1、 . 20152015- -20162016 学年度下学期高三年级一模考试学年度下学期高三年级一模考试 理数试卷理数试卷 第第卷（共卷（共 6 60 0 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.设命题甲： 2 210axax 的解集是实数集R；命题乙：01a，则命题甲是命题乙成立的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 2.设, a bR且0b，若复数 3 abi（i为虚数单位）
2、是实数，则（ ） A 22 3ba B 22 3ab C 22 9ba D 22 9ab 3.等差数列 n a中， 2 n n a a 是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A 1 B 1 1, 2 C 1 2 D 1 0,1, 2 4.ABC中三边上的高依次为 1 1 1 , 13 5 11 ，则ABC为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不存在这样的三角形 6.已知F是椭圆 22 :1 204 xy C的右焦点，P是C上一点，2,1A ， 当APF周长最小时， 其面积为 （ ） A4 B8 C3 D2 2 7.已知等式 432 432 12341234 11
3、11xa xa xa xaxb xbxbxb，定义映射 12341234 :,fa a a ab b b b，则4,3,2,1f（ ） . A1,2,3,4 B0,3,4,0 C 0, 3,4, 1 D1,0,2, 2 8.如图所示是一几何体的三视图， 正视图是一等腰直角三角形， 且斜边BD长为 2， 侧视图是一直角三角形， 俯视图为一直角梯形，且1ABBC，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ） A1 B2 C 2 2 D 1 2 9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成 绩（百分制）如下表所示： 若数学成绩 90 分（含 90
4、 分）以上为优秀，物理成绩 85（含 85 分）以上为优秀.有多少把握认为学生的学 生成绩与物理成绩有关系（ ） A99.9% B 99.5% C97.5% D95% 参考数据公式：独立性检验临界值表 独立性检验随机变量 2 K的值的计算公式： 2 2 n adbc K abcdacbd 10.在一个棱长为 4 的正方体内，你认为最多放入的直径为 1 的球的个数为（ ） A64 B65 C66 D67 11.定义： 分子为 1 且分母为正整数的分数成为单位分数， 我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之和. 如： 111111111111 1,1,1 236246122561220 ，依次
5、类推可得： 1111111111111 1+ 26123042567290110132156mn ，其中,mn m nN .设 1,1xmyn，则 2 1 xy x 的最小值为（ ） A 23 2 B 5 2 C 8 7 D 34 3 . 12.已知, a bR，直线 2 yaxb 与函数 tanf xx的图像在 4 x 处相切，设 2x g xebxa，若在区间1,2上，不等式 2 2mg xm恒成立，则实数m（ ） A有最小值e B有最小值e C有最大值e D有最大值1e 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题
6、纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数 2 f xxax的图像在点 1,1Af处的切线与直线320xy垂直，执行如图所示的 程序框图，输出的k值是 . 14.在直角坐标系xOy中，已知点0,1A和点3,4B ，若点C在AOB的平分线上，且2OC ，则 OC . 15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30后，构成一个斜坐标平面xOy.在此斜坐标 平面xOy中，点,P x y的坐标定义如下：过点P作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N两点，则M 在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y.那么以原点O为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方 程为 . . 16.已知ABC的
7、面积为S，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且2sin, sin,cosCBA成等比数列， 2 213 ,218 322 bacac，则 2 41 9 216 c Sa 的最小值为 . 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）设等比数列 n a的前n项和为 n S，已知， 1 2a ，且 123 4,3,2SSS成等差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设25 nn bna，求数列 n b的前n项和 n T. 18（本小题
8、满分 12 分）如图，四边形PCBM是直角梯形，90 ,1,2PCBPMBC PMBC，又 1,120 ,ACACBABPC，直线AM与直线PC所成的角为60. （1）求证：PCAC； （2）求二面角MACB的余弦值； （3）求点B到平面MAC的距离. 19.（本小题满分 12 分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促 销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10 元钱三瓶，有 8 种口味供你选择（其中有一种为草莓 口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购 买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均
9、超过 3 瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后， 网页自动补充相应的口香糖）. （1）小王花 10 元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？ （2）小王花 10 元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列， 并计算其数学期望和方差. 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，其短轴的下端点在抛物线 2 4xy的准线上. . （1）求椭圆 1 C的方程； （2）设O为坐标原点，M是直线:2l x 上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM 为直径的圆 2 C相交于,P Q两点
10、，与椭圆 1 C相交于,A B两点，如图所示. 若6PQ ，求圆 2 C的方程； 设 2 C与四边形OAMB的面积分别为 12 ,S S，若 12 SS，求的取值范围. 21.（本小题满分 12 分）设a为实数，函数 2 1 1 x f xx ea x . （1）当1a 时，求 f x在 3 ,2 4 上的最大值； （2）设函数 1 1, x g xf xa xe 当 g x有两个极值点 1212 ,x xxx时，总有 211 x g xfx，求实数的值（ fx为 f x的导函数）. 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一
11、题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点,PBAC的平分线分 别交BC和圆O于点,D E，若210PAPB. （1）求证：2ACAB； （2）求AD DE的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 . 已知曲线 1 4cos : 3sin xt C yt （t为参数） ， 2 8cos : 3sin x C y （为参数）. （1）化 12 ,C C的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线； （2）若 1 C上的点P对应的参数为,
12、 2 tQ 为 2 C上的动点，求PQ的中点M到直线 3 32 : 2 xt C yt （t为 参数）距离的最小值. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21f xxaxaR. （1）当3a 时，求函数 f x的最大值； （2）解关于x的不等式 0f x . 参考答案及解析参考答案及解析 一、选择题 1-5 CABCC 6-10 ACCBC 11-12 CD 二、填空题 . 13. 6 14. 10 3 10 , 55 15. 22 10xyxy 16. 3 4 （2）当1,2n 时，250n ，当3n时， 34 10 1 23 2252n n Tn 451 22
13、0 1 23 2252n n Tn ，两式相减，得 43 4511 2 1 2 1082 22225222252 1 2 n nnn n Tnn 1 34722nn 1 34272n n Tn 1 6,1 10,2 34272,3 n n n Tn nn 18.(1),PCBC PCAB ABBCB PC平面ABC，AC 平面ABC，PCAC （2）在平面ABC内，过点C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示 设 313 3 0,0,0,0,0,1,0, 2222 PzCPzAMzz 2 2 cos60cos 3 AM CPz AM CP AMCPzz ，且0z . 2 13 3 1,1
14、 222 3 z zAM z 设平面MAC的一个法向量为, ,1nx y 则由 33 103 0 22 3 031 1 0 22 xy n AM x n CA y xy ， 3 , 1,1 3 n 平面ABC的一个法向量为0,0,1CP 21 cos, 7 n CP n CP n CP 显然，二面角MACB为锐二面角， 所以二面角MACB的余弦值为 21 7 （3）点B到平面MAC的距离 2 21 7 CB n d n . 19.（1）若三瓶口味均不一样，有 3 8 56C 若其中两瓶口味不一样， ，有 11 87 56C C ，若三瓶口味一样，有 8 种， 所以小王共有 56+56+8=12
15、0 种选择方式 （2）可能的取值为 0,1,2,3 由于各种口味的高级口香糖均不超过 3 瓶，且各种口味的瓶数相同，有 8 种不同口味 所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为 1 8 故随机变量服从二项分布，即 1 3, 8 B 03 0 3 11343 01 88512 PC ， 12 1 3 11147 11 88512 PC 21 2 3 1121 21 88512 PC ， 30 3 3 111 31 88512 PC . 所以的分布列为 0 1 2 3 P 343 512 147 512 21 512 1 512 期数学期望 13 3 88 Enp 方差 1721 13 886
16、4 Dnpp 20.（1）椭圆短轴下端点在抛物线 2 4xy的准线上，1b 22 2 2 2 cab e aa ，2a 所以椭圆 1 C的方程为 2 2 1 2 x y （2）由（1） ，知1,0F，设2,Mt，则 2 C的圆心坐标为1, 2 t 2 C的方程为 2 2 2 11 24 tt xy ，当0t 时，PQ所在直线方程为1x ，此时2PQ ，与题意 不符，不成立，0t . 可设直线PQ所在直线方程为 2 10yxt t ，即2200xtyt 又圆 2 C的半径 2 2 1 14 42 t rt 由 2 22 2 PQ dr ，得 22 2 2 2 611 4 244 4 t t t
17、解得 2 42tt 圆 2 C的方程为 22 112xy或 22 112xy 当0t ，由，知PQ的方程为220xty 由 2 2 1 2 220 x y xty 消去y，得 222 816820txxt . 则 2 2242 164 882840tttt 2 1212 22 1682 , 88 t xxx x tt 222 2 22 2 12122 22 2 164 882 244 142 2 8 8 tt tt ABxxx x ttt t 22 2 2 2 22 244 114 42 2 2288 tt t SOMABt tt 22 112 4 , 4 SrtSS 2 2 2 1 2222
18、 2 2 4 282422 4 44 8882 24444 8 t St t S tttt t 当且仅当 2 2 4 4 4 t t ，即0t 时取等号 又 2 0, 2 t，当0t 时，直线PQ的方程为1x 2,2ABOM， 2 1 2 2 SOMAB 2 1 1 2 SOM ， 1 2 2 22 S S 综上， 2 2 所以实数的取值范围为 2 , 2 . 21.（1）当1a 时， 2 1 1 x f xx ex 则 21 21 1 2 21 x x x xxe fxxxe e ，令 21 2 x h xxxe ，则 1 22 x h xxe 显然 h x在区间 3 ,2 4 内是减函数，
19、又 4 311 0 42 h e ，在区间 3 ,2 4 内，总有 0h x . h x在区间 3 ,2 4 内是减函数，又 10h 当 3 ,1 4 x 时， 0h x ， 0fx，此时 f x单调递增； 当1,2x时， 0h x 0fx，此时 f x单调递减； f x在区间 3 ,2 4 内的极大值也即最大值是 11f （2）由题意，知 21 x g xxa e ，则 2121 22 xx gxxxa exxa e 根据题意，方程 2 20xxa有两个不同的实根 1212 ,x xxx 440a，即1a，且 12 2xx 12121 1,2xxxxx且，由 211 x g xfx 其中 2
20、1 2 x fxxxea ，得 11 11222 111111 222 xx xxa exxexx 2 11 20xxa 所以上式化为 11 1122 111111 2222 xx xxexxexx 又 1 20x，所以不等式可化为 11 11 1 210 xx xee ，对任意的 1 ,1x 恒成立. 当 1 0x ， 11 11 1 210 xx xee 不等式恒成立，R； 当 1 0,1x 时， 11 11 210 xx ee 恒成立， 1 1 1 1 2 1 x x e e 令函数 1 11 1 11 22 2 11 x xx e k x ee 显然 k x是R内的减函数，当0,1x，
21、 22 0 11 ee k xk ee 1 ,0x 时， 11 11 210 xx ee 恒成立，即 1 1 1 1 2 1 x x e e 由，当,0x ， 2 0 1 e k xk e ，即 2 1 e e . 综上所述， 2 1 e e . 22.（1）PA是圆O的切线，PABACB，又P是公共角，ABPCAP 22 CAAP ACAB ABBP ； （2）由切割线定理，得 2 ,20PAPB PCPC，又5,15PBBC 又AD是BAC的平分线，2 ACCD ABDB 由相交弦定理，得50AD DECD DB. 23.（1） 22 22 12 :431,:1 649 xy CxyC 1
22、 C为圆心是4,3，半径是 1 的圆， 2 C为中心是坐标原点，焦点在x轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的 椭圆. （2）当 2 t 时，4,4 ,8cos ,3sinPQ，故 3 24cos ,2sin 2 M 3 C的普通方程为270xy，M到 3 C的距离 5 4cos3sin13 5 d 所以当 43 cos,sin 55 时，d取得最小值 8 5 5 . 24.（1）当3a 时， 1,3 32135, 13 1,1 xx f xxxxx xx 所以当1x ，函数 f x取得最大值 2. （2）由 0f x ，得21xax 两边平方，得 22 41xax 即 22 32440xaxa 得2320xaxa ， 所以当1a 时，不等式的解集为 2 2, 3 a a . 当1a 时，不等式的解集为|1x x 当1a ，不等式的解集为 2 ,2 3 a a .
