1、 . 20152015- -20162016 学年度下学期高三年级一调考试学年度下学期高三年级一调考试 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 第第卷（共卷（共 6 60 0 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知复数,zxyi x yR，且有1 1 x yi i ，则z （ ） A5 B5 C3 D3 2.已知全集UR，集合 2 1 |60 ,|0 4 x Ax xxBx x ，那么集合 U AC B（ ） A| 2
2、4xx B|34x xx或 C| 21xx D| 13xx 3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy，则它的 离心率为（ ） A5 B 5 2 C3 D2 4.执行所示框图，若输入6,4nm，则输出的p等于（ ） A120 B240 C360 D720 5.某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若 这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考，那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有（ ） A144 种 B150 种 C196 种 D256 种 . 6.在ABC中，三边之比: :2:3:4a b
3、 c，则 sin2sin sin2 AB C （ ） A1 B 2 C-3 D 1 2 8.将函数 sin2f xx的图像向右平移0 2 个单位后得到函数 g x的图像，若对满足 12 2f xf x的 12 ,x x，有 12min 3 xx ，则（ ） A 5 12 B 3 C 4 D 6 9.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ） A4 B 28 3 C 44 3 D20 10.已知 n S和 n T分别为数列 n a与数列 n b的前n项和，且 45 13 , n b nnn aeSeSe aenN ，则 当 n T取得最大值时，n的值为（
4、 ） A4 B5 C4 或 5 D5 或 6 11.在正方体 1111 ABCDABC D中，P为正方形 1111 ABC D四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心， ,M N分别为,AB BC中点， 点Q为平面ABCD内一点， 线段 1 DQ与OP互相平分， 则满足MQMN的 实数的值有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 . 12.已知函数 23420152342015 1,1 23420152342015 xxxxxxxx f xxg xx ，设函数 3 ,4F xf xg x ， 且函数 F x的所有零点均在区间,a b a bZ， 则ba的最小值为 （ ） A6 B8
5、C9 D10 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知 51 11x x 的展开式中 r x（rZ且15r ）的系数为 0，则r . 14.设, x y满足约束条件 320 0 0,0 xy xy xy ， 若目标函数20,0zaxby ab的最大值为1， 则 22 11 4ab 的最小值为 . 15.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的渐近线与抛物线 2 2: 20Cxpy p交于点, ,O A B，若ABC的垂心为 2 C的交点
6、，则 1 C的离心率为 . 16.在等腰梯形ABCD中，已知,2,1,60ABDC ABBCABC，动点E和F分别在线段BC和 DC上，且 1 , 9 BEBC DFDC ，则AE AF的最小值为 . 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 n a满足 2nn aqa （q为实数，且1q ） ， 12 ,1,2nNaa ，且 233445 ,aa aa aa成等差数列. 求q的值和 n a的通项公式； . 设 2 21 log , n n
7、 n a bnN a ，求数列 n b的前n项和. 18（本小题满分 12 分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名 学生中随机抽取了 100 名学生体检表，并得到如图的频率分布直方图. 若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数； 学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系， 对年级名次在 1-50 名和 951-1000 名的学生进行调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的 概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系； 在中调查的 100 名学生中，
8、按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼 习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 1-50 的学生人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： 19. （本小题满分 12 分） 如图， 在ABC中，O是BC的中点，,22ABAC AOOC， 将BAO沿AO 折起，使B点与图中 B点重合. 求证：AO 平面 BOC； 当三棱锥 BAOC的体积取最大时，求二面角 ABCO的余弦值； 在条件下，试问在线段 B A上是否存在一点P，使CP与平面 BOA所成角的正弦值为 2 3 ？证明你的 结论. . 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy
9、Cab ab 的左，右焦点分别为 12 ,F F，点0,2M是椭 圆的一个顶点， 12 FMF是等腰直角三角形. 求椭圆C的方程； 设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程； 过点M分别作直线,MA MB交椭圆于,A B两点， 设两直线的斜率分别为 12 ,k k， 且 12 8kk， 探究AB 是否过定点，并说明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 ,ln x f xe g xxm. 当1m时，求函数 f x F xx g x x 在0,上的极值； 若2m，求证：当0,x时， 3 10 f xg x. （参考数据：ln20.693,ln31.099,ln51.609,l
10、n71.946） 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， 圆 1 O与圆 2 O内切于点A， 其半径分别为 3 与 2， 圆 1 O的弦AB交圆 2 O于点C（ 1 O不在AB上） ，AD 是圆 1 O的一条直径. 求 AC AB 的值； 若3BC ，求 2 O到弦AB的距离. . 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线 2cos : 3sin xt l
11、 yt （t为参数）与曲线 2cos : sin x C y （为 参数）相交于不同的两点,A B. 若 3 ，求线段AB中点M的坐标； 若 2 PAPBOP，其中 2, 3P，求直线l的斜率. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知0,0,0abc，函数 f xxaxbc 求abc 的值； 求 222 11 49 abc的最小值. 参考答案 一、选择题 1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD 二、填空题 . 13. 2 14. 8 15. 3 2 16. 29 18 三、解答题 又因为1q ，所以 23 2aa 由 31, 2aqaq 当21nkkN
12、 时， 1 2 21 2 n nk aa 当2nk kN 时， 2 2 2 n nk aa 所以数列 n a的通项公式为 1 2 2 2, 2 , n n n n a n 为奇数 为偶数 ; (2)由(1)，得 22 1 21 log , 2 n n n n an bnN a 、 设数列 n b的前n项和为 n S，则 011 111 12 222 n n Sn 12 1111 12 2222 n n Sn 上述两式相减，得 0121 111111 222222 n nn Sn 2 2 2n n 1 2 4, 2 n n n SnN 所以数列 n b的前n项和为 1 2 4, 2 n n n
13、SnN 18.(1)设各组的频率为1,2,3,4,5,6 i f i 由图可知，第一组有 3 人，第二组有 7 人，第三组有 27 人， 因为后四组的频数成等差数列 . 所以后四组频数依次为 27,24,21,18 所以视力在 5.0 以下的频率为 0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为1000 0.82820； (2) 2 2 10041 1832 9300 4.1103.841 50 50 73 2773 K 因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系； (3)依题意 9 人中年级名次在150名和951
14、1000名的人数分别为 3 人和 6 人 所以X可能的取值为 0,1,2,3 5 0 21 P X ， 15 1 28 P X ， 3 2 14 P X ， 1 0 84 P X X的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 21 15 28 3 14 1 84 51531 01231 21281484 E X . 19.(1) ABAC，且O是BC的中点 AOBC，即 , AOOB AOOC 又 OBOCOAO平面 BOC (2)在平面 BOC内，作 B DOC于点D 则由(1)可知 BDOA，又 OCOAOB D平面OAC 即 B D是三棱锥 BAOC的高 又 B DBO当D与O重合时，三棱锥
15、 BAOC的体积最大 过O点作 OHBC于点H，连接AH 由(1)知，AO 平面 BOC BC 平面 BOC， BCAO AOOHOBC平面 ,AOHBCAH， . 所以AHO即为二面角 ABCO的平面角 在Rt AOH中， 2 2, 2 AOOH 3 21 ,cos 23 OH AHAHO AH (3)存在，且为线段 AB的中点，以O为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系 设2 ,0,APAB ，22 , 1,CPCAAP 又平面 BOA的一个法向量为0,1,0m 2 2 212 2032110 33 585 CP m CPm 解得： 111 1, 210 舍去 20.(1)由已知可得
16、2 2 2,28bab 所以所求椭圆方程为 22 1 84 xy ； (2)设点 00 ,P x yPM的中点坐标为,Q x y，即 22 00 1 84 xy 由 00 00 , 22 xy xy ，得 00 2 ,2xx yy，代入上式，得 2 2 11 2 x y； (3)若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意2m . 设 1122 ,A x yB x y，由 22 222 1 124280 84 xy kxkmxm ykxm 2 1212 22 428 , 1 21 2 kmm xxx x kk ，由已知 12 12 22 8 yy xx 所以 12 12 22 8 kxm
17、kxm xx ，即 12 12 228 xx km x x 所以 1 42 22 km kmk m 故直线AB的方程为 11 2,2 22 ykxkyk x 即 所以直线AB过定点 1 , 2 2 ； 若直线AB的斜率存在，设AB方程为 xx 设 ,A x yB xy 由已知 221 8 2 yy x xx 此时AB方程为 1 2 x ，显然过点 1 , 2 2 综上，直线AB过定点 1 , 2 2 . 21.(1) 2 ln1 ,1ln xx ee F xxxFxxx xx F x在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增， 所以极小值为 11Fe ，无极大值； (2)构造函数 ln2 x
18、 h xf xg xex 1 x h xe x 在区间0,上单调递增 1 20,ln20 2 heh ， h x在区间0,上有唯一零点 0 1 ,ln2 2 x . 0 0 1 x e x ，即 00 lnxx ，由 h x的单调性 有 0 000 0 1 ln22 x h xh xexx x 构造函数 1 2tt t 在去甲0,ln2上单调递减 00 111 ,ln2 ,ln22 2ln210 xx 即 0 1 10 h x， 11 1010 h xf xg x. 22.(1)设AD交圆 2 O于点E，连接,BD CE 因为圆 1 O与圆 2 O内切于点A，所以点 2 O在AD上， 所以,A
19、D AE分别是圆 1 O与圆 2 O的直径 所以, 2 ABDACEBD CE 2 3 ACAE ABAD (2)若3BC ，由的结果可知，3 3AB ，面6,AD 在Rt ABD中，30A ，又由 2 2AO ， 得 2 O到弦AB的距离为 1. 23.(1)将曲线 2cos : sin x C y ，化为普通方程，得 2 2 1 4 x y 当 3 ，设点M对应的参数为 0 t 直线l的参数方程为 1 2 2 3 3 2 xt yt （t为参数） 代入曲线C的普通方程 2 2 1 4 x y 即 2 1356480tt 设直线l上的点,A B对应的参数分别为 12 ,t t . 则 12
20、0 28 213 tt t 所以点M的坐标为 123 , 1313 ； (2)将 2cos : 3sin xt l yt 代入曲线C的普通方程 2 2 1 4 x y 得 222 cos4sin8 3sin4cos120tt 因为 1 2 22 12 7 cos4sin PAPBt t ，得 2 5 tan 16 由于 32cos2 3sincos0 故 5 tan 4 ，所以直线l的斜率为 5 4 . 24.(1)因为 f xxaxbcxaxbcabc 当且仅当axb 时，等号成立 又0,0ab所以abab，所以 f x的最小值为 4，所以4abc ； (2)由(1)知4abc ，由柯西不等式，得 222 11 49 1231 4923 ab abcc 2 16abc 故 222 118 497 abc 当且仅当 11 8182 32 , 231777 ba c abc即时等号成立 故 222 11 49 abc的最小值为 8 7 . .
