1、 . 2015-2016 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 已知集合 A=1， 3， 4， 5， 集合 B=xZ|x24x50， 则 AB 的子集个数为 （ ） A2 B4 C8 D16 2如图，复平面上的点 Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数 z 所对应的点为 Z1， 则复数 zi（i 是虚数单位）的
2、共轭复数所对应的点为（ ） AZ1 BZ2 CZ3 DZ4 3下列四个函数，在 x=0 处取得极值的函数是（ ） y=x3y=x2+1y=|x|y=2x A B C D 4已知变量 x，y 满足： ：，则 z=（）2x +y 的最大值为（ ） A B2 C2 D4 5执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A5 B6 C7 D8 6两个等差数列的前 n 项和之比为，则它们的第 7 项之比为（ ） A45：13 B3：1 C80：27 D2：1 7在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布， （0） ，若 在（80，120）内的概 率为 0.8，则落在（0，80）内的概率为（ ） A0.0
3、5 B0.1 C0.15 D0.2 . 8函数 f（x）=Asinx（A0，0）的部分图象如图所示，则 f（1）+f（2）+f（3）+f A0 B3 C6 D 9若（1+x） （12x）7=a0 +a 1x+a2x2+a8x8，则 a1 +a 2+a7的值是（ ） A2 B3 C125 D131 10已知圆 C1：x2+2cx+y2=0，圆 C2：x22cx+y2=0，c 是椭圆 C： +=1 的半焦距， 若圆 C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A，1） B （0， ） C，1） D （0， 11定义在 R 上的函数 f（x）对任意 x1、x2（x1x2）都有0，且函数 y=f
4、（x1）的图象关于（1，0）成中心对称，若 s，t 满足不等式 f（s22s）f（2tt2） ， 则当 1s4 时，的取值范围是（ ） A3，） B3， C5， ） D5， 12正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为，此时四 面体 ABCD 外接球表面积为（ ） A7 B19 C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 14已知向量与的夹角为 60，且 ，若，且， 则实数 的值为 . 15已知双曲线的半焦距为 c，过右焦点且斜
5、率为 1 的直线与 双曲线的右支交于两点，若抛物线 y2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是（e 为双 曲线的离心率） ，则 e 的值为 16用 g（n）表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数；例如：9 的因数有 1，3，9，g （9）=9，10 的因数有 1，2，5，10，g（10）=5，那么 g（1）+g（2）+g（3）+g= 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=，b=3， sinB+sin
6、A=2 （） 求角 A 的大小； （） 求ABC 的面积 18某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台） ，并根据这 10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中， 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场” （）当 a=b=3 时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m，乙型号电视机的“星级卖场” 数量为 n，比较 m，n 的大小关系； （）在这 10 个卖场中，随机选取 2 个卖场，记 X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的 个数，求 X 的分布列和数学期望 （）若 a=1，记乙型号电视机销售量的方差
7、为 s2，根据茎叶图推断 b 为何值时，s2达到最 小值 （只需写出结论） 19如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，BAD=60，DEAB 于点 E，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1DDC，如图 （1）求证：A1E平面 BCDE； （2）求二面角 EA1BC 的余弦值； （3） 判断在线段 EB 上是否存在一点 P， 使平面 A1DP平面 A1BC？若存在， 求出的值； 若不存在，说明理由 . 20如图，已知椭圆： +y2=1，点 A，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交于点 D，且与椭圆相交于 E、F 两点 （）若=6，求 k 的值
8、； （）求四边形 AEBF 面积的最大值 21设函数 f（x）=x2（a2）xalnx （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数 a 的值； （3）若方程 f（x）=c 有两个不相等的实数根 x1，x2，求证： 四四.请考生在请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修【选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】 22如图，直线 PQ 与O 相切于点 A，AB 是O 的弦，PAB 的平分线 AC 交O 于点 C，连结 CB，并延长与直线 PQ 相交于点 Q （
9、）求证：QCBC=QC2QA2； （）若 AQ=6，AC=5求弦 AB 的长 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 x Oy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 （）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （）若点 P 坐标为，圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24 （1）已知函数 f（x）=|x1|+|x+3|，求 x 的取值范围，使 f（x）为常函数； （2）若 x，y，zR，x2+y2 +z
10、 2=1，求 m= x+y+ z 的最大值 . . 2015-2016 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 已知集合 A=1， 3， 4， 5， 集合 B=xZ|x24x50， 则 AB 的子集个数为 （ ） A2 B4 C8 D16 【考点】交集及其运算 【分析】求出集合 B，
11、根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】解：B=xZ|x24x50=B=xZ|1x5=0，1，2，3，4， 则 AB=1，3，4， 故 AB 的子集个数为 23=8 个， 故选：C 2如图，复平面上的点 Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数 z 所对应的点为 Z1， 则复数 zi（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） AZ1 BZ2 CZ3 DZ4 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【分析】判断复数的几何意义，利用复数的乘法运算法则，推出结果即可 【解答】解：由题意可知复数 z 所对应的点为 Z1，是虚部大于 0 的纯虚数，则复数 zi 是负 实数， 对应点在 x 负半
12、轴，即 Z2，共轭复数是 Z2 故选：B 3下列四个函数，在 x=0 处取得极值的函数是（ ） y=x3y=x2+1y=|x|y=2x A B C D 【考点】函数在某点取得极值的条件 . 【分析】结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（，0）与（0，+）有单调性 的改变，若满足则正确，否则结论不正确 【解答】解：y=3x20 恒成立，所以函数在 R 上递增，无极值点 y=2x，当 x0 时函数单调递增；当 x0 时函数单调递减且 y|x=0=0符合 结合该函数图象可知在（0，+）递增，在（，0递减，符合 y=2x在 R 上递增，无极值点 故选 B 4已知变量 x，y 满足： ：，则 z=（
13、）2x +y 的最大值为（ ） A B2 C2 D4 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设 m=2x+y，利用线性规划的知识求出 m 的最大值 即可求出 z 的最大值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 设 m=2x+y 得 y=2x+m， 平移直线 y=2x+m， 由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 A 时，直线 y=2x+m 的截距最大， 此时 m 最大 由，解得，即 A（1，2） ， 代入目标函数 m=2x+y 得 z=21+2=4 即目标函数 z=（）2x+y的最大值为 z=（）4=4 故选：D 5执行如图所示的程序框图，输出的结果是
14、（ ） . A5 B6 C7 D8 【考点】程序框图 【分析】模拟执行程序框图，根据判断条件依次写出每次循环得到的 n，i 的值，当 n=475 时满足条件 n123，退出循环，输出 i 的值为 6 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 n=12，i=1 满足条件 n 是 3 的倍数，n=8，i=2，不满足条件 n123， 不满足条件 n 是 3 的倍数，n=31，i=3，不满足条件 n123， 不满足条件 n 是 3 的倍数，n=123，i=4，不满足条件 n123， 满足条件 n 是 3 的倍数，n=119，i=5，不满足条件 n123， 不满足条件 n 是 3 的倍数，n=475，i=6，
15、满足条件 n123，退出循环，输出 i 的值为 6 故选：B 6两个等差数列的前 n 项和之比为，则它们的第 7 项之比为（ ） A45：13 B3：1 C80：27 D2：1 【考点】等差数列的性质 【分析】直接把两等差数列第 7 项之比化为前 13 项和的比得答案 【解答】解：设两个等差数列分别为an，bn，它们的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 则=， 故选：B 7在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布， （0） ，若 在（80，120）内的概 率为 0.8，则落在（0，80）内的概率为（ ） A0.05 B0.1 C0.15 D0.2 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
16、 . 【分析】根据 服从正态分布 N，得到曲线的对称轴是直线 x=100，利用 在（80，120）内 取值的概率为 0.8，即可求得结论 【解答】解： 服从正态分布 N 曲线的对称轴是直线 x=100， 在（80，120）内取值的概率为 0.8， 在（0，100）内取值的概率为 0.5， 在（0，80）内取值的概率为 0.50.4=0.1 故选：B 8函数 f（x）=Asinx（A0，0）的部分图象如图所示，则 f（1）+f（2）+f（3）+f A0 B3 C6 D 【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【分析】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性
17、质，根据 函数是一个周期函数，我们可以将 f（1）+f（2）+f=8=，故解得：=，可得函数 解析式为：f（x）=2sinx， 所以，有：f（1）= f（2）=2 f（3）= f（4）=0 f（5）= f（6）=2 f（7）= f（8）=0 f（9）= 观察规律可知函数 f（x）的值以 8 为周期，且 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6） +f（7）+f（8）=0， 由于 2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f （6）+f（7）=0 故选：A 9若（1+x） （12x）7=a0 +a 1x+a2x2+
18、a8x8，则 a1 +a 2+a7的值是（ ） A2 B3 C125 D131 【考点】二项式系数的性质 【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的 x 赋值 0 与 1 即可求得 a1 +a 2+a8的值 【解答】解：（1+x） （12x）7=a0 +a 1x+a2x2+a8x8， a8=（2）7=128 . 令 x=0 得： （1+0） （10）7=a0，即 a0=1； 令 x=1 得： （1+1） （12）7=a0 +a 1 +a 2+a7 +a 8=2， a1+a2+a7=2a0a8=21+128=125 故选 C 10已知圆 C1：x2+2cx+y2=0，圆 C2：x22cx+y2
19、=0，c 是椭圆 C： +=1 的半焦距， 若圆 C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A，1） B （0， ） C，1） D （0， 【考点】椭圆的简单性质 【分析】首先把圆的方程转化成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的 右顶点的距离与圆的半径的关系式，最后利用 e 的范围求出结果 【解答】解：已知圆 C1：x2+2cx+y2=0， 转化成标准形式为： （x+c）2 +y 2=c2， 圆 C2：x22cx+y2=0， 转化成标准形式为： （xc）2 +y 2=c2， 圆 C1，C2都在椭圆内， 所以： （c，0）到（a，0）的距离大于 c 则：|ca|c 解得：
20、a2c 由于：e= 所以：e， 由于椭圆的离心率 e（0，1） 则：0e 故选：B 11定义在 R 上的函数 f（x）对任意 x1、x2（x1x2）都有0，且函数 y=f（x1）的图象关于（1，0）成中心对称，若 s，t 满足不等式 f（s22s）f（2tt2） ， 则当 1s4 时，的取值范围是（ ） A3，） B3， C5， ） D5， 【考点】函数单调性的性质 【分析】根据已知条件便可得到 f（x）在 R 上是减函数，且是奇函数，所以由不等式 f（s2 2s）f（2tt2）便得到，s22st22t，将其整理成（st） （s+t2）0，画出不 . 等式组所表示的平面区域设，所以得到 t=，
21、通 过图形求关于 s 的一次函数的斜率范围即可得到 z 的范围，从而求出的取值范围 【解答】解：由已知条件知 f（x）在 R 上单调递减，且关于原点对称； 由 f（s22s）f（2tt2）得： s22st22t； （st） （s+t2）0； 以 s 为横坐标，t 为纵坐标建立平面直角坐标系； 不等式组所表示的平面区域，如图所示： 即ABC 及其内部，C（4，2） ； 设，整理成：； ； ，解得：； 的取值范围是 故选：D 12正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为，此时四 面体 ABCD 外接球表面积为（ ） A7 B19 C D 【考点】球的体积
22、和表面积 . 【分析】三棱锥 BACD 的三条侧棱 BDAD、DCDA，底面是等腰三角形，它的外接 球就是它扩展为三棱柱的外接球， 求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离， 就是球 的半径，然后求球的表面积即可 【解答】解：根据题意可知三棱锥 BACD 的三条侧棱 BDAD、DCDA，底面是等腰 三角形， 它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球， 求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶 点的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面BDC，BD=CD=1，BC=，BDC=120，BDC 的外接圆的半径 为=1 由题意可得：球心到底面的距离为， 球的半径为 r= 外接球的表面积为：4r2=7 故选：A
23、二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】 首先根据三视图把平面图转换成立体图形， 进一步利用几何体的体积公式求出结果 【解答】解：根据三视图得知： 该几何体是以底面边长为 2 的正方形，高为的四棱锥， 所以：V= 故答案为： 14已知向量与的夹角为 60，且 ，若，且， 则实数 的值为 1 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论 【解答】解：向量与的夹角为 60，且， . 向
24、量 =| |cos60=22=2， ，且， =（+）=0， 即 +=0， 则 （ ）+（）=0， 即 2+2 =0， 则 24+42=0， 2=2，解得 =1， 故答案是：1 15已知双曲线的半焦距为 c，过右焦点且斜率为 1 的直线与 双曲线的右支交于两点，若抛物线 y2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是（e 为双 曲线的离心率） ，则 e 的值为 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出 a 和 c 的关 系，从而求出离心率的值 【解答】解：抛物线 y2=4cx 的准线：x=c，它正好经过双曲线 C： =1（ab 0）的左焦点， 当
25、 x=c 时，=1，即=1=，即 y=， 即准线被双曲线 C 截得的弦长为：， 抛物线 y2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是 ， =be2， 即： c2=3ab， 2c4=9a2（c2a2） ， 2e49e2+9=0 e=或 ， 又过焦点且斜率为 1 的直线与双曲线的右支交于两点， 渐近线 y=x 的斜率1， 即 bc，则 b2c2， 即 c2a2a2， . 则 c22a2， ca， 则 e= e= 故答案为： 16用 g（n）表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数；例如：9 的因数有 1，3，9，g （9） =9， 10 的因数有 1， 2， 5， 10， g （10） =5， 那么
26、 g （1） +g （2） +g （3） +g= 【考点】数列的求和 【分析】 本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用， 即利用出题的意图求数列的 和 【解答】解：根据 g（n）的定义易知当 n 为偶数时，g（n）=g（n） ， 且若 n 为奇数则 g（n）=n， 令 f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+g（2n1） 则 f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+g（2n+11） =1+3+（2n+11）+g（2）+g（4）+g（2n+12） =+g（1）+g（2）+g（2n1）=4n+f（n） 即 f（n+1）f（n）=4n 分别取 n 为 1，2，n 并累加得 f（n+1）f
27、（1）=4+42+4n=（4n1） 又 f（1）=g（1）=1，所以 f（n+1）=+1 所以 f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+g（2n1）=（4n11）+1 令 n=2015 得 g（1）+g（2）+g（3）+g= 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=，b=3， sinB+sinA=2 （） 求角 A 的大小； （） 求ABC 的面积 . 【考点】正弦定理；余弦定理 【分析】
28、（）锐角ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据 sinB+sinA=2，求得 sinA 的值，可得角 A 的值 （） 锐角ABC 中， 由条件利用余弦定理求得 c 的值， 再根据ABC 的面积为bcsinA， 计算求得结果 【解答】解： （）锐角ABC 中，由条件利用正弦定理可得=， sinB=3sinA， 再根据sinB+sinA=2，求得 sinA=，角 A= （） 锐角ABC 中， 由条件利用余弦定理可得 a2=7=c2+96ccos， 解得 c=1 或 c=2 当 c=1 时，cosB=0，故 B 为钝角，这与已知ABC 为锐角三角形相 矛盾，故不满足条件 当
29、c=2 时，ABC 的面积为bcsinA=32= 18某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台） ，并根据这 10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中， 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场” （）当 a=b=3 时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m，乙型号电视机的“星级卖场” 数量为 n，比较 m，n 的大小关系； （）在这 10 个卖场中，随机选取 2 个卖场，记 X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的 个数，求 X 的分布列和数学期望 （）若 a=1，记乙型号电视机销售量的方差为 s2
30、，根据茎叶图推断 b 为何值时，s2达到最 小值 （只需写出结论） 【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差 【分析】 （）根据茎叶图，可得甲、乙组数据的平均数，甲型号电视机的“星级卖场”数量 为 m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 n=5，可得结论； （）X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期 望 （）若 a=1，b=0 时，s2达到最小值 . 【解答】解： （）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为 =24， 乙组数据的平均数为=26.5， 甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 n=5
31、， 所以 m=n； （）X 的可能取值为 0，1，2， P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=， X 的分布列为： X 0 1 2 P E=0+1+2=1 （）若 a=1，b=0 时，s2达到最小值 19如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，BAD=60，DEAB 于点 E，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1DDC，如图 （1）求证：A1E平面 BCDE； （2）求二面角 EA1BC 的余弦值； （3） 判断在线段 EB 上是否存在一点 P， 使平面 A1DP平面 A1BC？若存在， 求出的值； 若不存在，说明理由 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面之间的位
32、置关系；直线与平面垂直的判定 【分析】 （1）证明 DC平面 A1DE，可得 DCA1E，利用 A1EDE，DCDE=D，可得 A1E平面 BCDE； （2）以 EB，ED，EA1分别为 x，y，z 轴，建立坐标系，求出平面 A1BE、平面 A1BC 的一 个法向量，利用向量的夹角公式求二面角 EA1BC 的余弦值； （3）设 P（t，0，0） （0t2） ，求出平面 A1DP 的法向量，利用平面 A1DP平面 A1BC， 可得结论 【解答】 （1）证明：DEBE，BEDC， DEDC， A1DDC，A1DDE=D， DC平面 A1DE， DCA1E， . A1EDE，DCDE=D， A1E平
33、面 BCDE； （2）解：由题意，以 EB，ED，EA1分别为 x，y，z 轴，建立坐标系，则 DE=2， A1（0，0，2） ，B（2，0，0） ，C（4，2，0） ，D（0，2，0） ， =（2，0，2） ，=（2，2，0） ， 平面 A1BE 的一个法向量为 =（0，1，0） ， 设平面 A1BC 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则 ， =（，1，） ， cos ， =， 二面角 EA1BC 的余弦值为； （3）解：在线段 EB 上不存在一点 P，使平面 A1DP平面 A1BC， 设 P（t，0，0） （0t2） ，则=（t，0，2） ，=（0，2，2） ， 设平面 A1DP 的法向
34、量为 =（a，b，c） ，则 ， =（2，t） ， 平面 A1DP平面 A1BC， 2+t=0， t=3， 0t2， 在线段 EB 上不存在一点 P，使平面 A1DP平面 A1BC 20如图，已知椭圆： +y2=1，点 A，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交于点 D，且与椭圆相交于 E、F 两点 （）若=6，求 k 的值； （）求四边形 AEBF 面积的最大值 . 【考点】椭圆的简单性质 【分析】 （） 由椭圆的方程可得 A， B 的坐标， 设直线 AB， EF 的方程分别为 x+2y=2， y=kx， D（x0，kx0） ，E（x1，kx1） ，F（x2，
35、kx2） ，且 x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得 x2 的表达式，进而根据=6，求得 x0的表达式，由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2，进而求得 x0 的另一个表达式，两个表达式相等求得 k （）由题设可知|BO|和|AO|的值，设 y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形 AEBF 的面 积，进而根据基本不等式的性质求得最大值 【解答】解： （）椭圆： +y2=1，A（2，0） ，B（0，1） ， 直线 AB，EF 的方程分别为 x+2y=2，y=kx（k0） 如图，设 D（x0，kx0） ，E（x1，kx1） ，F（x2，kx2） ，其中 x1x2， 且 x
36、1，x2满足方程（1+4k2）x2=4， 故 x2=x1= 由=6，知 x0x1=6（x2x0） ，得 x0=（6x2 +x 1）= x2=， 由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2，得 x0=， 所以=， 化简得 24k225k+6=0， 解得 k=或 k= （）由题设，|BO|=1，|AO|=2 由（）知，E（x1，kx1） ，F（x2，kx2） ， 不妨设 y1=kx1，y2=kx2，由得 x20， 根据 E 与 F 关于原点对称可知 y2=y10， 故四边形 AEBF 的面积为 S=SOBE+SOBF+SOAE+SOAF =|OB|（x1）+|OB|x2+|OA|y2+|OA|（y
37、1） =|OB|（x2x1）+|OA|（y2y1）=x2+2y2 =2， . 当 x2=2y2时，上式取等号所以 S 的最大值为 2 21设函数 f（x）=x2（a2）xalnx （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数 a 的值； （3）若方程 f（x）=c 有两个不相等的实数根 x1，x2，求证： 【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明 【分析】 （1）对 a 分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出； （2）由（1）可得，若函数 f（x）有两个零点，则 a0，且 f（x）的最小值，即 可化为 h（a）=利用单
38、调性判断其零点所处的 最小区间即可得出； （3） ）由 x1，x2是方程 f（x）=c 得两个不等实数根，由（1）可知：a0不妨设 0x1 x2则， 两式相减得+alnx2=0，化为 a= 由， 当时， f （x） 0， 当 时，f（x）0故只要证明即可，即证明，令换 元，再利用导数即可证明 【解答】解： （1）x（0，+） = 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+0 上单调递增，即 f（x）的单调递增区间为 （0，+） 当 a0 时，由 f（x）0 得；由 f（x）0，解得 所以函数 f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）由（1）可得，若函数 f（x）有两个零点，则
39、a0，且 f（x）的最小值，即 a0， . 令 h （a） =a+4， 可知 h （a） 在 （0， +） 上为增函数， 且 h （2） =2， h （3） = =， 所以存在零点 h（a0）=0，a0（2，3） ， 当 aa0时，h（a）0；当 0aa0时，h（a）0 所以满足条件的最小正整数 a=3 又当 a=3 时，f（3）=3（2ln3）0，f（1）=0，a=3 时，f（x）由两个零点 综上所述，满足条件的最小正整数 a 的值为 3 （3）x1，x2是方程 f（x）=c 得两个不等实数根，由（1）可知：a0 不妨设 0x1x2则 ， 两式相减得+alnx2=0， 化为 a= ，当时，f
40、（x）0，当时，f（x）0 故只要证明即可， 即证明 x1+x2 ，即证明， 设，令 g（t）=lnt，则= 1t0，g（t）0 g（t）在（0，1）上是增函数，又在 t=1 处连续且 g（1）=0， 当 t（0，1）时，g（t）0 总成立故命题得证 四四.请考生在请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修【选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】 22如图，直线 PQ 与O 相切于点 A，AB 是O 的弦，PAB 的平分线 AC 交O 于点 C，连结 CB，并延长与直线 PQ 相交于点 Q （）
41、求证：QCBC=QC2QA2； （）若 AQ=6，AC=5求弦 AB 的长 . 【考点】与圆有关的比例线段 【分析】 （1）由已知得BAC=CBA，从而 AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明 QCBC=QC2QA2 （2）由已知求出 QC=9，由弦切角定理得QAB=ACQ，从而QABQCA，由此能 求出 AB 的长 【解答】 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 1 证明： （1）PQ 与O 相切于点 A，PAC=CBA， PAC=BAC，BAC=CBA， AC=BC=5， 由切割线定理得： QA2=QBQC=（QCBC）QC， QCBC=QC2QA2 （2）由 AC=BC=5
42、，AQ=6 及（1） ，知 QC=9， 直线 PQ 与O 相切于点 A，AB 是O 的弦， QAB=ACQ，又Q=Q， QABQCA， =，AB= 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 x Oy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 （）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （）若点 P 坐标为，圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程 【分析】 （）先利用两方程相加，消去参数 t 即可得到 l 的普
43、通方程，再利用直角坐标与 极坐标间的关系， 即利用 cos=x， sin=y，2=x2 +y 2，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程 （）把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB| 的值 【解答】解： （）由得直线 l 的普通方程为 x+y3=0 2 分 又由得 2=2sin，化为直角坐标方程为 x2+（y）2=5； 5 分 （）把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， 得（3t）2+（t）2=5，即 t23t+4=0 设 t1，t2是上述方程的两实数根， 所以 t1+t2=3 . 又直线 l 过点 P，A、B 两点对应的参数分别为 t
44、1，t2， 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1 +t 2=3 10 分 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24 （1）已知函数 f（x）=|x1|+|x+3|，求 x 的取值范围，使 f（x）为常函数； （2）若 x，y，zR，x2+y2 +z 2=1，求 m= x+y+ z 的最大值 【考点】柯西不等式的几何意义；函数的最值及其几何意义 【分析】 （1）去绝对值号可得 f（x）=|x1|+|x+3|=，从而确定使 f （x）为常函数时 x 的取值范围； （2）由柯西不等式可得（x2+y2 +z 2） （ +）（ x+y+ z） 2；从而解得 【解答】解： （1）f（x）=|x1|+|x+3|=， 故当 x3，1时，f（x）为常数函数； （2）由柯西不等式可得， （x2+y2+z2） （ +）（ x+y+ z）2 ； 即（ x+y+ z）2 9； 故 x+y+ z3； 故 m= x+y+ z 的最大值为 3 . 2016 年年 10 月月 18 日日
