1、 . 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 log1Pxx ， 1Qx x，则PQ （ ） A 1 0, 2 B 1 ,1 2 C0,1 D 1 1, 2 2. 已知i为虚数单位，复数z满足 2 3 13i1 iz ，则z为（ ） A 1 2 B 2 2 C 2 4 D 2 16 3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何
2、体的三视图，该几何体的体积为（ ） A8 B12 C18 D24 4. 已知命题p：方程 2 210xax 有两个实数根；命题q：函数 4 f xx x 的最小值为4给出下列 命题： pq；pq；pq；pq 则其中真命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 5. 由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（ ） A10 3 B4 C16 3 D6 6. 函数 2 1 cos 1ex fxx 的图象的大致形状是（ ） . A B C D 7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A 13 21 B 21 13 C 8 13 D13 8 8. 定义在R上的函数 f x满
3、足 1f xfx， 04f，则不等式 ee3 xx f x （其中e为自 然对数的底数）的解集为（ ） A0, B ,03, C ,00, D3, 9. 若实数a，b，c，d满足 2 2 2 3ln20baacd，则 22 acbd的最小值为（ ） A2 B2 C2 2 D8 10. 已知 2 1,01, 3 log,1, 2 xx f x xx 存在 21 0xx，使得 12 f xf x，则 12 x f x的取值范围为 （ ） A 3 ,2 4 B 3 ,2 2 C 3 4 , 4 3 D 2 ,2 3 11. 设函数 32 1 3 3 f xxxx， 若方程 2 10f xt f x
4、有12个不同的根， 则实数t的取值范围 . 为（ ） A 10 , 2 3 B, 2 C 34 , 2 15 D1,2 12. 设曲线 exf xx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1 l，总存在曲线 32cosg xaxx 上某点处的切线 2 l，使得 12 ll，则实数a的取值范围为（ ） A1,2 B3, C 2 1 , 3 3 D 1 2 , 3 3 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题分，将答案填在答题纸上）纸上） 13. 设1m， 变量x，y在约束条件 , , 1 yx ymx xy 下，
5、目标函数zxmy的最大值为2， 则m_ 14. 函数exymx在区间0,3上有两个零点，则m的取值范围是_ 15. 已知函数 322 3f xxmxnxm在1x时有极值0，则mn_ 16. 定义在R上的函数 f x满足： 2 fxf xx，当0x时， fxx，则不等式 1 1 2 fxfxx的解集为_ 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 cos2cos3cos abc ABC （1）求角A
6、的大小； （2）若ABC的面积为3，求a的值 18.（本小题满分 12 分） 函数 2 1 ( )ln2 2 f xxaxx （1）当3a 时，求 f x的单调区间； （2）若1,a ，1,ex ，有 0f xb，求实数b的取值范围 19.（本小题满分 12 分） . 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4 sin7bAa （1）求sinB的值； （2）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求coscosAC的值 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 42 lnf xaxbxax（, a bR） （1）若函数 yf x存在极大值和极小值，求 b a 的取值范围； （2）设
7、m，n分别为 f x的极大值和极小值，若存在实数 2 e 1e1 , 2e2 e baa ，使得1m n，求a的 取值范围 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xxx， ex x g x （1）记 F xf xg x，判断 F x在区间1,2内的零点个数并说明理由； （2）记 F x在1,2内的零点为 0 x， min,m xf xg x，若 m xn（nR）在1,内 有两个不等实根 1 x， 2 x（ 12 xx） ，判断 12 xx与 0 2x的大小，并给出对应的证明 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选
8、一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AE是圆O的切线，A是切点，ADOE于D，割线EC交圆O于B，C两点 （1）证明：O，D，B，C四点共圆； （2）设50DBC，30ODC，求OEC的大小 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 10,xt yt （t为参数） ， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， . 圆C的极坐标方程为 2 4 sin20 （1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）将直线l向右平移h个单位，所得直线 l 与圆C相切，求h 24.
9、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxaa，aR， 21g xx （1）若当 5g x 时，恒有 6f x ，求a的最大值； （2）若当xR时，恒有 3f xg x，求a的取值范围 试卷答案试卷答案 一、选择题 . 1.A 2.C 3. B 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.A 11.C 12.D 11解析： 32 1 3 3 f xxxx， 2 230fxxx ，3x，1x ，函数在, 3 ，1, 单调递增，且在3,1单调递减，函数的极大值为39f ，函数的极小值为 5 1 3 f ，根据函数的 图象可知， 设 f xm， 可知 2 10m
10、tm ， 原方程有12个不同的根， 则 2 10mtm 方程应在 5 0, 3 内有两个不同的根，设 2 1h mmtm则 2 5 0 3 534 02 2315 40 h t t t ，所以取值的范围 34 2 15 t 二、填空题 13. 12m 14. 3 e e, 3 15. 11 16. 1 2 x 三、解答题 17.解（1） cos2cos3cos abc ABC ， sinsinsin cos2cos3cos ABC ABC ， 即 tantan tan 23 BC A ，则tan2tanBA，tan3tanCA 又在ABC中， tantan tantan 1 tantan BC
11、 ABC BC 则 2 2tan3tan tan 1 6tan AA A A ，解得 2 tan1A ， tan1A或tan1A， . 2 sin 5 B ， 3 sin 10 C 在ABC中有 sinsin ab AB ， 则 2 sin2 10 5 sin52 2 B baaa A ， 则 2 112 1033 sin3 225510 ABC a SabCaa 得 2 5a ，所以5a 18.（）增区间 1 0, 3 是，减区间 1 , 3 ； （） 3 , 2 试题解析： （） 2 321xx fx x （0x） ， 1 0, 3 x 时， 0fx， f x单增 1 , 3 x 时， 0
12、fx， f x单减。 （）首先，对于任意1,a ， 2 1 ln2 2 xaxxb恒成立，则 2 max 1 ln2 2 bxaxx 因为函数 22 11 ln22ln 22 h axaxxx axx 在1, 上是减函数， 所以 2 1 12ln 2 h ahxxx， 2 1 2ln 2 bxxx 其次，1,xe ，使不等式 2 1 2ln 2 bxxx成立，于是 2 min 1 2ln 2 bxxx 令 2 1 2ln 2 g xxxx，则 2 11 20 x gxx xx ，所以函数 g x在1,e上是增函数，于 . 是 min 3 1 2 g xg，故 3 2 b ，即b的取值范围是 3
13、 , 2 19. （）由4 sin7bAa，根据正弦定理得4sinsin7sinBAA， 所以 7 sin 4 B 4 分 （）由已知和正弦定理以及（）得 7 sinsin 2 AC 设coscosACx， 2 + 2 ，得 2 7 22cos 4 ACx 7 分 又abc，ABC，所以090B，coscosAC， 故 3 coscos 4 ACB 10 分 代入式得 2 7 4 x 因此 7 coscos 2 AC 20.解： （） 2 2242 24 aaxbxa fxaxb xx ，其中0x2 分 由于函数 yf x存在极大值和极小值，故方程 0fx有两个不等的正实数根， 即 2 242
14、0axbxa有两个不等的正实数根记为 1 x， 2 x，显然0a4 分 所以 22 12 12 160, 2 0, 10. ba b xx a x x 解得1 b a 6 分 （）由 2 e 1e1 , 2e2 e baa 得0a，且 2 e 1 e1 , 2e2 e b a 由（）知 f x存在极大值和极小值 设 0fx的两根为 1 x， 2 x（ 12 0xx） ，则 f x在 1 0,x上递增，在 12 ,x x上递减，在 2, x 上 . 递增，所以 1 mf x， 2 nf x 因为 12 1x x ，所以 12 01xx ，而且 2 121 1 12e 1 e1 , ee b xx
15、x xa ， 由于函数 1 yx x 在0,1上单调递减，所以 1 11 ee x10 分 又由于 2 2420 ii axbxa（1,2i ） ，所以 2 224 ii axabx（1,2i ） 所以 12 mnf xf x 22 111222 42 ln42 lnaxbxaxaxbxax 2222 121212 22222lnlna xxaxaaxaaxx 22 11 2 1 1 2 lna xax x 令 2 1 tx，则 1 2 lnmna tat t ，令 2 111 2ln ee h tttt t 所以 2 22 112 10 t h t ttt ， 所以 h t在 2 1 1 ,
16、 ee 上单调递减，所以 122 ee2ee4h t 由 1mnah t，知 1 a h t ，所以 221 11 ee4ee2 a ，1 分 21.解： （）证明： ln x x F xxx e ，定义域为0,x， 1 1 ln x x Fxx e ， 而1,2x，故 0Fx，即 F x在1,2上单调递增， 2 分 又 1 1F e ， 2 2 22ln20F e ，而 F x在1,2上连续，故根据根的存在性定理有： F x在区 间1,2有且仅有唯一实根 4 分 （）由（）知， 1 1 ln x x Fxx e ，当1x 时， 0Fx ，且存在 0 1,2x 使得 000 0F xf xg
17、x，故 0 1xx时， f xg x；当 0 xx时， f xg x . 因而 0 0 ln ,1 , x xxxx m x x xx e ， 6 分 显然当 0 1xx时， lnm xxx， 1 ln0m xx 因而 m x单增；当 0 xx时， x x m x e ， 1 0 x x m x e ，因而 m x递减； m xn在1,有两不等实根 1 x， 2 x， 则 10 1,xx， 2 1,x 7 分 显然当 2 x 时， 120 2xxx，下面用分析法给出证明要证： 120 2xxx即证 2010 2xxxx， 而 m x在 0, x 上递减，故可证 201 2m xmxx，又由 1
18、2 m xm x，即证 101 2m xmxx，即 01 01 11 2 2 ln xx xx xx e ， 9 分 记 0 0 2 2 ln xx xx h xxx e ， 0 1xx，其中 0 0h x 000 00 222 1221 1 ln1 ln xxxxxx xxxx h xxx eee ， 10 分 记 t t t e ， 1 t t t e ，当 0,1t时， 0t；1,t时， 0t故 max 1 t e ，而 0t故 1 0t e ，而 0 20xx，从而 0 0 2 21 0 xx xx ee ，因此 000 00 222 12211 1 ln1 ln10 xxxxxx x
19、xxx h xxx eeee ，11 分 即 h x单增从而 0 1xx时， 0 0h xh x即 01 01 11 2 2 ln xx xx xx e ， 故 120 2xxx得证 12 分 22. 解： （）连结OA，则OAEA由射影定理得 2 EAED EO 由切割线定理得 2 EAEB EC，故ED EOEB EC，即 EDEC BDEO ， 又OECOEC，所以BDEOCE，所以EDBOCE 因此O，D，B，C四点共圆 6 分 （）连结OB因为180OECOCBCOE，结合（）得 180180OECOCBCOEOBCDBE 18018020OBCDBCDBCODC 10 分 . 23
20、.解： （）因为 222 xy，siny，所以圆C的直角坐标方程为 22 420xyy4 分 （）平移直线l后，所得直线 l 的 10,xht yt （t为参数） 2 2 22121020thth 因为 l 与圆C相切，所以 22 41281020hh ，即 2 16600hh， 解得6h或10h 10 分 24.解： （） 5215521523g xxxx ； 62662633f xxaaaxaaax 依题意有，32a ，1a 故a的最大值为1 6 分 （） 2212211f xg xxaxaxaxaaa ， 当且仅当2210xax时等号成立 解不等式13aa ，得a的取值范围是2, 10 分
