1、 . 20172017 年高考衡水猜题卷年高考衡水猜题卷 理科数学理科数学 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.设全集 2 250,QxxxxN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是（ ） A3 B4 C7 D8 2.已知i是虚数单位，复数 5 12 i i 的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 3.某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，
2、第五个值丢失，但该样本的数为1，则样本方差为 （ ） A2 B 6 5 C2 D 30 5 4.双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于（ ） A4 B2 2 C.2 D4 2 5.若不等式组 0, 2 , 10 x yx kxy 表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ） A 1 5 B 1 4 C. 1 2 D 1 5 或 1 4 6.已知 10 sin2cos 2 ，则tan2（ ） A 4 3 B 3 4 C. 3 4 D 4 3 7.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智
3、慧，其中第六章“均输”中，有一 竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为35，则输入a的 值为（ ） . A4 B5 C.7 D11 8.如图，过抛物线 2 20ypx p的焦点F的直线l交抛物线于点,A B，交其准线于点C，若 2BCBF，且3AF ，则此抛物线方程为（ ） A 2 9yx B 2 6yx C. 2 3yx D 2 3yx 9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是 该三棱锥的三视图的是（ ） A B C. D 10.在ABC中，2,cos1ABACBCA，则cosA的值所在区间为（ ） A0.4, 0.3 B0.2, 0.1
4、 C.0.3, 0.2 D0.4,0.5 11.已知符号函数 1,0, sgn0,0, 1,0, x xx x 那么 32 sgn31yxxx的大致图象是（ ） A B C. D 12.已知函数 2 x x ea f x e ，对于任意的 12 ,1,2x x ，且 121212 ,0xxf xf xxx 恒成 . 立，则实数a的取值范围是（ ） A 22 , 44 ee B 22 , 22 ee C. 22 , 33 ee D 22 ,e e 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题
5、纸上） 13.已知 2201622018 0122018 12222xxaaxaxax，则 3201812 23 2018 2222 aaaa 的值是 14.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的, ,A B C D E，这五个区域内，要 求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有 种 15.已知函数 sinf xx，若存在 12 , m x xx满足 12 06 m xxx，且 12231 122, mm f xf xf xf xf xf xmm N，则m的最小值 为 16.已知等腰直角ABC的斜边2BC ，沿斜边的高线AD将ABC折起，使二面角BAD C
6、为 3 ， 则四面体ABCD的外接球的表面积为 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知等差数列 n a的公差为2，前n项和为 n S，且 421 ,SSS成等比数列. （I）求数列 n a的通项公式； （II）令 1 1 4 1 n n nn n b a a ，求数列 n b的前n项和 n T. 18. 如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形，AE 平面CDE，已知2,AEDEF为线 段DF的中点. . （I）求证：BE平面ACF； （
7、II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角. 19. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000 余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景 观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自 成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日 葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人. 某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进 园游客进行取样
8、调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下： 年龄 频数 频率 男 女 0,10 10 0.1 5 5 10,20 20,30 25 0.25 12 13 30,40 20 0.2 10 10 40,50 10 0.1 6 4 50,60 10 0.1 3 7 60,70 5 0.5 1 4 70,80 3 0.3 1 2 80,90 2 0.2 0 2 合计 100 1.00 45 55 . （I）完成表一中的空位，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客 中30岁以下的游戏的人数. (II)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游
9、客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关； (表二） 50岁以上 50岁以下 合计 男生 女生 合计 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd ） （III）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费 领取龙虎山内部景区门票， 再从这10人中选取2人接受电视台采访， 设这2人中年龄在50岁以上 （含50岁） 的人数为，求的分
10、布列. 20. 给定椭圆 22 22 :10 xy Cab ab ，称圆心在原点O，半径为 22 ab的圆是椭圆C的“准圆”. 若椭圆C的一个焦点为 2,0F，其短轴上的一个端点到F的距离为3. (I)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程； (II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线 12 ,l l交“准圆”于点,M N. . (i)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线 12 ,l l的方程，并证明 12 ll； (ii)求证:线段MN的长为定值. 21. 已知函数 2 1 ln 2 f xxax aR. (I）若函数 f x在2x处的切线方程为yxb，求a和b的值; (I
11、I)讨论方程 0f x 的解的个数，并说明理由. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是 2 4 cos6 sin12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面 直角坐标系，直线l的参数方程为 ty tx 2 3 1 2 1 2 (t为参数）. (I)写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； (II)将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换 , 2 , xx
12、 yy 得到曲线E，设曲线E上任一点为,M x y，求 1 3 2 xy的取值范围. 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 ,f xxa aR. (I)当5a时，解不等式 3f x ； (II)当1a 时，若x R，使得不等式121 2f xfxm 成立，求实数m的取值范围. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5:DBAAD 6-10:CACDA 11、12：DB . 二、填空题二、填空题 13. 2018 1 2 14.18 15.8 16. 7 3 三、解答题三、解答题 17.解： （I）因为 11 Sa， 211 2 1 2222 2 Saa ， 411 4 3 42412
13、2 Saa ， 由题意，得 2 111 22412aaa， 解得 1 1a ， 所以21, n ann N. （II）由题意，可知 1 1 4 1 n n nn n b a a 14 1 21 21 nn nn 111 1 2121 n nn . 当n为偶数时， 111111112 11 335232121212121 n n T nnnnnn ； 当n为奇数时， 12 22 12 1 1) 12 1 12 1 () 12 1 32 1 (.) 5 1 3 1 () 3 1 1 ( n n nnnnn Tn . 所以 22 , 21 2 , 21 n n n n T n n n 奇 偶 为数,
14、 为数. （或 1 211 21 n n n T n ） . 18.解： （1）连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点. 因为F为DE的中点，所以OFBE. 因为BE 平面,ACF OF 平面AFC， 所以BE平面ACF. (II)因为AE 平面,CDE CD 平面CDE， 所以AECD. 因为ABCD为正方形，所以CDAD. 因为,AEADA AD AE平面DAE， 所以CD平面DAE. 因为DE 平面DAE，所以DECD. 所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 2,0,01,0,0 ,2,0,2 0,0,0,FDE
15、A. 因为AE 平面,CDE DE 平面CDE, 所以AECD. 因为2AEDE，所以2 2AD. 因为四边形ABCD为正方形， 所以2 2CD， 所以 0,2 2,0C. 由四边形ABCD为正方形， 得 2,2 2,2DBDADC, 所以 2,3 2,2B. . 设平面BEF的一个法向量为 1111 ,nx y z，又知 0, 2 2, 2 ,1,0,0BEFE， 由 1 11 11 0 2 220, 0,0 n BE yz xn FE 令 1 1y ，得 11 0,2xz， 所以 1 0,1,2n . 设平面BCF的一个法向量为 2221 2 ,nx y z，又知( 2 02), ,(12
16、 2 0)BCCF , 由 22 2 222 220, 0 2 20,0 xz nBC xynCF 令 2 1y ，得 22 2 2,2 2xz， 所以 2 2 2,1, 2 2n . 设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为， 又 12 12 12 1 45 51 cos, 51317 n n n n n n ， 则 5 51 cos 51 . 所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为 5 51 51 . 19.解：（I）完成表（一）：15;0.15;7;8. 完成以下频率分布直方图： 因为年龄在30岁以下的频率为0.1 0.15 0.250.5， 以频率作为概率，估计2017年4
17、月1日当日接待游客中30岁以下的人数为12000 0.56000. . （II）完成2 2列联表如下： 50岁以上 50岁以下 合计 男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 2 K的观测值 2 100 5 4040 15400 4.0405.024 20 80 55 4599 k ， 所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关. (III)由分层抽样应从这10人中抽取到50岁以上的人的人数为10 0.22人， 50岁以下的人的人数为8人， 故的所有可能的取值为0,1,2. 02 28 2 10 28 0 45 C C P C ，
18、 11 28 2 10 16 1 45 C C P C ， 20 28 2 10 1 2 45 C C P C ， 故的分布列为 0 1 2 P 28 45 16 45 1 45 20.解：（I）因为由题易知2,3ca， 所以1b， 所以椭圆的方程为 2 2 1 3 x y， 准圆的方程为 22 4xy. (II)(i)因为准圆 22 4xy与y轴的正半轴的交点为0,2P， 设过点0,2P且与椭圆相切的直线为2ykx， . 由 2 2 2, 1, 3 ykx x y 得 22 1 31290kxkx. 因为直线2ykx与椭圆相切， 所以 22 1444 9 1 30kk ，解得1k . 所以
19、12 ,l l的方程分别为2ykx，2yx . 因为 12 1k k ，所以 12 ,l l. (ii)当直线 12 ,l l中有一条斜率不存在时，不妨设直线 1 l的斜率不存在，则 1 l的方程为3x . 当 1 l的方程为3x ， 1 l与准圆交于点 3,1， 3, 1， 此时 2 l的方程为1y （或1y ） 显然直线 12 ,l l垂直. 同理可证 1: 3lx ，直线 12 ,l l垂直. 当直线 12 ,l l斜率均存在时， 设点 00 ,P x y，其中 22 00 4xy. 设经过点 00 ,P x y与椭圆相切的直线为 00, yt xxy 由 00 2 2 , 1, 3 y
20、t xxy x y 得 2 22 0000 1 36330txt ytxxytx . 由0 ，化简整理，得 222 0000 3210xtx y ty . 因为 22 00 4xy， 所以有 222 0000 3210xtx y ty . 设直线 12 ,l l的斜率分别为 12 ,t t， . 因为 12 ,l l与椭圆相切， 所以 12 ,t t满足方程 222 0000 3230xtx y tx. 所以 12 ,1t t ，即 12 ll. 综合知，因为 12 ,l l经过 00 ,P x y， 又分别交准圆于点,M N，且 12 ,l l相互垂直， 所以线段MN为准圆 22 4xy的直
21、径， 所以4MN ， 所以经段MN的长为定值. 21.解： （I）因为 0 a fxxx x ， 又 f x在2x处的切线方程为yxb， 所以 22ln22, 221 2 a fab f， 解得2,2ln2ab . （II）当0a时， f x在定义域0,内恒大于0，此时方程无解. 当0a时， 0 a fxx x 在区间0,内恒成立， 所以 f x的定义域内为增函数. 因为 11 11 10,10 22 aa ffee ， 所以方程有唯一解. 当0a时， 2 xa fx x . 当 0,xa时， 0fx ， f x在区间0,a内为减函数， 当 ,xa时， 0fx ， f x在区间,xa内为增函数
22、， . 所以当xa时， 取得最小值 1 1 ln 2 faaa. 当0,ae时， 1 1 ln0 2 faaa，无方程解； 当ae时， 1 1 ln0 2 faaa，方程有唯一解. 当,ae时， 1 1 ln0 2 faaa， 因为 1 10 2 f，且1a ， 所以方程 0f x 在区间 0,a内有唯一解， 当1x 时， 设 1 ln ,10g xxx gx x ， 所以 g x在区间1,内为增函数， 又 11g，所以ln0xx，即ln0x， 故 22 11 ln 22 f xxaxxax. 因为21aa， 所以 2 2 1 2220 2 faaa. 所以方程 0f x 在区间 ,a 内有唯
23、一解， 所以方程 0f x 在区间0,内有两解， 综上所述，当0,ae时，方程无解， 当0a，或ae时，方程有唯一解， 当ae时，方程有两个解. 22.解： （I）直线l的一般方程为32 310xy ， 曲线C的直角坐标方程为 22 231xy. 因为 2 2 332 3 1 1 31 ， . 所以直线l和曲线C相切. （II）曲线D为 22 1xy. 曲线D经过伸缩变换 , 2 , xx yy 得到曲线E的方程为 2 2 1 4 y x ， 则点M的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数） ， 所以 1 33cossin2sin 23 xy ， 所以 1 3 2 xy的取值范围为2,2. 23.解： （I）当5a时，原不等式等价于53x， 即35328xx ， 所以解集为28xx. （II）当1a 时， 1f xx. 令 12g xf xfx 1 33, 2 1 2211,2, 2 33,2, xx xxxx xx 由图象，易知 1 2 x 时， g x取得最小值 3 2 . 由题意，知 31 1 2 24 mm ， 所以实数m的取值范围为 1 , 4 . . . . . . . . . .
