1、 . 2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科）学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在下列四个选项中，只有一个是分在下列四个选项中，只有一个是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1已知全集 U=R，集合 A=x|y=log2（x2+2x），B=y|y=1+，那么 AUB=（ ） Ax|0x1 Bx|x0 Cx|x2 Dx|1x2 2 在复平面内， 复数 g （x） 满足， 则 z 的共轭复数对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象
2、限 3在各项均为正数的等比数列an中，若 am+1am1=2am（m2） ，数列an的前 n 项积为 Tn，若 T2m1=512，则 m 的值为（ ） A4 B5 C6 D7 4已知函数 f（x）=sin2x+sinxsin（x+） ， （0）的最小正周期为 ，则 f（x） 在区间0，上的值域为（ ） A0， B， C，1 D， 5执行如图的程序框图，那么输出 S 的值是（ ） A2 B C1 D1 6在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项 重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ） A B C D . 7在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对边的边长，
3、若 cosA+sinA=0， 则的值是（ ） A1 B C D2 8一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm） ，则该 几何体的体积为（ ） A120 cm3 B80 cm3 C100 cm3 D60 cm3 9在ABC 中，BC=5，G，O 分别为ABC 的重心和外心，且=5，则ABC 的形 状是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能 10平行四边形 ABCD 中， =0，沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BDC，且 2| |2+|2=4，则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为（ ） A B C4 D2 11 已知双曲
4、线 C 的方程为=1， 其左、 右焦点分别是 F1、 F2， 已知点 M 坐标为 （2， 1） ， 双曲线 C 上点 P （x0， y0 ） （x00， y00） 满足=， 则 S S=（ ） A1 B1 C2 D4 12定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x） ，当 x0，2）时，f（x） =函数 g（x）=x3+3x2+m若 s4，2） ， t 4，2） ，不等式 f（s）g（t）0 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，12 B （，4 C （，8 D （， . 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）
5、分） 13 设 a=（sinx1+2cos2） dx， 则 （a） 6 （x2+2） 的展开式中常数项是 14以下四个命题中： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样， 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1， 某项测量结果 服从正态分布 N （1，a2） ，P（5）=0.81，则 P（3）=0.19， 对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说， k 越小， 判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大 以上命题中其中真命题的个数为 15已知圆 C： （x3）2+（y4）2=1 和两点
6、 A（m，0） ，B（m，0） （m0） ，若圆 C 上不存在点 P，使得APB 为直角，则实数 m 的取值范围是 16f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（x） ，若 f（x）f（x）1，f（0）=2016， 则不等式 f（x）2015ex+1（其中 e 为自然对数的底数）的解集为 三、解答题（本三、解答题（本大题共大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤）骤） 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 =（Sn，1） ， =（2n1，） ，满足条件 ， （1）求数列an的通项公式， （2）
7、设函数 f（x）=（）x，数列bn满足条件 b1=1，f（bn+1）= 求数列bn的通项公式， 设 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn 18如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA 丄底面 ABCD，AB 垂直于 AD 和 BC，SA=AB=BC=2，AD=1M 是棱 SB 的中点 （1）求证：AM平面 SCD； （2）求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值； （3）设点 N 是直线 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值 19心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从 兴趣小组
8、中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30 女 20） ，给所有同学几何题和代数题各 一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如右表： （单位：人） 几何题 代数题 总计 . 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，乙每次解答一道几 何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率 （3） 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究， 记甲、 乙两女生被抽到
9、的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 EX 附表及公式 P（k2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= 20已知椭圆 C： +=1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线xy+12=0 相切 （1）求椭圆 C 的方程， （2）设 A（4，0） ，过点 R（3，0）作与 x 轴不重合的直线 L 交椭圆 C 于 P，Q 两点，连 接 AP，AQ 分别交直线 x=于 M，N 两点，若直线 MR、NR 的斜率分别为 k1，k2，试
10、问： k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 21已知函数 f（x）=ln（x+1）x （1）求 f（x）的单调区间， （2）若 kZ，且 f（x1）+xk （1）对任意 x1 恒成立，求 k 的最大值， （3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数 a，是否存在正数 x0，使得 ef（x0）1x02 成立？请说明理由 请考生在请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修选修 4 一一 1：几何证明选讲：几何证明选讲 22 （选修 41：几何证明选讲） 如图，直线 AB 为圆的切线，切点
11、为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于 D （）证明：DB=DC； （）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径 . 选修选修 4 一一 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 23在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C： sin=2acos （a0） ，过点 P（2，4）的直线 L 的参数方程为，t（为 参数） ，直线 L 与曲线 C 分别交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 的平面直角坐标方程和直线 L 的普通方程； （2）若 PM，MN，PN 成等比数列，求实
12、数 a 的值 选修选修 4 一一 5：不等式选讲：不等式选讲 24已知函数 f（x）=|x+1|+2|x1| （）解不等式 f（x）4； （）若不等式 f（x）|a+1|对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在下列四个选项中，只有一个是分在下列四个选项中，只有一个是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1已知全集 U=R，集合
13、A=x|y=log2（x2+2x），B=y|y=1+，那么 AUB=（ ） Ax|0x1 Bx|x0 Cx|x2 Dx|1x2 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】根据真数大于零得x2+2x0，求出 x 的范围即求出集合 A，再由求出集 合 B，根据补集和交集得运算求解 【解答】解：由x2+2x0 得，0x2， A=x|y=log2（x2+2x）=x|0x2， 又，1+1， 则 B=y|y=1+=y|y1，UB=y|y1， 则 AUB=x|0x1， 故选：A 2 在复平面内， 复数 g （x） 满足， 则 z 的共轭复数对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
14、【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结 果 【解答】解：复数 z 满足 z（1+i）=|1+i|， 可得 z=1i， 复数 z 对应的点为（1，1） ， 在复平面内 z 的共轭复数 =1+i 对应的点为（1，1） ，在第一象限 故选：A 3在各项均为正数的等比数列an中，若 am+1am1=2am（m2） ，数列an的前 n 项积为 Tn，若 T2m1=512，则 m 的值为（ ） A4 B5 C6 D7 【考点】等比数列的前 n 项和 【分析】由已知条件推导出 am=2，从而 Tn=2n，
15、由 T2m1=512，得 22m1=512=29，由此能 求出结果 【解答】解：设数列an公比为 q am1=，am+1=amq， . am+1am1=2am， ， ， 解得 am=2，或 am=0（舍） ， T2m1=（am）2m1=512，22m1=512=29， 2m1=9，解得 m=5 故选：B 4已知函数 f（x）=sin2x+sinxsin（x+） ， （0）的最小正周期为 ，则 f（x） 在区间0，上的值域为（ ） A0， B， C，1 D， 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【分析】化简可得 f（x）=sin（2x）+，由周期公式可得 =1，可得 f（x）=sin（2x ）+，
16、由 x 的范围，可得所求 【解答】解：化简可得 f（x）=sin2x+）+sinxsin（x =+sinxcosx=+sin2xcos2x =sin（2x）+ ， 函数的最小正周期为 ， =，解得 =1， f（x）=sin（2x）+， x0， 2x， sin（2x），1， f（x）=sin（2x）+的值域为0， 故选：A 5执行如图的程序框图，那么输出 S 的值是（ ） . A2 B C1 D1 【考点】程序框图 【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，寻找规律，求出正确的结果 【解答】解：模拟程序框图的运行情况，如下； 开始，s=2，k=1；12013，是，s=1，k=1+1=2， 220
17、13，是，s=，k=2+1=3， 32013，是，s=2， 程序框图计算 s 的值是以 3 为周期的函数， 当 k=2012+1=2013 时，20132013，否，输出 s=，结束； 故选：B 6在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项 重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ） A B C D 【考点】二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率 【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出 n；求出展开式的项数； 令通项中 x 的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将 9 项排起来所有的排法； 利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典
18、概型的概率公式求出概率 . 【解答】解：展开式的通项为 展开式的前三项系数分别为 前三项的系数成等差数列 解得 n=8 所以展开式共有 9 项， 所以展开式的通项为= 当 x 的指数为整数时，为有理项 所以当 r=0，4，8 时 x 的指数为整数即第 1，5，9 项为有理项共有 3 个有理项 所以有理项不相邻的概率 P= 故选 D 7在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对边的边长，若 cosA+sinA=0， 则的值是（ ） A1 B C D2 【考点】正弦定理 【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函 数的值域确定出 cos（AB）与 s
19、in（A+B）的值，进而求出 AB 与 A+B 的度数，得到 A， B，C 的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果 【解答】解：由 cosA+sinA=0， 整理得： （cosA+sinA） （cosB+sinB）=2， 即 cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos（AB）+sin（A+B）=2， cos（AB）=1，sin（A+B）=1， AB=0，A+B=， 即 A=B=，C=， 利用正弦定理=2R，得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 则= 故选 B . 8一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示
20、（单位：cm） ，则该 几何体的体积为（ ） A120 cm3 B80 cm3 C100 cm3 D60 cm3 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由题意，几何体是长宽高分别是 5，4，6cm 的长方体剪去一个角，画出图形，明 确对应数据，计算体积即可 【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是 5，4，6cm 的长方体剪去一个角，如图：所 以几何体的体积为 546=100cm3； 故选 C 9在ABC 中，BC=5，G，O 分别为ABC 的重心和外心，且=5，则ABC 的形 状是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】
21、在ABC 中，G，O 分别为ABC 的重心和外心，取 BC 的中点为 D，连接 AD、 OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的 平方即为模的平方，可得，又 BC=5，则有|2 =| |2+|2| |2+|2，运用余弦定理即可判断三角形的形状 【解答】解：在ABC 中，G，O 分别为ABC 的重心和外心， 取 BC 的中点为 D，连接 AD、OD、GD，如图： 则 ODBC，GD=AD， . ， 由=5， 则（）= = =5， 即（）=5， 则， 又 BC=5， 则有|2 =| |2+|2|2+|2， 由余弦定理可得 cosC0， 即有 C 为钝角 则
22、三角形 ABC 为钝角三角形 故选：B 10平行四边形 ABCD 中， =0，沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BDC，且 2| |2+|2=4，则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为（ ） A B C4 D2 【考点】球的体积和表面积 【分析】由已知中=0，可得 ABBD，沿 BD 折起后，将四边形折起成直二面角 A 一 BDC，可得平面 ABD平面 BDC，可得三棱锥 ABCD 的外接球的直径为 AC，进而 根据 2|2+|2=4，求出三棱锥 ABCD 的外接球的半径，可得三棱锥 ABCD 的外 接球的表面积 【解答】解：平行四边形 ABCD 中， =0，ABBD， 沿 BD 折成
23、直二面角 ABDC， 将四边形折起成直二面角 A 一 BDC， 平面 ABD平面 BDC 三棱锥 ABCD 的外接球的直径为 AC， AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2， 2|2+|2=4， AC2=4 . 外接球的半径为 1， 故表面积是 4 故选：C 11 已知双曲线 C 的方程为=1， 其左、 右焦点分别是 F1、 F2， 已知点 M 坐标为 （2， 1） ， 双曲线 C 上点 P （x0， y0 ） （x00， y00） 满足=， 则 S S=（ ） A1 B1 C2 D4 【考点】双曲线的简单性质 【分析】利用 =，得出MF1P=MF1F2，进而求出直线 PF1的方 程
24、为 y=（x+3） ，与双曲线联立可得 P（3， ） ，由此即可求出 SS的 值 【解答】解：=，|MF1|cosMF1P=|MF1|cosMF1F2， MF1P=MF1F2 F1 （3，0） 、F2（3，0） ，点 M（2，1） ，|MF1|= ，|MF2|=，|F1F2|=2c=6， 故由余弦定理可得 cosMF1F2=，cosPF1F2=2cos2 MF1F21=， sinPF1F2= ，tanPF1F2=， 直线 PF1的方程为 y=（x+3） 把它与双曲线联立可得 P（3，） ，|PF1 |=， sinMF1F2=，SPMF1= =， S= =， S S= =2 . 12定义在 R
25、上的函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x） ，当 x0，2）时，f（x） =函数 g（x）=x3+3x2+m若 s4，2） ， t 4，2） ，不等式 f（s）g（t）0 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，12 B （，4 C （，8 D （， 【考点】其他不等式的解法；特称命题 【分析】由 f（x+2）=f（x）得 f（）=2f（）=2（2）=4，x4，3，f （）=2f（）=8， s4，2） ，f（s）最小=8，借助导数判断： t4，2） ，g（t）最小=g（4）=m 16， 不等式 f（s）g（t）0 恒成立，得出 f（s）小=8g（t）最小=g（4）=m16，求解即 可
26、 【解答】解：当 x0，2）时，f（x）=， x0，2） ，f（0）=为最大值， f（x+2）=f（x） ， f（x）=2f（x+2） ， x2，0， f（2）=2f（0）=2=1， x4，3， f（4）=2f（2）=21=2， s4，2） ， f（s）最大=2， f（x）=2f（x+2） ， x2，0， f（）=2f（）=2（2）=4， x4，3， f（）=2f（）=8， s4，2） ， f（s）最小=8， 函数 g（x）=x3+3x2+m， . g（x）=3x2+6x， 3x2+6x0，x0，x2， 3x2+6x0，2x0， 3x2+6x=0，x=0，x=2， 函数 g（x）=x3+3x2
27、+m，在（，2） （0，+）单调递增 在（2，0）单调递减， t4，2） ，g（t）最小=g（4）=m16， 不等式 f（s）g（t）0， 8m16， 故实数满足：m8， 故选 C 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13设 a=（sinx1+2cos2）dx，则（a） 6（x2+2）的展开式中常数项是 332 【考点】二项式系数的性质 【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得 常数项的值 【解答】解：设=（cosx+sinx） =1+1=2， 则多项式（a）6（x2+2）=
28、（2 ）6（x2+2） = + +（x2+2） ， 故展开式的常数项为212=12320=332， 故答案为：332 14以下四个命题中： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样， 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1， 某项测量结果 服从正态分布 N （1，a2） ，P（5）=0.81，则 P（3）=0.19， 对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说， k 越小， 判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大 以上命题中其中真命题的个数为 2 【考点】命题的真假判断与应用 . 【
29、分析】根据抽样方法的定义和特点即可判断； 利用相关性系数 r 的意义去判断； 根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断 根据随机变量 k2的观测值 k 越大， “X 与 Y 有关系”的把握程度越大， 判断是否为真命 题 【解答】解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行 某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故错误， 根据线性相关系数 r 的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r 的绝对值越接近于 1，故正确； 某项测量结果 服从正态分布 N（1，a2） ，则曲线关于直线 x=1 对称，P（5）=P（1 5）+0.5=0.81， 则 P（15）=0.31，故
30、P（31）=0.31，即有 P（3）=P（1）P（3 1）=0.50.31=0.19，故正确 根据两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 k2的观测值 k 来说，k 越大，判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大，得是假命题故错误， 故正确的是， 故答案为：2 15已知圆 C： （x3）2+（y4）2=1 和两点 A（m，0） ，B（m，0） （m0） ，若圆 C 上不存在点 P，使得APB 为直角，则实数 m 的取值范围是 （0，4）（6，+） 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】C： （x3）2+（y4）2=1 的圆心 C（3，4） ，半径 r=1，设 P（a，b）在圆 C 上， 则=（a
31、+m，b） ，=（am，b） ，由已知得 m2=a2 +b 2=|OP|2，m 的最值即为|OP|的最 值，可得结论 【解答】解：圆 C： （x3）2+（y4）2=1 的圆心 C（3，4） ，半径 r=1， 设 P（a，b）在圆 C 上，则=（a+m，b） ，=（am，b） ， 若APB=90，则， =（a+m） （am）+b2=0， m2=a2+b2=|OP|2， m 的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6最小值为 51=4， m 的取值范围是（0，4）（6，+） 故答案为： （0，4）（6，+） 16f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（x） ，若 f（x）f
32、（x）1，f（0）=2016， 则不等式 f（x）2015ex+1（其中 e 为自然对数的底数）的解集为 （0，+） 【考点】函数的单调性与导数的关系 【分析】设 g（x）=exf（x）ex，利用导数性质得 y=g（x）在定义域上单调递增，从而 得到 g（x）g（0） ，由此能求出 f（x）2015ex+1（其中 e 为自然对数的底数）的解集 【解答】解：设 g（x）=exf（x）ex， 则 g（x）=exf（x）+exf（x）+ex=exf（x）f（x）1， f（x）f（x）1，f（x）f（x）10， g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增， f（x）2015ex+1，g（x）2015，
33、 g（0）=e0f（0）e0=f（0）1=20161=2015， . g（x）g（0） x0， f（x）2015ex+1（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（0，+） 故答案为： （0，+） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤）骤） 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 =（Sn，1） ， =（2n1，） ，满足条件 ， （1）求数列an的通项公式， （2）设函数 f（x）=（）x，数列bn满足条件 b1=1，f（bn+1）= 求数列bn的通项公式， 设 c
34、n=，求数列cn的前 n 项和 Tn 【考点】数列的求和；数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 （1）运用向量共线的坐标表示，可得 Sn=2n+12，再由当 n1 时，an=SnSn1， n=1 时，a1=S1，即可得到所求通项公式； （2）运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式； 求得 Cn=，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简 整理即可得到所求和 【解答】解： （1）由向量 =（Sn，1） ， =（2n1，） ， ， 可得Sn=2n1，即 Sn=2n+12， 当 n1 时，an=SnSn1=（2n+12）（2n2）=2n， 当 n
35、=1 时，a1=S1=2，满足上式 则有数列an的通项公式为 an=2n，nN*； （2）f（x）=（）x，b1=1，f（bn+1）= 可得（）=（）， 即有 bn+1=bn+1，可得bn为首项和公差均为 1 的等差数列， 即有 bn=n； Cn=，前 n 项和 Tn=1 +2（）2+（n1）（）n1+n（）n， Tn=1（）2+2（）3+（n1）（）n+n（）n+1， . 相减可得， Tn=+（）2+（）n1+（）nn（）n+1 =n（）n+1， 化简可得，前 n 项和 Tn=2 18如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA 丄底面 ABCD，AB 垂直于 AD
36、 和 BC，SA=AB=BC=2，AD=1M 是棱 SB 的中点 （1）求证：AM平面 SCD； （2）求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值； （3）设点 N 是直线 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （1）以点 A 为坐标原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能证明 AM平面 SCD （2）求出平面 SAB 的一个法向量和平面 SCD 的一个法向量，由此利用向量法能求出平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值 （
37、3）设 N（x，2x2，0） ，则=（x，2x3，1） ，利用向量法能求出 sin 的得最大值 【解答】证明： （1）在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA 丄底面 ABCD， AB 垂直于 AD 和 BC，SA=AB=BC=2，AD=1M 是棱 SB 的中点， 以点 A 为坐标原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（2，2，0） ，D（1，0，0） ，S（0，0，2） ，M（0，1，1） ， =（0，1，1） ，=（1，0，2） ，=（1，2，0） ， 设平面 SCD 的一个法
38、向量为 =（x，y，z） ， 则，令 z=1，得 =（2，1，1） ， =0， AM平面 SCD，AM平面 SCD 解： （2）由题意平面 SAB 的一个法向量 =（1，0，0） ， 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ，由题意 0， 则 cos= ， . 平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值为 （3）设 N（x，2x2，0） ，则=（x，2x3，1） ， 平面 SAB 的一个法向量 =（1，0，0） ，MN 与平面 SAB 所成的角为 sin=|cos|= =| | = = 当，即 x=时，sin 取得最大值（sin）max= 19心理学家分析发现视觉和空间能力与性
39、别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30 女 20） ，给所有同学几何题和代数题各 一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如右表： （单位：人） 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，乙每次解答一道几 何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率 （3） 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们
40、的答题情况进行全程研究， 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 EX 附表及公式 P（k2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= 【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出 观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论； （2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率； . （3）确定 X 的可能值有 0，1，2依次
41、求出相应的概率求分布列，再求期望即可 【解答】解： （1）由表中数据得 K2的观测值 ， 所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关； （2） 设甲、 乙解答一道几何题的时间分别为 x、 y 分钟， 则基本事件满足的区域为 （如图所示） 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为 xy， 由几何概型即乙比甲先解答完的概率为； （3）由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中 甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都 被抽到有种， X 可能取值为 0，1，2， X 的分布列为： X 0 1 2 P 20已知椭圆 C： +=1
42、（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线xy+12=0 相切 （1）求椭圆 C 的方程， . （2）设 A（4，0） ，过点 R（3，0）作与 x 轴不重合的直线 L 交椭圆 C 于 P，Q 两点，连 接 AP，AQ 分别交直线 x=于 M，N 两点，若直线 MR、NR 的斜率分别为 k1，k2，试问： k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得 a，b 的值，进而 得到椭圆方程； （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，直线
43、 PQ 的方程为 x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定 理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值 【解答】解： （1）由题意得 e=，a2b2=c2， 以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+12=0 相切， 可得 d=b，解得 a=4，b=2，c=2， 故椭圆 C 的方程为=1； （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 直线 PQ 的方程为 x=my+3，代入椭圆方程 3x2+4y2=48， 得（4+3m2）y2+18my21=0， y1+y2 = ，y1y2 = ， 由 A，P，M 三点共线可知， =，即 yM=； 同理可得 yN= 所以 k
44、1k2= 因为（x1+4） （x2+4）=（my1+7） （my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49， 所以 k1k2= = 即 k1k2为定值 21已知函数 f（x）=ln（x+1）x （1）求 f（x）的单调区间， （2）若 kZ，且 f（x1）+xk （1）对任意 x1 恒成立，求 k 的最大值， . （3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数 a，是否存在正数 x0，使得 ef（x0）1x02 成立？请说明理由 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （1）求导 f（x） ，解关于导函数的不等式，从而判断函数的单调区间； （2） 化简可得 x
45、lnx+xkx+3k0， 令 g （x） =xlnx+xkx+3k， 求导 g （x） =lnx+1+1k=lnx+2 k，从而讨论判断函数的单调性，从而求最大值； （3） 假设存在这样的 x0满足题意， 从而化简可得x02+10， 令 h （x） =x2+ 1，取 x0=lna，从而可得 hmin，根据函数的单调性求出 x0的值即可 【解答】解： （1）f（x）=ln（x+1）x， f（x）=1=， 当 x（1，0）时，f（x）0； 当 x（0，+）时，f（x）0； 故 f（x）的单调增区间为（1，0） ，单调减区间为（0，+） ； （2）f（x1）+xk（1） ， lnx（x1）+xk（1） ， lnx+1k（1） ， 即 xlnx+xkx+3k0， 令 g（x）=xlnx+xkx+3k， 则 g（x）=lnx+1+1k=lnx+2k， x1， lnx0， 若 k2，g（x）0 恒成立， 即 g（x）在（1，+）上递增； g（1）=1+2k0， 解得，k； 故k2， 故 k 的最大值为 2； 若 k2，由 lnx+2k0 解得 xek2， 故 g（x）在（1，ek2）上单调
