AB ，求直线l的斜 率. . 23选修 4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式32xxmm的解集为R （1）求m的最大值； （2）已知0a，0b，0c ，且abcm ，求 222 49abc的最小值及此时, ,a b c的值 附加题： 1.已知数列 n a的前n项和为 n S，点, n S n
11、 n 在直线 111 22 yx上. （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 3 211 211 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和为 n T，并求使不等式 20 n k T 对一切n * N 都成立的最大正整数 k的值 2 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的上、下、左、右四个顶点分别为A BCD、 、 、，x轴正半轴上的 某点G满足2,3,4GDGAGC. （1）求椭圆的方程； （2）设该椭圆的左、右焦点分别为 12 FF、，点M在圆 222 xyb上，且M在第一象限，过M作圆 222 xyb的切线交椭圆于,P Q，求证： 2 PF Q的周长是定值 201720
12、17- -20182018 届高三数学下学期理科数学届高三数学下学期理科数学 周日测试周日测试 7 7 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 . 1-5:ADBAC 6-10:CABCB 11、12：CD 二、填空题二、填空题 13必要不充分 143 151,2 163 三、解答题三、解答题 17【答案】（1） 1 1 11 n n a ； （2）1 18解：（1）由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 1 41 20050 P ； 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 2 162 20025 P . （2）设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件A，
13、由已知从 5 种不同安排方案中，随机地抽取 2 种方案选 法共有 2 5 10C （种） ， 其和不低于 32 周的选法有14,18、15,17、15,18、16,17、16,18、 17,18，共 6 种，由古典概型概率计算公式得 63 105 P A 由题知随机变量的可能取值为 29，30，31，32，33，34，35 1 290.1 10 P， 1 300.1, 10 P 2 310.2 10 P， 22 320.2,330.2, 1010 PP 11 340.1,350.1 1010 PP 因而的分布列为 29 30 31 32 33 34 35 P 01 01 02 02 02 01
14、 01 所以 29 0.1 30 0.1 31 0.2 32 0.2 33 0.2E34 0.1 35 0.132. 19解：（1）由于平面AEF 平面EFCB， AEF为等边三角形， O为EF的中点，则AOEF， 根据面面垂直性质定理，所以AO 平面EFCB， 又BE 平面EFCB，则AOBE （2） 取CB的中点D， 连接OD， 以O为原点， 分别以OEODOA、为xyz、 、轴建立空间直角坐标系， 0,0, 3Aa,0,0E a, 2,2 33 ,0Ba, ,0,3AEaa uuu r , 2,2 33 ,0EBaa uur ， 由于平面AEF与y轴垂直，则设平面AEF的法向量为 1 0
15、,1,0n u r ， . 设平面AEB的法向量 2 , ,1nx y u u r ， 2 nAE u u ruuu r ,30axa,3x , 2 nEB u u ruur , 22 330a xa y,1y , 则 2 3, 1,1n u u r ，二面角FAEB的余弦值 12 12 12 15 cos, 55 n n n n nn ， 由二面角FAEB为钝二面角，所以二面角FAEB的斜弦值为 5 5 20解：（1）左顶点为4,0A 4a又 1 2 e 2c 又 222 12bac椭圆C的标准方程为 22 1 1612 xy （2）直线l的方程为4yk x，由 22 1 16 12 4 x
16、y yk x 消元得 2 2 4 1 1612 k x x 化简得， 22 44316120xkxk ，则 2 12 2 1612 4, 43 k xx k 当 2 2 1612 43 k x k 时， 2 22 161224 4 4343 kk yk kk ， 2 22 161224 4343 kk D kk ， 点P为AD的中点 点P的坐标为 2 22 1612 43 43 kk kk ，则 3 0 4 op kk k . 直线l的方程为4yk x，令0x，得点E的坐标为0 4k， 假设存在定点,0Q m nm使得OPEQ,则1 OPEQ kk ， 即 34 1 4 nk km 恒成立，4
17、1230mkn恒成立 4120 30 m n 即 -3 0 m n 定点Q的坐标为30 ，. （3）/OMlOM的方程可设为ykx， . 由 22 1 16 12 xy ykx 得M点的横坐标为 2 4 3 43 x k 由OMl，得 2 DAEA DA MM xxxxxxADAE OMxx 2 2 2 2 2 1612 8 149 43 4 33 43 43 k k k k k 2 2 16 432 2 3 43 k k ， 当且仅当 2 2 6 43 43 k k 即 3 2 k 时取等号， 当 3 2 k 时， ADAE OM 的最小值为2 2 21解：（1） 1 ln1lnfxaxxa
18、x x ，令 0fx 当0a时，解得1x ；当0a时，解得01x， 所以0a时函数 yf x的单调递增区间是1,； 0a时函数 yf x的单调递增区间是0,1 （2） 2 1 ( )( )( ) 2 h xg xxfx 2 1 ln 2 xax，由题意得 min0h x， 因为 2 axa h xx xx ()()xaxa x ， 所以当(0,)xa时， 0h x， h x单调递减； 当(,)xa时， 0h x， h x单调递增； min 1 ( )()ln 2 h xhaaaa 由 1 0ln 2 aaa得ln1a，则实数a的取值范围是0,e（分离参数法亦可） 由（1）知ae时， 2 1 l
19、n0 2 h xxex在0,x上恒成立，当xe时等号成立， 2 2 lnxNexx 时，令1,2,3,xn，累加可得 . 2222 2ln1 ln2ln3ln123enn 即 2 2222 ln 1 2 3123, e nnnN 22解：（1）整理圆的方程得 22 12 110xy， 由 222 xy cosx siny 可知圆C的极坐标方程为 2 12 cos110 （2）记直线的斜率为k，则直线的方程为0kxy，由垂径定理及点到直线距离公式知： 2 2 610 25 2 1 k k ， 即 2 2 3690 14 k k ，整理得 2 5 3 k ，则 15 3 k 23解：（1）因为 3
20、33xxmxxmm 当3xm,或3mx时取等号， 令32mm，所以32mm ，或32mm 解得3m，或1m m的最大值为 1 （2）由（1）1abc 由柯西不等式， 2 222 11 1491 49 abcabc ， 222 36 49 49 abc，等号当且仅当49abc，且1abc 时成立 即当且仅当 9 49 a ， 4 49 b ， 36 49 c 时， 222 49abc的最小值为 36 49 附加题 1解：（1）由题意，得 2 111111 ,. 2222 n n S nSnn n 即 故当2n时， 2 1 111 22 nnn aSSnn 2 111 (1)(1)5. 22 nn
21、n 当1n 时， 11 615aS ,所以 * 5() n annN. （2） 1 33 (211)(211)(21)(21) n nn b aann 311 2 2121nn . . 所以 12 311111 1 23352121 nn Tbbb nn 313 1 22121 n nn 由于 1 1 3 2321 nn nn TT nn （） 3 0 (23)(21)nn ，因此 n T单调递增， 故()1 nmin T.令1 20 k ，得20k ，所以 max 19k . 2.（1）设点G的坐标为 00 ,0 (0)xx ,可知224,3aa, 22 00 41,32 2xabx. 因此
22、椭圆的方程是 22 1 98 xy . （2）设 1122 ,P x yQ x y,则 22 11 1 98 xy , 2 2 211 1PFxy 2 2 2 11 1 18 13 93 xx x , 1 03x, 1 2 3 3 x PF , 在圆中, M是切点, 22 |PMOPOM 22 11 8xy 2 2 1 11 1 8 18 93 x xx , 211 11 33 33 PFPMxx, 同理 2 3QFQM, 22 336F PF QPQ, 因此 2 PF Q的周长是定值6 . . . ADBAC CABCB CD 12【答案】D 【 解 析 】 设 yf x与 0yg xx在
23、公 共 点 00 ,P x y处 的 切 线 相 同 ， 2 3 2 , a fxxa gx x ，由题意 0000 ,fxgxfxgx，即 2 22 0000 0 13 23ln2 ,2 2 a xaxaxb xa x ，由 2 00 0 3 22 a xaxa x 得 0 xa或 0 3xa （舍去）， 即有 222 1 223ln 2 baaaa 22 5 3ln 2 aaa，令 22 5 3 ln0 2 h tttt t，则 2 1 3lnh ttt， 于是当1 3ln0tt，即 1 3 0te 时， 0h t ；当1 3ln0tt，即 1 3 te时， 0h t ，故 h t 在 1
24、 3 0,e 为增函数，在 1 3, e 为减函数，于是 h t在0,的最大值为 12 33 3 2 h ee ，故b的最大 值为 2 3 3 4 e，故选 D. . 13-16 必要不充分 3 1,2 17、【答案】（）；（） 1 18、解析：（1）由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 1 41 20050 P ； 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为. （2）设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件A，由已知从 5 种不同安排方案中，随机地抽取 2 种方案选 法共有 2 5 10C （种），其和不低于 32 周的选法有（14，18）、（15，17）
25、、（15，18）、（16， 17）、（16，18）、（17，18），共 6 种，由古典概型概率计算公式得 由题知随机变量的可能取值为 29，30，31，32，33，34，35 1 290.1 10 P， 12 300.1,310.2 1010 PP， 2211 320.2,330.2,340.1,350.1 10101010 PPPP 因而的分布列为 29 30 31 32 33 34 35 P 01 01 02 02 02 01 01 所以 29 0.1 30 0.1 31 0.2 32 0.2 33 0.2 34 0.1 35 0.132E. 19（1）由于平面AEF 平面EFCB， AE
26、F为等边三角形， O为EF的中点，则AOEF，根据面 面垂直性质定理，所以AO 平面EFCB，又BE 平面EFCB，则AOBE （2） 取CB的中点D， 连接OD， 以O为原点， 分别以OEODOA、为xyz、 、轴建立空间直角坐标系， ， 由 于 平 面 AEF与y轴 垂 直 ， 则 设 平 面AEF的 法 向 量 为， 设 平 面AEB的 法 向 量 ，则 . ，二面角FAEB的余弦值 12 12 12 15 cos, 55 n n n n nn ，由二面角FAEB 为钝二面角，所以二面角FAEB的斜弦值为 5 5 20（1） 22 1 1612 xy （2）30 ，（3）2 2 （1）左
27、顶点为4,0A 4a又 1 2 e 2c 又 222 12bac椭圆C的标准方程为 22 1 1612 xy （2）直线l的方程为4yk x，由 22 1 16 12 4 xy yk x 消元得 2 2 4 1 1612 k x x 化简得， 22 44316120xkxk ，则 2 12 2 1612 4, 43 k xx k 当 2 2 1612 43 k x k 时， 2 22 161224 4 4343 kk yk kk ， 2 22 161224 4343 kk D kk ， 点P为AD的中点 点P的坐标为 2 22 1612 43 43 kk kk ，则 3 0 4 op kk k
28、 . 直线l的方程为4yk x，令0x，得点E的坐标为0 4k，假设存在定点,0Q m nm使得 OPEQ,则1 OPEQ kk ，即 34 1 4 nk km 恒成立，41230mkn恒成立 4120 30 m n 即 -3 0 m n 定点Q的坐标为30 ，. （3）/OMlOM的方程可设为ykx，由 22 1 16 12 xy ykx 得M点的横坐标为 2 4 3 43 x k 由OMl，得 2 2 2 2 2 1612 8 2149 43 4 33 43 43 DAEA DA MM k xxxxxxADAEk k OMxx k k . 2 2 16 432 2 3 43 k k ，当且
29、仅当 2 2 6 43 43 k k 即 3 2 k 时取等号， 当 3 2 k 时， ADAE OM 的最小值为2 2 21 解：（1） 1 ln1lnfxaxxax x ，令 0fx 当0a时，解得1x ；当0a时，解得01x， 所以0a时函数 yf x的单调递增区间是1,； 0a时函数 yf x的单调递增区间是0,1 （2） 22 11 ( )( )( )ln 22 h xg xxfxxax，由题意得 min0h x， 因为 2 axa h xx xx ()()xaxa x ， 所以当(0,)xa时， 0h x， h x单调递减； 当(,)xa时， 0h x， h x单调递增； min
30、1 ( )()ln 2 h xhaaaa 由 1 0ln 2 aaa得ln1a，则实数a的取值范围是0,e（分离参数法亦可） 由（1）知ae时， 2 1 ln0 2 h xxex在0,x上恒成立，当xe时等号成立， 2 2 lnxNexx 时，令1,2,3,xn，累加可得 2222 2ln1 ln2ln3ln123enn 即 2 2222 ln 1 2 3123, e nnnN 22 （ 1 ） 整 理 圆 的 方 程 得 22 12 110xy， 由 222 xy cosx siny 可 知 圆C的 极 坐 标 方 程 为 2 12 cos110 记 直 线 的 斜 率 为k， 则 直 线
31、的 方 程 为0kxy， 由 垂 径 定 理 及 点 到 直 线 距 离 公 式 知 ： . 2 2 610 25 2 1 k k ， 即 2 2 3690 14 k k ，整理得 2 5 3 k ，则 15 3 k （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解： （）因为|x3|xm|(x3)(xm)|m3| 2 分 当 3xm,或mx3 时取等号， 令|m3|2m，所以m32m，或m32m 解得m3， 或m1 m的最大值为 1 5 分 （）由（）abc1 由柯西不等式，( 1 4 1 9 1)( 4a 29b2c2)(abc)21， 7 分 4a 29b2c2 36 49
32、，等号当且仅当 4a9bc，且abc1 时成立 即当且仅当a 9 49 ，b 4 49 ，c 36 49 时，4a 29b2c2的最小值为 36 49 1.解：（）由题意，得 2 111111 ,. 2222 n n S nSnn n 即 1 分 故当2n时， 22 1 111111 (1)(1)5. 2222 nnn aSSnnnnn 4 分 当n=1 时， 11 615aS , 所以 * 5() n annN. 5 分 （） 1 33311 (211)(211)(21)(21)2 2121 n nn b aannnn . 6 分 所以 12 311111313 11 23352121221
33、21 nn n Tbbb nnnn .8 分 由于 1 13 30 2321(23)(21) nn nn TT nnnn （），因此 n T单调递增， 9 分 故()1 nmin T.令1 20 k ，得20k ，所以 max 19k . 12 分 (1)设点 G的坐标为 00 x ,0 (x0),可知2a24,a3, 22 00 x4a1,b3x2 2. 因此椭圆的方程是 22 xy 1 98 . . (2)方法 1:设 1122 P x ,y ,Q x ,y,则 22 11 xy 1 98 , 2 2 211 PFx1y= 2 2 2 11 1 xx x18 13 93 , 1 0x3,
34、1 2 x PF3 3 , 在圆中, M是切点, 22 PMOP|OM|= 22 11 xy8= 2 2 1 11 x1 x8 18x 93 , 211 11 PFPM3xx3 33 , 同理 2 QFQM3, 22 F PF QPQ336, 因此C的周长是定值6 方法 2:设PQ的方程为ykxm k 0,m 0, 由 22 xx 1 98 ykxm ,得 222 89kx18kmx9m720, 设 1122 P x ,y ,Q x ,y,则 2 1212 22 18km9m72 xx,x x 89k89k , PQ= 2 12 1 kxx= 2 2 1212 1 kxx4x x = 2 2 2 22 18km9m72 1k4 89k89k 22 2 2 2 4 9 89km8 1k 89k , PQ与圆 22 xy8相切, 2 m 2 2 1k ,即 2 m2 2 1k, 2 6km PQ 89k , 2 2 22 2 11 2111 xx PFx1yx18 13 93 , . 1 0x3, 1 2 x PF3 3 , 同理可得 2 22 x1 QF9x3 33 , 12 22 222 xx6km6km6km F PF QPQ666 389k89k89k , 因此 2 PQF的周长是定值6
