1、 . 2012017 7- -20182018 学年学年度上学期度上学期高高三年级七调考试三年级七调考试 数学数学（理科）试卷（理科）试卷 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.设集合 | 2Axx， |Bx xa，全集UR，若 U AB，则有（ ） A0a B2a C2a D2a 2.若复数z满足3 41zi （i为虚数单位） ，则z的虚部是（ ） A-2 B4 C4i D-4 3.已知1， 1 a
2、， 2 a，4成等差数列，1， 1 b， 2 b， 3 b，4成等比数列，则 12 2 aa b 的值是（ ） A 5 2 B 5 2 C 5 2 或 5 2 D 1 2 4.如图，5 个( , )x y数据，去掉(3,10)D后，下列说法错误的是（ ） A相关系数r变大 B残差平方和变大 C.相关指数 2 R变大 D解释变量x与预报变量y的相关性变强 5.已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使 12 90FPF ， 则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ） A 2 (0, 2 B 2 ,1) 2 C. 3 (0, 2 D 3
3、,1) 2 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)， 1 ( ,1,0) 2 ，绘 制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ） . A B C. D 7.函数 1 ( )sin(ln) 1 x f x x 的图像大致为（ ） A B C. D 8.更相减损术是中国古代数学专著九章算术中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者， 副置分母、 子之数， 以少减多， 更相减损， 求其等也， 以等数约之.” 下图是该算法的程序框图， 若输入102a ， 238b，则输出a的值是（ ） A
4、68 B17 C.34 D36 9.已知e为自然对数的底数，若对任意的 1 ,1x e ，总存在唯一的(0,)y，使得 . ln ln1 yy xxa y 成立，则实数a的取值范围是（ ） A(,0) B(,0 C. 2 ( , e e D(, 1 10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时， 连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于30min，且甲连 续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的
5、 次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A6，3 B5，2 C. 4，5 D2，7 11.已知在正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与 AO所成角的余弦值为（ ） A 2 6 B 2 3 C. 2 4 D 2 5 12.已知(sin,sin) 2 axx ， 1 (sin, ) 22 bx ，其中0，若函数 1 ( ) 2 f xa b 在区间( ,2 )内没 有零点，则的取值范围是（ ） A 1 (0, 8 B 5 (0, 8 C. 15 (0, ,1 88 D 11 5 (0, , 84 8 二、填空题（
6、每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.如图，在半径为 2 的扇形AOB中，90AOB ，P为弧AB上的一点，若2OP OA，则OP AB 的值为 14.若从区间(0, ) e（e为自然对数的底数，2.71828e）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e的 . 概率为 15.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个论断中正确的是 （把 你认为是正确论断的序号都写上） 若 sincosAB ab ，则 4 B ； 若 4 B ，2b，3a ，则满足条件的三角形共有两个； 若a，b，c成等差数列，sin
7、A，sinB，sinC成等比数列，则ABC为正三角形； 若5a，2c ，ABC的面积4 ABC S，则 3 cos 5 B . 16.设椭圆C的两个焦点是 1 F， 2 F，过点 1 F的直线与椭圆C交于P，Q两点，若 212 | |PFFF，且 11 5| 6|PFFQ，则椭圆C的离心率为 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知数列 n a的前n项和 n S满足 * 231() nn SanN. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 2
8、1 n n a 的前n项和 n T. 18.如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是梯形，/ADBC，侧面 11 ABB A为菱形， 1 DABDAA. （1）求证： 1 ABAD. （2）若2ADABBC， 1 60A AB ，D在平面 11 ABB A内的射影恰为线段 1 AB的中点，求平面 11 DCC D与平面 11 ABB A所成锐二面角的余弦值. 19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔 . 50 万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为A，B，C三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔 付频率如下表（
9、并以此估计赔付概率）. （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保 费的上限； （2）某企业共有职工 20000 人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保 险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 20.如图，已知椭圆的离心率为 2 2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 1 F， 2 F为顶点的三角形的周长 为4( 21).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶 点的任意一点，直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为A，B和C，D
10、，且点,A C在x轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在题设中的点P，使得 3 | | 4 ABCDABCD？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由. 21. 已知函数 1 ( ) x f xea ，函数( )lng xaxx，aR. （1）求函数( )yg x的单调区间； （2）若不等式( )( ) 1f xg x在区间1,)内恒成立，求实数a的取值范围； . （3）若(1,)x，求证不等式 1 2ln1 x exx 成立. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
11、分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)， 若直线l的极坐标方程为2cos() 10 4 ，曲线C的参数方程是 2 4 4 xm ym ，(m为参数). （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）设直线l与曲线C交于,A B两点，求 11 |MAMB . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 ( )4f xxax，( ) |1|1|g xxx. （1）求不等式( )3g x 的解集； （2）若 2 2,2x ， 1 2,2x ，使得不等式 12 ( )()f xg x成立
12、，求实数a的取值范围. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD 二、填空题二、填空题 13. 22 3 14. 2 e 15. 16. 9 11 三、解答题三、解答题 17.解： （1）当1n 时， 11 231Sa，所以 1 1a ； 当2n时， 11 231 nn Sa ，则 11 22233 nnnnn aSSaa ， 即 1 3 nn aa .又因为 1 1a ，所以数列 n a是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 1* 3() n n anN . . （2）由（1）得 1 2121 3n n nn a ，所以 1
13、221 352321 1 3333 n nn nn T ， 32 52321 333 333 n nn nn T ， ，得 221 22221 232 3333 n nn n T 1 11 1 1 2122 3 326 1 33 1 3 n nn nn ， 所以 * 1 1 3() 3 n n n TnN . 18.（1）证明：如图，连接 1 AB， 1 AD，BD，设 1 AB交 1 AB于点O，连接OD. 由ADAD， 1 AAAB， 1 DABDAA，得 1 AADABD，所以 1 ADBD. 又O是线段 1 AB的中点，所以 1 ODAB，又根据菱形的性质得 1 AOAB，且AOODO
14、， 所以 1 AB 平面ADO，从而 1 ABAD. （2）解：由题意知DO 平面 11 ABB A，又 11 AOAB，即 1 OBOB，所以OB， 1 OB，OD两两垂直. 以OB， 1 OB，OD所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示. 设22ADABBCa，由 1 60A AB ，可知OBa， 1 3OAOBa， 所以 22 ODADOAa，从而(0,3 ,0)Aa，( ,0,0)B a， 1(0, 3 ,0) Ba，(0,0, )Da. 所以 11 (, 3 ,0)CCBBaa .由 1 2 BCAD，得 31 ( ,) 22 C aaa，所以 31 ( ,
15、) 22 DCaaa. 设平面 11 DCC D的法向量为 000 (,)mxy z， . 由 1 0 0 m CC m DC ，得 00 000 30 31 0 22 axay axayaz ， 令 0 1y ，则 0 3x ， 0 3 3z ，所以( 3,1,3 3)m . 又平面 11 ABB A的一个法向量为(0,0, )ODa， 所以 3 33 93 cos, 31|31 OD ma OD m OD ma . 故平面 11 DCC D与平面 11 ABB A所成锐二面角的余弦值为 3 93 31 . 19.解： （1）设工种A的每份保单保费为a元，保险公司每单的收益为随机变量X元，则
16、X的分布列为 保险公司的期望收益为 4 55 11 ()(1)(50 10 )5 1010 E Xaaa（元）. 由题意得50.2aa ，解得6.25a(元). 设工种B的每份保单保费为b元，赔付金期望值为 4 5 50 102 10 10 （元） ， 则保险公司的期望利润为(10)b元. 由题意得100.2bb，解得12.5b（元）. 设工种C的每份保单保费为c元，赔付金期望值为 4 4 50 10 50 10 （元） ， 则保险公司的期望利润为(50)c元. 由题意得500.2cc，解得62.5c（元）. 综上，工种, ,A B C的每份保单保费的上限分别为 6.25 元，12.5 元，6
17、2.5 元. （2）购买A类产品的份数为20000 60% 12000（份） ， 购买B类产品的份数为20000 30%6000（份） ， 购买C类产品的份数为20000 10%2000（份） ， 企业支付的总保费为12000 6.25 6000 12.5 2000 62.5275000（元） ， 保险公司在这宗交易中的期望利润为275000 20%55000（元）. . 20.解： （1）由题意知，椭圆离心率 2 2 c e a ，即2ac，又224( 21)ac， 所以2 2a ，2c ，所以 222 4bac， 所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy . 所以椭圆的焦点坐标为( 2,
18、0)，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为 22 1 44 xy . （2）设 000 (,)(2)P xyx ，则 1 0 0 2 PF y k x ， 2 0 0 2 PF y k x ， 因为点P在双曲线 22 1 44 xy 上，所以 12 1 PFPF kk. 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，直线 1 PF的方程为(2)yk x， 所以直线 2 PF的方程为 1 (2)yx k ， 联立 22 1 84 (2) xy yk x ，得 2222 (21)8880kxk xk ， 所以 2 12 2 8 21 k xx k ， 2 1
19、2 2 88 21 k xx k ， 所以 22 1212 |1()4ABkxxx x 22 22 22 888 1()4 2121 kk k kk 2 2 4 2(1) 21 k k . 同理可得 2 2 1 4 21 ( ) | 1 2( )1 k CD k 2 2 4 2(1) 2 k k . 由题知 12 4 | | cos () 3 ABCDABCDFPF ， 即 411 cos() 3 | |CDAB 2 2 43(1)2 324 2(1) k k . 因为 1212 |cosPF PFPFPF， . 即 0000 ( 2)(2)()()xxyy 2222 0000 2 (2)(2
20、) 2 xyxy， 又因为 22 00 4xy，所以 22222 00000 2 2(4)(2)4(2)4 2 xxxxx 22 0000 2 2424 2 xxxx 22 00 2(4)xx，所以 2 0 8x ， 2 0 4y . 即存在满足题意的点P，且点P的坐标为( 2 2, 2). 21.（1）解：函数( )g x的定义域为(0,)， 因为( )lng xaxx，aR，所以 11 ( ) ax g xa xx . 当0a时，( )0g x在区间(0,)内恒成立， 所以函数( )g x的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间； 当0a时，令( )0g x，得 1 0x a ，令( )0
21、g x，得 1 x a ， 所以函数( )g x的单调递增区间为 1 (0,) a ，单调递减区间为 1 (,) a . （2）解：( )( ) 1f xg x在区间1,)内恒成立， 即 1 ln10 x exaax 在区间1,)内恒成立. 设 1 ( )ln1 x F xexaax ，则(1)0F， 1 1 x Fea x 在区间1,)内单调递增，所以( )(1)F xFa . 当0a时，( )0F x，( )F x在区间1,)内为增函数，所以( )(1)0F xF恒成立； 当0a时，(1)0F，因为( )F x在区间1,)内单调递增，所以 0 (1,)x，在区间 0 (1,)x内，有 (
22、)0F x，所以( )F x在区间 0 (1,)x内单调递减，所以( )(1)0F xF，这时不合题意. 综上所述，实数a的取值范围为(,0. （3）证明：要证明在区间(1,)内， 1 2ln1 x exx ，只需证明 1 (ln1)(ln )0 x exxx ， 由（2）知，当0a时，在区间(1,)内，有 1 ln10 x ex 恒成立. . 令( )lnG xxx，在区间(1,)内， 11 ( )10 x G x xx ， 所以函数( )G x在区间(1,)内单调递增，所以( )(1)10G xG ，即ln0xx. 所以 1 (ln1)(ln )0 x exxx ，所以原不等式成立. 22
23、.解： （1）由2cos() 10 4 ，得cossin10 ， 令cosx，siny，得10xy . 因为 2 4 4 xm ym ，消去m得 2 4yx， 所以直线l的直角坐标方程为10xy ，曲线C的普通方程为 2 4yx. （2）点M的直角坐标为(1,0)，点M在直线l上. 设直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 t x t y ， （t为参数） ，代入 2 4yx，得 2 4 280tt . 设点,A B对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 12 4 2tt， 1 2 8t t ， 所以 12 1 2 |11 | tt MAMBt t 2 121 2 2 2 ()43232 1
24、|8 ttt t t t . 23.解：（1）( )3g x ， 即|1|1| 3xx， 此不等式等价于 1 (1)(1)3 x xx 或 11 (1)(1)3 x xx 或 1 113 x xx ，解得 3 2 x 或 3 2 x ，所以( )3g x 的解集为 3 | 2 x x 或 3 2 x . （2）因为 2 2,2x ， 1 2,2x ，使得 12 ( )()f xg x成立， 所以( )( )( 2,2) minmin f xg xx .又( )2 min g x，所以( )2( 2,2) min f xx . 当2 2 a ，即4a时，( )( 2)424822 min f xfaa ，解得3a，所以4a； 当2 2 a ，即4a时，( )(2)424822 min f xfaa ，解得3a，所以4a； 当22 2 a ，即44a 时， 22 ( )()42 242 min aaa f xf，解得2 2a或2 2a ， . 所以42 2a 或2 24a.综上，实数a的取值范围为(, 2 22 2,) . . . . .
