1、 . 2017201720182018 学年度第一学期高三十模考试学年度第一学期高三十模考试 数学数学试卷试卷（理科理科） 一、一、选择题（选择题（每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案 的序号填涂在答题卡上）的序号填涂在答题卡上） 1.设集合 2 |log (2)Ax yx， 2 |320Bx xx，则 A C B （ ） A(,1) B(,1 C(2,) D2,) 2.在复平面内，复数 23 32 i z i 对应的点的坐标为(2, 2)，则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一
2、象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知ABC中，sin2sincos0ABC，3bc，则tan A的值是（ ） A 3 3 B 2 3 3 C3 D 4 3 3 4.设( , )|0,01Ax yxmy，s为(1)ne的展开式的第一项（e为自然对数的底数） ， n ms， 若任取( , )a bA，则满足1ab 的概率是（ ） A 2 e B 2 e C 2e e D 1e e 5.函数 4 lgxx y x 的图象大致是（ ） A B C D 6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448，则该几何体的表面积为（ ） . A2448 B24906 41 C48
3、48 D24666 41 7.已知 1 17 17a ， 16 log17b ， 17 log16c ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ） A20200 B5268.5 C5050 D5151 9.如图，设椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点， 直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率是（ ） A 1 2 B 2 3 C 1 3 D 1 4 10.设函数( )f x为定义域为R的奇函数，且( )(2)f xfx，当0,1x时，
4、( )sinf xx，则函数 ( )cos()( )g xxf x在区间 5 9 , 2 2 上的所有零点的和为（ ） A6 B7 C13 D14 11.已知函数 2 ( )sin 20191 x f xx ，其中( )fx为函数( )f x的导数，求 (2018)( 2018)ff(2019)( 2019)ff（ ） A2 B2019 C2018 D0 12.已知直线l：1()yaxa aR ，若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两 个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程： . 21yx； 22 (1)(1)1xy； 2
5、2 34xy； 2 4yx. 其中直线l的“绝对曲线”的条数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题二、填空题： （本大题共本大题共 4 4 小题，小题，每题每题 5 5 分，分，共共 2 20 0 分）分） 13.已知实数x，y满足 220 240 1 xy xy yx ，且 34 1 xy m x ，则实数m的取值范围 14.双曲线 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，P是双曲线右支上一点，I为 12 PFF的内心，PI交x 轴于Q点，若 12 FQPF，且:2:1PI IQ ，则双曲线的离心率e的值为 15.若平面向量 1 e， 2 e满足 112 32e
6、ee，则 1 e在 2 e方向上投影的最大值是 16.观察下列各式： 3 11； 3 235； 3 379 11； 3 413 15 17 19； 若 3* ()m mN按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m的值为 三、 解答题三、 解答题： （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 1717 2121 为必考题，每个试题考生都必须作答为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答） 17
7、.已知等差数列 n a中，公差0d ， 7 35S ，且 2 a， 5 a， 11 a成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存在 * nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的取值范围. 18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调 查结果绘成折线图如下： . （1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数. （2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差 2 1 S
8、与女生学习时间方差 2 2 S的大小.（只需写出结论） 19.如图所示，四棱锥PABCD的底面为矩形，已知1PAPBPCBC，2AB ，过底面对角 线AC作与PB平行的平面交PD于E. （1）试判定点E的位置，并加以证明； （2）求二面角EACD的余弦值. 20.在平面直角坐标平面中，ABC的两个顶点为(0, 1)B，(0,1)C，平面内两点P、Q同时满足： 0PAPBPC；QAQBQC；/ /PQBC. （1）求顶点A的轨迹E的方程； （2）过点( 2,0)F作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，直线 1 l， 2 l与A的轨迹E相交弦分别为 11 AB， 22 A B， 设弦 11 AB
9、， 22 A B的中点分别为M，N. 求四边形 1212 A A B B的面积S的最小值； 试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数 ln(1) ( ) 1 x f x ax . （1）当1a ，求函数( )yf x的图象在0x处的切线方程； . （2）若函数( )f x在(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围； （3）已知x，y，z均为正实数，且1xyz，求证 (31)ln(1)(31)ln(1) 11 xxyy xy (31)ln(1) 0 1 zz z . 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按题中
10、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 1 C的极坐标方程是 24 4cos3sin ，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐 标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线 2 C的参数方程为： cos sin x y （为参数）. （1）求曲线 1 C的直角坐标方程与曲线 2 C的普通方程； （2）将曲线 2 C经过伸缩变换 2 2 2 xx yy 后得到曲线 3 C，若M，N分别是曲线 1 C和曲线 3 C上的动点， 求MN的最小值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知( )21()f xxaxaR
11、. （1）当1a 时，解不等式( )2f x . （2）若不等式 2 1 ( )1 2 f xxxa对xR恒成立，求实数a的取值范围. . 十模数学答案十模数学答案（理理） 一、选择题一、选择题 1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC 二、填空题二、填空题 13. 2,7 14. 3 2 15. 4 2 3 16. 45 三、解答题三、解答题 17.解： （1）由题意可得 1 2 111 7 6 735 2 (4 )()(10 ) ad adad ad ，即 1 2 1 35 2 ad da d . 又因为0d ，所以 1 2 1 a d .所以1 n an. （2）因
12、为 1 11 (1)(2) nn a ann 11 12nn ，所以 1111 2334 n T 11 12nn 11 222(2) n nn . 因为存在 * nN，使得 1 0 nn Ta 成立，所以存在 * nN，使得(2)0 2(2) n n n 成立， 即存在 * nN，使得 2 2(2) n n 成立. 又 2 1 4 2(2) 2(4) n n n n ， 11 4 16 2(4)n n （当且仅当2n时取等号） ， 所以 1 16 .即实数的取值范围是 1 (, 16 . 18.解： （1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足 4
13、小时的有4人. 可估计全校中每天学习不足4小时的人数为： 12 400240 20 人. （2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的所有可能取值为0，1，2，3， 4. . 由题意可得 4 4 4 8 (0) C P X C 1 70 ； 13 44 4 8 (1) C C P X C 168 7035 ； 22 44 4 8 (2) C C P X C 3618 7035 ； 31 44 4 8 (3) C C P X C 168 7035 ； 4 4 4 8 (4) C P X C 1 70 . 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 70 8 3
14、5 18 35 8 35 1 70 均值 116 01 7070 EX 3616 23 7070 1 42 70 . （3）由折线图可得 22 12 ss. 19.解： （1）E为PD的中点，证明如下： 连接OE，因为/PB平面AEC，平面PBD平面AECOE，PB平面AEC，所以/OEPB，又 O为BD的中点，所以E为PD的中点. （2）连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OAOC.因为PAPC，所以POAC.同理，得 POBD，所以PO平面ABCD，以O为原点，OP为z轴，过O平行于AD的直线为x轴，过O平 行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 易知 12 ( ,0)
15、22 A， 12 ( ,0) 22 B， 12 (,0) 22 C ， 12 (,0) 22 D ， 1 (0,0, ) 2 P， 12 1 (, ) 444 E ， 则 12 1 (, ) 444 EA ， 12 ( ,0) 22 OA . 显然，OP是平面ACD的一个法向量.设 1 ( , , )nx y z是平面ACE的一个法向量， . 则 1 1 0 0 n EA n OA ，即 121 0 444 12 0 22 xyz xy ，取1y ， 则 1 ( 2,1,2 2)n ， 所以 1 cos,n OP 1 1 n OP n OP 2 22 11 ， 所以二面角EACD的余弦值为 2
16、 22 11 . 20.（1） 2 2 1(0) 3 x yx； （2）S的最小值的 3 2 ，直线MN恒过定点 3 2 ,0 4 . 试题解析： （1）2PAPBPO， 由知2PCPO， P为ABC的重心. 设( , )A x y，则, 3 3 x y P ，由知Q是ABC的外心， Q在x轴上由知,0 3 x Q ，由QCQA，得 22 2 1 33 xx xy ，化简整理得： 2 2 1(0) 3 x yx. （2）解：( 2,0)F恰为 2 2 1 3 x y的右焦点， 当直线 1 l， 2 l的斜率存且不为0时，设直线 1 l的方程为2myx， 由 22 2 330 myx xy 22
17、 (3)2 210mymy ， 设 111 ( ,)A x y， 122 (,)B xy，则 12 2 2 2 3 m yy m ， 12 2 1 3 y y m ， 根据焦半径公式得 1112 2 2 3() 3 ABxx， . 又 1212 22xxmymy 12 ()2 2m yy 2 2 2 2 2 2 3 m m 2 6 2 3m ， 所以 11 2 4 3 2 3 3 AB m 2 2 2 3(1) 3 m m ，同理 2 22 2 1 2 31 1 3 m A B m 2 2 2 3(1) 31 m m ， 则 22 22 (1) 6 (3)(31) m S mm 22 2 2
18、(1) 6 4(1) 2 m m 3 2 ， 当 22 331mm，即1m时取等号. 根据中点坐标公式得 22 3 22 , 33 m M mm ，同理可求得 2 22 3 22 , 31 31 mm N mm ， 则直线MN的斜率为 22 2 22 22 333 3 23 2 313 MN mm mm k m mm 2 4 3(1) m m ， 直线MN的方程为 2 2 3 m y m 22 43 2 3(1)3 m x mm ， 整理化简得 43 33 24ymx m 2 63 3 2490ymx my， 令0y ，解得 3 2 4 x . 直线MN恒过定点 3 2 ,0 4 . 当直线
19、1 l， 2 l有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN即为x轴，过点 3 2 ,0 4 . 综上，S的最小值的 3 2 ，直线MN恒过定点 3 2 ,0 4 . 21.（1）当1a 时， ln(1) ( ) 1 x f x x 则(0)0f， 2 1 ln(1) ( ) (1) x fx x 则(0)1f， . 函数( )yf x的图象在0x时的切线方程为yx. （2）函数( )f x在(0,1)上单调递增，10ax 在(0,1)上无解， 当0a时，10ax 在(0,1)上无解满足， 当0a时，只需1010aa ，1a 2 1 ln(1) 1 ( ) (1) ax ax x fx
20、 ax ， 函数( )f x在(0,1)上单调递增，( )0fx 在(0,1)上恒成立， 即(1)ln(1)1axxx在(0,1)上恒成立. 设( )(1)ln(1)xxx( )ln(1)(1)xxxx 1 1ln(1) 1 x x ， (0,1)x，( )0x，则( )x在(0,1)上单调递增， ( )x在(0,1)上的值域为(0,2ln2 1). 1 (1)ln(1) a xxx 在(0,1)上恒成立，则 1 2ln2 1 a 综合得实数a的取值范围为 1 1, 2ln2 1 . （3）由（2）知，当1a时， ln(1) ( ) 1 x f x x 在(0,1)上单调递增， 于是当 1 0
21、 3 x时， ln(1) ( ) 1 x f x x 134 ( )ln 323 f， 当 1 1 3 x时， ln(1) ( ) 1 x f x x 134 ( )ln 323 f， (31) ( )xf x 34 (31)ln 23 x，即 (31)ln(1) 1 xx x 33 (31)ln 24 x， 同理有 (31)ln(1) 1 yy y 33 (31)ln 24 y， (31)ln(z 1) 1 z z 33 (31)ln 24 z， 三式相加得 (31)ln(1) 1 xx x (31)ln(1) 1 yy y (31)ln(z 1) 0 1 z z . 22.解： （1） 1
22、 C的极坐标方程是 24 4cos3sin ，4 cos3 sin24，整理得 . 43240xy， 1 C的直角坐标方程为43240xy. 曲线 2 C： cos sin x y ， 22 1xy，故 2 C的普通方程为 22 1xy. （2）将曲线 2 C经过伸缩变换 2 2 2 xx yy 后得到曲线 3 C的方程为 22 1 84 xy ，则曲线 3 C的参数方程为 2 2cos y2sin x （为参数）.设 2 2cos ,2sinN，则点N到曲线 1 C的距离为 4 2 2cos3 2sin24 5 d 2 41sin()24 5 242 41sin() 5 4 2 (tan)
23、3 . 当sin1时，d有最小值 242 41 5 ，所以MN的最小值为 242 41 5 . 23.解： （1）当1a 时，等式( )2f x ，即2112xx ， 等价于 1 1 212 x xx 或 1 1 2 1 212 x xx 或 1 2 2112 x xx ， 解得 2 3 x 或4x， 所以原不等式的解集为 2 (,)(4,) 3 ； （2）设( )( )1g xf xxx 2xax，则 , 2 ( ) 3, 2 a ax x f x a xa x ， 则( )f x在(,) 2 a 上是减函数，在(,) 2 a 上是增函数， 当 2 a x 时，( )f x取最小值且最小值为( ) 22 aa f， 2 1 22 a a，解得 1 1 2 a，实数a的取值范围为 1 (,1) 2 . . . . . . .
