1、 . 2017 年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1己知集合 Q=x|2x25x0，xN，且 P Q，则满足条件的集合 P 的个数 是（ ） A3 B4 C7 D8 2已知 i 是虚数单位，复数的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 3某样本中共有 5 个个体，其中四个值分别为 0，1，2，3，第五个值丢失，但 该样本的平均值为 1，则样本
2、方差为（ ） A2 B C D 4双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则 C 的焦距等于（ ） A2 B2 C4 D4 5若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形 的面积是（ ） A B C D或 6已知，则 tan2=（ ） A B C D 7 九章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第 六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示 的程序框图，若输出的 m 的值为 35，则输入的 a 的值为（ ） . A4 B5 C7 D11 8如图所示，过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线 l
3、 交抛物线于点 A、B， 交其准线 l点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ） Ay2=9x By2=6x Cy2=3x D 9已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图 是（ ） A B C D 10在ABC 中，AB=AC=2，BCcos（A）=1，则 cosA 的值所在区间为（ ） A （0.4，0.3） B （0.2，0.1） C （0.3，0.2） D （0.4，0.5） 11已知符号函数 sgn（x）=，那么 y=sgn（x33x2+x+1）的大致图象 是（ ） . A B C D 12已知函数 f（x）=，若对任意的 x1，
4、x21，2，且 x1x2时，|f （x1）|f（x2）|（x1x2）0，则实数 a 的取值范围为（ ） A， B， C， De2，e2 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13已知 ，则 的值是 14已知一个公园的形状如图所示，现有 3 种不同的植物要种在此公园的 A，B， C，D，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同 的种法共有 种 15已知函数 f（x）=sinx若存在 x1，x2，xm满足 0x1x2xm6， 且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（x
5、m）|=12（m2， mN*） ，则 m 的最小值为 16已知等腰直角ABC 的斜边 BC=2，沿斜边的高线 AD 将ABC 折起，使二面 . 角 BADC 为，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算 步步骤骤.） 17已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列 （）求数列an的通项公式； （）令 bn=（1）n1，求数列bn的前 n 项和 Tn 18如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为正方形，A
6、E平面 CDE，已知 AE=DE=2，F 为线段 DF 的中点 （I）求证：BE平面 ACF； （II）求平面 BCF 与平面 BEF 所成锐二面角的余弦角 19鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家 自然文化双遗产地、国家 AAAAA 级旅游景区龙虎山主景区排衙峰下，是一 座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了 3000 余种花卉苗木，一年四季姹 紫嫣红花香四溢花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景 观设计唯美新颖玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点 错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示该景区自 2015 年 春
7、建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园 人数最高达万人 某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在 2017 年 4 月 1 日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日 12000 名游客中抽 取 100 人进行统计分析，结果如下： （表一） 年龄 频 数 频 率 男 女 0，10） 10 0.1 5 5 . 10，20） 20，30） 25 0.25 12 13 30，40） 20 0.2 10 10 40，50） 10 0.1 6 4 50，60） 10 0.1 3 7 60，70） 5 0.05 1 4 70，80） 3 0.03 1
8、2 80，90） 2 0.02 0 2 合计 100 1.00 45 55 （1）完成表格一中的空位，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计 2017 年 4 月 1 日当日接待游客中 30 岁以下人数 （2）完成表格二，并问你能否有 97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到 50 岁以上”与“性别”相关？ （3）按分层抽样（分 50 岁以上与 50 以下两层）抽取被调查的 100 位游客中的 10 人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这 10 人中选取 2 人接受 电视台采访，设这 2 人中年龄在 50 岁以上（含）的人数为 ，求 的分布列 （表二） 50 岁以上 50 岁以下
9、合计 男生 女生 合计 P（K2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：k2=，其中 n=a+b+c+d） . 20给定椭圆 C： =1（ab0） ，称圆心在原点 O，半径为的圆 是椭圆 C 的“准圆”若椭圆 C 的一个焦点为 F（，0） ，其短轴上的一个端点到 F 的距离为 （）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程； （）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1，l2交“准圆”于 点 M，N （） 当点 P 为“准圆”与
10、 y 轴正半轴的交点时， 求直线 l1， l2的方程并证明 l1l2； （）求证：线段 MN 的长为定值 21已知函数 f（x）=x2alnx（aR） （1）若函数 f（x）在 x=2 处的切线方程为 y=x+b，求 a，b 的值； （2）讨论方程 f（x）=0 解的个数，并说明理由 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 . 22已知曲线 C 的极坐标方程是 2=4cos+6sin12，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （I）写出直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （II）将曲线 C
11、 向左平移 2 个单位长度，向上平移 3 个单位长度，得到曲线 D， 设曲线 D 经过伸缩变换得到曲线 E，设曲线 E 上任一点为 M（x，y） ，求 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）=|xa|，aR （）当 a=5，解不等式 f（x）3； （）当 a=1 时，若 xR，使得不等式 f（x1）+f（2x）12m 成立，求 实数 m 的取值范围 . 2017 年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，
12、共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1己知集合 Q=x|2x25x0，xN，且 P Q，则满足条件的集合 P 的个数 是（ ） A3 B4 C7 D8 【考点】18：集合的包含关系判断及应用 【分析】解出集合 Q，再根据 P Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集 合 P 的个数； 【解答】解：集合 Q=x|2x25x0，xN， Q=0，1，2，共有三个元素，P Q， 又 Q 的子集的个数为 23=8， P 的个数为 8， 故选 D； 2已知 i 是虚数单位，复数的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di
13、 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】解：复数=i2 的虚部为 1 故选：B 3某样本中共有 5 个个体，其中四个值分别为 0，1，2，3，第五个值丢失，但 该样本的平均值为 1，则样本方差为（ ） A2 B C D . 【考点】BC：极差、方差与标准差 【分析】根据平均数公式先求出 a，再计算它们的方差 【解答】解：设丢失的数据为 a，则这组数据的平均数是 （a+0+1+2+3）=1，解得 a=1， 根据方差计算公式得 s2=（11）2+（01）2+（11）2+（21）2+（31）2=2 故选：A 4双曲线 C：=1（a0，b0）的离
14、心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则 C 的焦距等于（ ） A2 B2 C4 D4 【考点】KC：双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到 结论 【解答】解：=1（a0，b0）的离心率为 2， e=，双曲线的渐近线方程为 y= ，不妨取 y=，即 bxay=0， 则 c=2a，b=， 焦点 F（c，0）到渐近线 bxay=0 的距离为， d=， 即， 解得 c=2， 则焦距为 2c=4， 故选：C . 5若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形 的面积是（ ） A B C D或 【考点】7C：简单线性规划 【分析】依题意，三条
15、直线围成一个直角三角形，可能会有两种情形，分别计算 两种情形下三角形的顶点坐标，利用三角形面积公式计算面积即可 【解答】解：有两种情形： （1）由 y=2x 与 kxy+1=0 垂直，则 k=， 三角形的三个顶点为（0，0） ， （0，1） ， （，） ， 三角形的面积为 s=1=； （2）由 x=0 与 kxy+1=0 形垂直，则 k=0， 三角形的三个顶点为（0.0） ， （0，1） ， （，1） ， 三角形的面积为 s=1= 该三角形的面积为或 故选：D . 6已知，则 tan2=（ ） A B C D 【考点】GU：二倍角的正切 【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数
16、基本关系式即可 化简求值得解 【解答】解：， ，化简得 4sin2=3cos2， ， 故选：C 7 九章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第 六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示 的程序框图，若输出的 m 的值为 35，则输入的 a 的值为（ ） . A4 B5 C7 D11 【考点】EF：程序框图 【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可 【解答】解：起始阶段有 m=2a3，i=1， 第一次循环后 m=2（2a3）3=4a9，i=2， 第二次循环后 m=2（4a9）3=8a21，i=3， 第三次循环后 m=2（8a21）3=
17、16a45，i=4， 第四次循环后 m=2（16a45）3=32a93， 跳出循环，输出 m=32a93=35，解得 a=4， 故选：A 8如图所示，过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B， 交其准线 l点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ） Ay2=9x By2=6x Cy2=3x D 【考点】K8：抛物线的简单性质 【分析】分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|=a，根据 抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出BCD 的值，在直角三角形中求得 a，进而 根据 BDFG，利用比例线段的性质可求得
18、 p，则抛物线方程可得 【解答】 解： 如图分别过点 A， B 作准线的垂线， 分别交准线于点 E， D， 设|BF|=a， 则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故BCD=30， 在直角三角形 ACE 中，|AE|=3，|AC|=3+3a， 2|AE|=|AC| 3+3a=6， 从而得 a=1， BDFG， . =求得 p=， 因此抛物线方程为 y2=3x 故选 C 9已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图 是（ ） A B C D 【考点】L!：由三视图求面积、体积 【分析】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右 四个方向观
19、察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据 A 与 C 中俯视图正好 旋转 180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾 斜方向相反，满足实际情况，可得 A，C 均正确，而根据 AC 可判断 B 正确，D 错误 【解答】解：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足； 且四个三视图均表示一个高为 3，底面为两直角边分别为 1，2 的棱锥 A 与 C 中俯视图正好旋转 180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视 图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故 A，C 表示同一棱锥 设 A 中观察的正方向为标准正方向，以 C 表示从后面观察该棱锥 B 与 D 中俯视图正好旋
20、转 180， 故应是从相反方向进行观察， 但侧视图中三角形 . 斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故 B，D 中有一个不与其它三个一样表示 同一个棱锥， 根据 B 中正视图与 A 中侧视图相同，侧视图与 C 中正视图相同，可判断 B 是从 左边观察该棱锥 故选 D 10在ABC 中，AB=AC=2，BCcos（A）=1，则 cosA 的值所在区间为（ ） A （0.4，0.3） B （0.2，0.1） C （0.3，0.2） D （0.4，0.5） 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理 【分析】由题意求得 cosA=，再由余弦定理，得出关于的方程， 构造函数，利用函数零点的判断方法得出 co
21、sA 的取值范围 【解答】解：ABC 中，AB=AC=2，BCcos（A）=1， c=b=2，acosA=1， cosA=0，且 4a2； 由余弦定理得，cosA=， =， 化为：88+1=0， 令=x（，） ， 则 f（x）=8x38x2+1=0， f（0.4）=1.41.28+10，f（0.3）=0.0640， cosA（0.4，0.3） 故选：A 11已知符号函数 sgn（x）=，那么 y=sgn（x33x2+x+1）的大致图象 是（ ） . A B C D 【考点】3O：函数的图象 【分析】构造函数 f（x）=x33x2+x+1，可整理得 f（x）=（x1） （x22x1） =（x1）
22、 （x1） （x1+） ，利用排除法即可得到答案 【解答】解：令 f（x）=x33x2+x+1， 则 f（x）=（x1） （x22x1） =（x1） （x1） （x1+） ， f（，1）=0，f（1）=0，f（1+）=0， sgn（x）=， sgn（f（1） ）=0，可排除 A，B； 又 sgn（f（1） ）=0，sgn（f（1） ）=0，可排除 C， 故选 D 12已知函数 f（x）=，若对任意的 x1，x21，2，且 x1x2时，|f （x1）|f（x2）|（x1x2）0，则实数 a 的取值范围为（ ） A， B， C， De2，e2 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】由题意
23、可知函数 y=丨 f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质 及对勾函数的性质，即可求得实数 a 的取值范围 . 【解答】解：由任意的 x1，x21，2，且 x1x2，由|f（x1）|f（x2）|（x1 x2）0， 则函数 y=丨 f（x）丨单调递增， 当 a0，f（x）在1，2上是增函数，则 f（1）0，解得：0a， 当 a0 时，丨 f（x）丨=f（x） ，令=， 解得：x=ln， 由对勾函数的单调递增区间为ln，+） ， 故 ln1，解得： a0， 综上可知：a 的取值范围为， 故选 B 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填
24、在答题纸上） 13已知 ，则 的值是 （）2018 【考点】DB：二项式系数的性质 【分析】利用二项式定理，对等式中的 x 赋值2，可求得 a0=0，再令 x=，即 可求出答案 【解答】解：（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+a2018（x+2）2018， 令 x=2，得 a0=0 再令 x=，得到 a0+=（+1）2（+2）2016=（） 2018， =， 故答案为： （）2018， . 14已知一个公园的形状如图所示，现有 3 种不同的植物要种在此公园的 A，B， C，D，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同 的种法共有 18
25、 种 【考点】D8：排列、组合的实际应用 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、对于 A、B、C 区域，将 3 种不同的 植物全排列，安排在 A、B、C 区域，由排列数公式可得其排法数目，、对于 D、 E 区域，分 2 种情况讨论：若 A，E 种的植物相同，若 A，E 种的植物不同；由加 法原理可得 D、E 区域的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 、对于 A、B、C 区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同， 将 3 种不同的植物全排列，安排在 A、B、C 区域，有 A33=6 种情况， 、对于 D、E 区域，分 2 种情况讨论： 若 A
26、，E 种的植物相同，则 D 有 2 种种法， 若 A，E 种的植物不同，则 E 有 1 种情况，D 也有 1 种种法， 则 D、E 区域共有 2+1=3 种不同情况， 则不同的种法共有 63=18 种； 故答案为：18 15已知函数 f（x）=sinx若存在 x1，x2，xm满足 0x1x2xm6， 且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|=12（m2， mN*） ，则 m 的最小值为 8 【考点】H2：正弦函数的图象 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意 xi，xj（i，j=1，2，3，m） ，都有 |f（xi）f（xj）|f（x）maxf（x）mi
27、n=2，要使 m 取得最小值，尽可能多让 xi （i=1，2，3，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小 m 值 . 【解答】解：y=sinx 对任意 xi，xj（i，j=1，2，3，m） ，都有|f（xi）f（xj） |f（x）maxf（x）min=2， 要使 m 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，m）取得最高点， 考虑 0x1x2xm6，|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm 1）f（xm）|=12， 按下图取值即可满足条件， m 的最小值为 8 故答案为：8 16已知等腰直角ABC 的斜边 BC=2，沿斜边的高线 AD 将ABC 折起，使二面 角
28、BADC 为，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 【考点】LG：球的体积和表面积 【分析】由题意，BCD 是等边三角形，边长为 1，外接圆的半径为，AD=1， 可得四面体 ABCD 的外接球的半径=，即可求出四面体 ABCD 的外接 球的表面积 【解答】解：由题意，BCD 是等边三角形，边长为 1，外接圆的半径为， AD=1，四面体 ABCD 的外接球的半径=， 四面体 ABCD 的外接球的表面积为=， 故答案为： . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤步骤.） 17已知等差
29、数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列 （）求数列an的通项公式； （）令 bn=（1）n1，求数列bn的前 n 项和 Tn 【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性；8H：数列递推式 【分析】 （） 利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出； （）由（）可得 bn=对 n 分类讨论“裂项求和”即可 得出 【解答】解： （）等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn， Sn=n2n+na1， S1，S2，S4成等比数列， ， ，化为，解得 a1=1 an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1 （ ） 由 （ ） 可 得 bn
30、= （ 1 ） n1 = = Tn= + 当n为 偶 数 时 ， Tn=+ =1= 当n为 奇 数 时 ， Tn=+ +=1+= Tn= . 18如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AE平面 CDE，已知 AE=DE=2，F 为线段 DF 的中点 （I）求证：BE平面 ACF； （II）求平面 BCF 与平面 BEF 所成锐二面角的余弦角 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定 【分析】 （1）连接 BD 和 AC 交于点 O，连接 OF，证明 OFBE然后证明 BE 平面 ACF （II）以 D 为原点，以 DE 所在直线为 x 轴建立如图所示的
31、空间直角坐标系，求 出相关点的坐标，求出平面 BEF 的一个法向量，平面 BCF 的一个法向量，设平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角为 ，利用数量积求解即可 【解答】解： （1）连接 BD 和 AC 交于点 O，连接 OF，因为四边形 ABCD 为正方 形，所以 O 为 BD 的中点 因为 F 为 DE 的中点，所以 OFBE 因为 BE平面 ACF，OF 平面 AFC， 所以 BE平面 ACF （II）因为 AE平面 CDE，CD 平面 CDE， 所以 AECD 因为 ABCD 为正方形，所以 CDAD 因为 AEAD=A，AD，AE 平面 DAE， 所以 CD平面 DAE 因为
32、DE 平面 DAE，所以 DECD 所以以 D 为原点，以 DE 所在直线为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系， . 则 E（2，0，0） ，F（1，0，0） ，A（2，0，2） ，D（0，0，0） 因为 AE平面 CDE，DE 平面 CDE， 所以 AECD 因为 AE=DE=2，所以 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以， 所以 由四边形 ABCD 为正方形， 得=（2，2，2） ， 所以 设平面 BEF 的一个法向量为=（x1，y1，z1） ，又知=（0，2，2） ，= （1，0，0） ， 由，可得， 令 y1=1，得 ， 所以 设平面 BCF 的一个法向量为=（x2，y2，z2）
33、，又知=（2，0，2） ，=（1， 2，0） ， 由，即： 令 y2=1，得 ， 所以 设平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角为 ， 又 cos= = 则 所以平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角的余弦值为 . 19鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家 自然文化双遗产地、国家 AAAAA 级旅游景区龙虎山主景区排衙峰下，是一 座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了 3000 余种花卉苗木，一年四季姹 紫嫣红花香四溢花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景 观设计唯美新颖玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点 错落有致
34、，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示该景区自 2015 年 春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园 人数最高达万人 某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在 2017 年 4 月 1 日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日 12000 名游客中抽 取 100 人进行统计分析，结果如下： （表一） 年龄 频 数 频 率 男 女 0，10） 10 0.1 5 5 10，20） 20，30） 25 0.25 12 13 30，40） 20 0.2 10 10 40，50） 10 0.1 6 4 50，60） 10 0.1 3 7 6
35、0，70） 5 0.05 1 4 70，80） 3 0.03 1 2 80，90） 2 0.02 0 2 合计 100 1.00 45 55 （1）完成表格一中的空位，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计 2017 年 4 月 1 日当日接待游客中 30 岁以下人数 （2）完成表格二，并问你能否有 97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到 50 岁以上”与“性别”相关？ （3）按分层抽样（分 50 岁以上与 50 以下两层）抽取被调查的 100 位游客中的 . 10 人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这 10 人中选取 2 人接受 电视台采访，设这 2 人中年龄在 50 岁以上
36、（含）的人数为 ，求 的分布列 （表二） 50 岁以上 50 岁以下 合计 男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 P（K2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：k2=，其中 n=a+b+c+d） 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BL：独立性检验 【分析】 （1）由频率分布表的性质能完成表（一） ，从而能完成频率分布直方图， 进而求出 30 岁以下频率， 由此以频率作为概率， 能估计 2017 年 7 月
37、1 日当日接 待游客中 30 岁以下人数 （2）完成表格，求出 K2=4.045.024，从而得到没有 97.5%的把握认为在 观花游客中“年龄达到 50 岁以上”与“性别”相关 （3）由分层抽样应从这 10 人中抽取 50 岁以上人数：100.2=2 人，50 岁以下 人数 的取值可能 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列 【解答】解： （1）完成表（一） ，如下表： 年龄 频频男 女 . 数 率 0，10） 10 0.1 5 5 10，20） 15 0.15 7 8 20，30） 25 0.25 12 13 30，40） 20 0.2 10 10 40，50） 10 0.1
38、 6 4 50，60） 10 0.1 3 7 60，70） 5 0.05 1 4 70，80） 3 0.03 1 2 80，90） 2 0.02 0 2 合计 100 1.00 45 55 完成频率分布直方图如下： 30 岁以下频率为：0.1+0.15+0.25=0.5， 以频率作为概率， 估计 2017 年 7 月 1 日当日接待游客中 30 岁以下人数为： 12000 0.5=6000 （2）完成表格，如下： 50 岁以上 50 岁以下 合计 男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 K2=4.045.024， . 所以没有 97.5%的把握认为在观花游客中“
39、年龄达到 50 岁以上”与“性别”相关 （3）由分层抽样应从这 10 人中抽取 50 岁以上人数：100.2=2 人，50 岁以下 人数 的取值可能 0，1，2 P（=0）=， P（=1）=， P（=2）= 的分布列为： 0 1 2 P 20给定椭圆 C： =1（ab0） ，称圆心在原点 O，半径为的圆 是椭圆 C 的“准圆”若椭圆 C 的一个焦点为 F（，0） ，其短轴上的一个端点到 F 的距离为 （）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程； （）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1，l2交“准圆”于 点 M，N （） 当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时
40、， 求直线 l1， l2的方程并证明 l1l2； （）求证：线段 MN 的长为定值 . 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （）利用已知椭圆的标准方程及其即可得出； （） （i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于 x 的一元二次方程，利用直线与 椭圆相切=0，即可解得 k 的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明； （ii）分类讨论：l1，l2经过点 P（x0，y0） ，又分别交其准圆于点 M，N，无论两 条直线中的斜率是否存在，都有 l1，l2垂直即可得出线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径 【解答】 （）解：椭圆 C 的一个焦点为 F（，0） ，其短轴上的一个端点到 F 的
41、距离为 ， =1， 椭圆方程为， 准圆方程为 x2+y2=4 （）证明： （）准圆 x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 P（0，2） ， 设过点 P（0，2）且与椭圆相切的直线为 y=kx+2， 联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0 直线 y=kx+2 与椭圆相切， =144k249（1+3k2）=0，解得 k=1， l1，l2方程为 y=x+2，y=x+2 . ， l1l2 （）当直线 l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1斜率不存在， 则 l1：， 当 l1：时，l1与准圆交于点 ， 此时 l2为 y=1（或 y=1） ，显然直线 l1，l2垂直； 同理可证当 l1：
42、时，直线 l1，l2垂直 当 l1，l2斜率存在时，设点 P（x0，y0） ，其中 设经过点 P（x0，y0）与椭圆相切的直线为 y=t（xx0）+y0， 由 得 由=0 化简整理得， ，有 设 l1，l2的斜率分别为 t1，t2， l1，l2与椭圆相切， t1，t2满足上述方程 ， t1t2=1，即 l1，l2垂直 综合知：l1，l2经过点 P（x0，y0） ，又分别交其准圆于点 M，N，且 l1，l2 垂直 线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径，|MN|=4， 线段 MN 的长为定值 21已知函数 f（x）=x2alnx（aR） （1）若函数 f（x）在 x=2 处的切线方程为 y=
43、x+b，求 a，b 的值； （2）讨论方程 f（x）=0 解的个数，并说明理由 . 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；54：根的存在性及根的个数 判断；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （1）求出导函数，利用 f（x）在 x=2 处的切线方程为 y=x+b，列出方程 组求解 a，b （2）通过 a=0，a0，判断方程的解a0，求出函数的导数判断函数的单调 性，求出极小值，分析出当 a0，e）时，方程无解；当 a0 或 a=e 时，方程 有惟一解；当 ae 时方程有两解 【解答】解： （1）因为：（x0） ，又 f（x）在 x=2 处的切线方程为 y=x+b 所以 解
44、得：a=2，b=2ln2 （2）当 a=0 时，f（x）在定义域（0，+）上恒大于 0，此时方程无解； 当 a0 时，在（0，+）上恒成立， 所以 f（x）在定义域（0，+）上为增函数， 所以方程有惟一解 当 a0 时， 因为当时，f（x）0，f（x）在内为减函数； 当时，f（x）在内为增函数 所以当时，有极小值即为最小值 当 a（0，e）时，此方程无解； 当 a=e 时，此方程有惟一解 当 a（e，+）时， 因为且，所以方程 f（x）=0 在区间上有惟一解， 因为当 x1 时， （xlnx）0，所以 xlnx1， 所以， . 因为 ，所以 ， 所以 方程 f（x）=0 在区间上有惟一解 所以
45、方程 f（x）=0 在区间（e，+）上有惟两解 综上所述：当 a0，e）时，方程无解； 当 a0 或 a=e 时，方程有惟一解； 当 ae 时方程有两解 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程是 2=4cos+6sin12，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （I）写出直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （II）将曲线 C 向左平移 2 个单位长度，向上平移 3 个单位长度，得到曲线 D， 设曲线 D 经过伸缩变换得到曲线 E，设曲线 E 上任一点为 M（
46、x，y） ，求 的取值范围 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；O7：伸缩变换 【分析】 （I）直线 l 的参数方程消去数 t，能求出直线 l 的一般方程，由 cos=x， sin=y，2=x2+y2，能求出曲线 C 的直角坐标方程，由圆心（2，3）到直线 l 的 距离 d=r，得到直线 l 和曲线 C 相切 （II）曲线 D 为 x2+y2=1曲线 D 经过伸缩变换，得到曲线 E 的方程为 ， 从而点 M 的参数方程为（ 为参数） ， 由此能求出 的取值范围 【解答】解： （I）直线 l 的参数方程为（t 为参数） 消去数 t，得直线 l 的一般方程为， 曲线 C 的极坐标方程是 2=4cos+6sin12， . 由 cos=x，sin=y，2=x2+y2， 得曲线 C 的直角坐标方程为（x2）2+（y3）2=1 圆心（2，3）到直线 l 的距离 d=r， 直线 l 和曲线 C 相切 （II）曲线 D 为 x2+y2=1 曲线 D 经过伸缩变换，
