1、 . 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学（）理科数学（） 第卷第卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.设集合 2 |60,Ax xxxZ， |,Bz zxyxA yA，则集合AB=（ ） A0,1 B0,1,2 C0,1,2,3 D 1,0,1,2 2.设复数z满足12 1 z i i ，则 1 | z =（ ） A5 B 1 5 C 5 5 D 5
2、 25 3.若 1 cos() 43 ，(0,) 2 ，则sin的值为（ ） A. 42 6 B 42 6 C. 7 18 D 2 3 4.已知直角坐标原点O为椭圆:C 22 22 1(0) xy ab ab 的中心， 1 F， 2 F为左、右焦点，在区间(0,2)任 取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O： 2222 xyab没有交点”的概率为（ ） A. 2 4 B 42 4 C. 2 2 D 22 2 5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E： 22 22 1(0,0) xy ab ab ，当其离心率 2,2e时，对应双曲线的渐近线的夹
3、角的取值范围为（ ） A0, 6 B, 63 C., 4 3 D, 3 2 6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32，则它的表面积是（ ） . A. 3 13 (3)222 2 B 3 133 ()222 42 C. 13 22 2 D 13 22 4 7.函数sinln|yxx在区间 3,3的图象大致为（ ） A B C D 8.二项式 1 () (0,0) n axab bx 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大， 且展开式中的第 3 项的系数是 第 4 项的系数的 3 倍，则ab的值为（ ） A4 B8 C.12 D16 9.执行下图的程序框图，若输入的0x，1y ，1n
4、 ，则输出的p的值为（ ） A.81 B 81 2 C. 81 4 D 81 8 10.已知数列 1 1a ， 2 2a ，且 2 22( 1)n nn aa ， * nN，则 2017 S的值为（ ） A2016 1010 1 B1009 2017 C.2017 1010 1 D1009 2016 11.已知函数( )sin()f xAx(0,0,|) 2 A 的图象如图所示， 令( )( )( )g xf xfx，则下 列关于函数( )g x的说法中不正确的是（ ） . A. 函数( )g x图象的对称轴方程为() 12 xkkZ B函数( )g x的最大值为2 2 C. 函数( )g x
5、的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线:31l yx平行 D方程( )2g x 的两个不同的解分别为 1 x， 2 x，则 12 |xx最小值为 2 12.已知函数 32 ( )31f xaxx，若( )f x存在三个零点，则a的取值范围是（ ） A(, 2) B( 2,2) C.(2,) D( 2,0)(0,2) 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第本卷包括必考题和选考题两部分，第 1313 题第题第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222 题和第题和第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.
6、 . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.向量( , )am n，( 1,2)b ，若向量a，b共线，且| 2|ab，则mn的值为 14.设点M是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 15.设x，y满足约束条件 230, 220, 220, xy xy xy 则 y x 的取值范围为 16.在平面五边形ABCDE中， 已知120A ，90B ，120C，90E ，3AB
7、，3AE ， 当五边形ABCDE的面积6 3,9 3)S 时，则BC的取值范围为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . . 17.已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1 2 a ， 1 21 nn SS * (2,)nnN. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 1 2 log nn ba * ()nN求 1 1 nn b b 的前n项和 n T. 18.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，2ABa，120ABC，AC与BD相交于 O点，四边形BDEF为直角梯形，/DEBF，BDDE，22
8、2DEBFa，平面BDEF 底面 ABCD. （1）证明：平面AEF 平面AFC； （2）求二面角EACF的余弦值. 19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从 该年级 800 名学生中随机抽取 100 名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计 数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数； （2）若等级A、B、C、D、E分别对应 100 分、90 分、80 分、70 分、60 分，学校要求平均分达 90 分 以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校
9、高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取 11 个学生样 本，再从中任意选取 3 个学生样本分析，求这 3 个样本为A级的个数的分布列与数学期望. 20. 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点 23 (,) 22 P，动直线l：ykxm交 . 椭圆C于不同的两点A，B，且0OA OB（O为坐标原点） （1）求椭圆C的方程. （2）讨论 22 32mk是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 21. 设函数 22 ( )lnf xaxxax ()a
10、R. （1）试讨论函数( )f x的单调性； （2）设 2 ( )2()lnxxaax，记( )( )( )h xf xx，当0a时，若方程( )()h xm mR有两个不 相等的实根 1 x， 2 x，证明 12 ()0 2 xx h . 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C： 3cos , 2sin xt yt （t为参数，0a），在以坐标原点为极点，x轴的非 负半轴为极轴的
11、极坐标系中，曲线 2 C：4sin. （1）试将曲线 1 C与 2 C化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围； （2）当3a 时，两曲线相交于A，B两点，求|AB. 23. 选修 4-5：不等式选讲. 已知函数( ) |21|1|f xxx. （1）在下面给出的直角坐标系中作出函数( )yf x的图象，并由图象找出满足不等式( )3f x 的解集； （2）若函数( )yf x的最小值记为m，设, a bR，且有 22 abm，试证明： 22 1418 117ab . 参考答案及解析参考答案及解析 理科数学（）理科数学（） 一、选择题一、选择题 . 1-5:BCAA
12、D 6-10:AABCC 11、12：CD 二、填空题二、填空题 13.-8 14. 6251 22 e 15. 2 7 , 5 4 16. 3,3 3) 三、解答题三、解答题 17.解：（1）当2n时，由 1 21 nn SS 及 1 1 2 a ， 得 21 21SS，即 121 221aaa，解得 2 1 4 a . 又由 1 21 nn SS ， 可知 1 21 nn SS ， -得 1 2 nn aa ，即 1 1 (2) 2 n n a n a . 且1n 时， 2 1 1 2 a a 适合上式，因此数列 n a是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列，故 1 2 n n
13、a * ()nN （2）由（1）及 1 2 log nn ba * ()nN， 可知 1 2 1 log ( ) 2 n n bn， 所以 1 1111 (1)1 nn b bn nnn ， 故 22 31 111 n nnn T b bb bb b 11111 (1)()() 2231nn 1 1 11 n nn . 18.解：（1）因为底面ABCD为菱形，所以ACBD， 又平面BDEF 底面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD， 因此AC 平面BDEF，从而ACEF. 又BDDE，所以DE 平面ABCD， 由2ABa，22 2DEBFa，120ABC， 可知 22 426AFaaa，2B
14、Da， 22 426EFaaa， 22 482 3AEaaa， . 从而 222 AFFEAE，故EFAF. 又AFACA，所以EF 平面AFC. 又EF 平面AEF，所以平面AEF 平面AFC. （2）取EF中点G，由题可知/OGDE，所以OG 平面ABCD，又在菱形ABCD中，OAOB，所 以分别以OA，OB，OG的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz（如图示）， 则(0,0,0)O，( 3 ,0,0)Aa，(3 ,0,0)Ca，(0,2 2 )Eaa，(0, ,2 )Faa， 所以(0,2 2 )( 3 ,0,0)AEaaa(3 ,2 2 )aaa， (3 ,0,0)( 3
15、 ,0,0)ACaa ( 2 3 ,0,0)a，(0, ,2 )(0,2 2 )EFaaaa(0,2 ,2 )aa. 由（1）可知EF 平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为(0,2 ,2 )EFaa. 设平面AEC的法向量为( , , )nx y z， 则 0, 0, n AE n AC 即 32 20, 0, xyz x 即 2 2 , 0, yz x 令2z ，得4y ， 所以(0,4,2)n . 从而cos, n EF 63 3| |6 3 n EFa nEFa . 故所求的二面角EACF的余弦值为 3 3 . 19.解：（1）从条形图中可知这 100 人中，有 56 名学生成绩等级
16、为B， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为 5614 10025 ， 则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有 14 800448 25 . . （2）这 100 名学生成绩的平均分为 1 (32 10056 907 803 702 60) 100 91.3， 因为91.390，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关. （3）由题可知用分层抽样的方法抽取 11 个学生样本，其中A级 4 个，B级 7 个，从而任意选取 3 个，这 3 个为A级的个数的可能值为 0，1，2，3. 则 03 47 3 11 7 (0) 33 C C P C ， 12 47 3 11 28 (
17、1) 55 C C P C ， 21 47 3 11 14 (2) 55 C C P C ， 30 47 3 11 4 (3) 165 C C P C . 因此可得的分布列为： 则 728144 ( )0123 335555165 E 12 11 . 20.解：（1）由题意可知 2 2 c a ，所以 2222 22()acab，即 22 2ab， 又点 23 (,) 22 P在椭圆上，所以有 22 23 1 44ab ， 由联立，解得 2 1b ， 2 2a ， 故所求的椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （2）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由0OA OB， 可知 1
18、212 0x xy y. 联立方程组 2 2 , 1, 2 ykxm x y 消去y化简整理得 222 (1 2)4220kxkmxm， 由 2222 168(1)(1 2)0k mmk ，得 22 12km，所以 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 1 2 m x x k ， . 又由题知 1212 0x xy y， 即 1212 ()()0x xkxm kxm， 整理为 22 1212 (1)()0kx xkm xxm. 将代入上式，得 2 22 22 224 (1)0 1 21 2 mkm kkmm kk . 化简整理得 22 2 322 0 1 2 mk k ，
19、从而得到 22 322mk. 21. 解： （1） 由 22 ( )lnf xaxxax ， 可知 2 ( )2 a fxxa x 22 2(2)()xaxaxa xa xx . 因为函数( )f x的定义域为(0,)，所以， 若0a时，当(0, )xa时，( )0fx ，函数( )f x单调递减， 当( ,)xa时，( )0fx ，函数( )f x 单调递增； 若0a时，当( )20fxx在(0,)x内恒成立，函数( )f x单调递增； 若0a时，当(0,) 2 a x时，( )0fx ，函数( )f x单调递减，当(,) 2 a x 时，( )0fx ，函 数( )f x单调递增. （2）
20、证明：由题可知( )( )( )h xf xx 2 (2)lnxa xax(0)x ， 所以( )2(2) a h xxa x 2 2(2)(2)(1)xa xaxa x xx . 所以当(0,) 2 a x时，( )0h x ；当(,) 2 a x时，( )0h x ；当 2 a x 时，( )0 2 a h. 欲证 12 ()0 2 xx h ，只需证 12 ()( ) 22 xxa hh ，又 2 ( )20 a hx x ，即( )h x单调递增，故只需证明 12 22 xxa . 设 1 x， 2 x是方程( )h xm的两个不相等的实根，不妨设为 12 0xx， 则 2 111 2
21、 222 (2)ln, (2)ln, xa xaxm xa xaxm 两式相减并整理得 1212 (lnln)a xxxx 22 1212 22xxxx， . 从而 22 1212 1212 22 lnln xxxx a xxxx ， 故只需证明 22 121212 1212 22 22(lnln) xxxxxx xxxx ， 即 22 1212 12 1212 22 lnln xxxx xx xxxx . 因为 1212 lnln0xxxx， 所以（*）式可化为 12 12 12 22 lnln xx xx xx ， 即 1 12 1 2 2 22 ln 1 x xx x x x . 因为
22、12 0xx，所以 1 2 01 x x ， 不妨令 1 2 x t x ，所以得到 22 ln 1 t t t ，(0,1)t. 记 22 ( )ln 1 t R tt t ，(0,1)t，所以 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t R t ttt t ，当且仅当1t 时，等号成立， 因此( )R t在(0,1)单调递增. 又(1)0R， 因此( )0R t ，(0,1)t， 故 22 ln 1 t t t ，(0,1)t得证， 从而 12 ()0 2 xx h 得证. 22.解：（1）曲线 1 C： 3cos , 2sin , xt yt 消去参数t可得普通方程为 222 (3
23、)(2)xya. 曲线 2 C：4sin，两边同乘.可得普通方程为 22 (2)4xy. 把 22 (2)4yx代入曲线 1 C的普通方程得： 222 (3)413 6axxx， . 而对 2 C有 222 (2)4xxy，即22x ，所以 2 125a故当两曲线有公共点时，a的取值范围 为1,5. （2）当3a 时，曲线 1 C： 22 (3)(2)9xy， 两曲线交点A，B所在直线方程为 2 3 x . 曲线 22 (2)4xy的圆心到直线 2 3 x 的距离为 2 3 d ， 所以 48 2 | 2 4 93 AB . 23. 解：（1）因为( ) |21|1|f xxx 3 ,1, 1
24、 2, 1, 2 1 3 ,. 2 x x xx x x 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式( )3f x 的解集为 1,1. （2）证明：由图可知函数( )yf x的最小值为 3 2 ，即 3 2 m . 所以 22 3 2 ab，从而 22 7 11 2 ab ， 从而 22 14 11ab 22 22 214 (1)(1)() 71 ab aab 22 22 214(1) 5() 711 ba ab 22 22 21 4(1)18 52 7117 ba ab . . 当且仅当 22 22 14(1) 11 ba ab 时，等号成立， 即 2 1 6 a ， 2 4 3 b 时，有最小值， 所以 22 1418 117ab 得证. . . . . . . . .
