1、 . 20172017- -20182018 学年度第二学期高三年级十六模考试学年度第二学期高三年级十六模考试 理数试卷理数试卷 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知i是虚数单位，则复数 37i z i 集合的实部和虚部分别是（ ） A7，3 B7，3i C7，3 D7，3i 2.已知集合 1,0,2P ，Qsin ,Ry y ，则PQ （ ） A
2、B0 C 1,0 D 1,0,2 3.已知随机变量X服从正态分布( ,4)N a，且(1)0.5P X ，(2)0.3P X ，(0)P X 等于（ ） A0.2 B0.3 C0.7 D0.8 4.下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若0xy ，则0x”的否命题为“若0xy ，则0x” B命题“若0xy，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题 C命题“xR ，使得 2 210x ”的否定是“xR ，都有 2 210x ” D命题“若cos cosxy ，则x y ”的逆否命题为真命题 5.已知满足 1 sin 3 ，则cos()cos() 44 （ ） A 7 18 B 25 18 C.
3、7 18 D 25 18 6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该 几何体的体积为（ ） . A216 3 B216 4.5 C.216 6 D216 9 7.已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，现将( )yf x的图形向左平移 12 个单位，再将所得图象上各点的横坐 标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数( )yg x的图象，则( )g x在 5 0, 24 上的值域为（ ） A 1,2 B0,1 C.0,2 D 1,0 8.我国古代著名九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创 举与我
4、国古老的算法 “辗转相除法” 实质一样.如图的程序框图即源于 “辗转相除法” ， 当输入6402a， 2046b，输出的a（ ） A66 B12 C.36 D198 9.已知实数x，y满足约束条件 50 0 1 20 2 xy yx yx 若不等式 2 (1)2a xxy 2 (42 )0a y恒成立，则实数 a的最大值为（ ） A 7 3 B 5 3 C5. D6 10.已知函数( )lnf xx，( )(23)g xmxn，若对任意的(0,)x，总有( )( )f xg x恒成立，记 (23)mn 的最小值为( , )f m n，则( , )f m n最大值为（ ） A1 B 1 e C.
5、 2 1 e D 1 e 11.设双曲线C： 22 22 1 xy ab (0,0)ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线与双曲线的右支交 于两点A，B，若 1 :3:4AFAB ，且 2 F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（ ） . A 5 2 B 10 2 C. 5 2 D5 12.已知偶函数( )f x满足(4)(4)fxfx，且当(0,4x时， ln(2 ) ( ) x f x x ，关于x的不等式 2( ) ( )0fxaf x在区间 200 200， 上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A 1 ( ln2ln6) 3 ， B 1 (
6、 ln2ln6 3 ， C. 13ln2 (ln6) 34 ， D 13ln2 (ln6) 34 ， 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知平面向量a，b， 1a ， 2b 且1a b， 若e为平面单位向量， 则()abe的最大值为 14.二项式 65 1 ()x x x 展开式中的常数项是 15.已知点A是抛物线C： 2 2xpy（ 0p ） 上一点，O为坐标原点， 若A，B是以点 (08)M， 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三
7、角形，则p的值是 16.已知在直三棱柱 111 ABCABC 中，120BAC，1ABAC， 1 2AA ，若 1 AA棱在正视图的投影面 内，且AB与投影面所成角为（3060） ，设正视图的面积为m，侧视图的面积为n，当变化时， mn的最大值是 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤. .） 17.已知等差数列 n a 的前n（ * nN）项和为 n S，数列 n b 是等比数列， 1 3a ， 1 1b ， 22 10bS ， 523 2aba . （1）求数列
8、n a 和 n b 的通项公式； （2）若 2 n n n n S c bn 奇 偶 ， ， 为数 为数 ，设数列 n c 的前n项和为 n T，求 2n T. 18. 如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，60ABC，2PAAB，点E、F 分别为BC、PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q. . （1）已知平面PAB平面PCDl，求证：ABl； （2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值. 19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友” ，然而这种景象 却在近5年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011 年之前,方便面销量在中国连续1
9、8年保持两位数增长,2013 年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩； 但 2013 年以来,方便面销量却连续 3 年下跌,只剩385亿包,具体 如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增 长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶） （数据来源：世界方便面协会） 年份 2013 2014 2015 2016 时间代号t 1 2 3 4 年销量y（亿包/桶） 462 444 404 385 (1)根据上表， 求y关于t的线性回归方程ybta.用所求回归方程预测 2017 年(5t )方便面在中国的年 销量； (
10、2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身 边的10位朋友做了一次调查,其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面,3位受访者认为方便面是健康食 品；而9位受访者有过网络订餐的经历，现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记表示随机抽取的3人认 为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望 ( )E. 参考公式：回归方程：ybta，其中 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ，aybt. 参考数据： 4 1 ()()135.5 ii i ttyy . 20.如图，设抛物线 1: C 2 4ymx（0m
11、）的准线l与x轴交于椭圆 2 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦 点 2 F， 1 F为 2 C的左焦点，椭圆的离心率为 1 2 e ，抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点P，连接 1 PF并延 长其交 1 C于点Q，M为 1 C上一动点，且在P，Q之间移动. . （1）当 3 2 a b 取最小值时，求 1 C和 2 C的方程； （2）若 12 PF F的边长恰好时三个连续的自然数，当MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线 MP的方程. 21.已知函数( )(ln2 ) x f xexk （k为常数，2.71828e 是自然对数的底数） ， 曲线 ( )yf
12、x 在点(1 (1)f， 处的切线与y轴垂直. （1）求 ( )f x的单调区间； （2）设 1(ln1) ( ) x xx g x e ，对任意0x ，证明： 2 (1)( ) xx xg xee . 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的参数方程为 2cos sin x y ，（ 为参数）.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极 轴建立坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 sin4cos. （1）求 1 C的普通方程和
13、2 C的直角坐标方程； （2）若过点 (10)F， 的直线l与 1 C交于A，B两点，与 2 C交于M，N两点，求 FA FB FM FN 的取值范围. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 ( )11f xx ， ( )3 ( ) 1233 f xx F x xx ， ， （1）解不等式 ( )23f xx ； （2）若方程 ( )F xa 有三个解，求实数a的取值范围. . 参考答案及解析参考答案及解析 一、选择题一、选择题 1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD 二、填空题二、填空题 13.7 14.5 15. 2 3 16.3 3 三、解答题三、解答题 17.解：
14、（1）设等差数列 n a 的公差为d，等比数列 n b 的公比为q， 1 3a ， 1 1b ， 22 10bS ， 523 2aba ， 3310 34232 qd dqd ， . 2d ， 2q ， 21 n an， 1 2n n b （2）由（1）知 (321) (2) 2 n nn Sn n 1 11 2 2 n n n cnn n 奇 偶 ， ， 为数 为数 2 11111 (1) 3352121 n T nn 13521 (2222) n 21 121 321 n n 18.解： （1）ABCD，AB 平面PCD，CD 平面PCD AB平面PCD， AB平面PAB，平面PAB平面P
15、CDl， ABl. （2）底面是菱形，E为BC的中点，2AB ， 1BE ，3AE ，AEBC， AEAD， PA平面ABCD，则以点A为原点，直线AEAD、AP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则 (020)D， ， ， (002)P， ， ，( 310)C， ，( 300)E， ， (01 1)F， ， ( 300)AE ， ，(01 1)AF ， ，( 310)DC ，(022)DP ， 设平面PCD的法向量为()nxyz， ， 得(133)n ，. 设(1)AQACAP，则( 32(1)AQ， ，AQmAEnAF， . 则 33 2(1) m n n ， ， 解得 2 3 mn，
16、222 (3) 333 AQ ， ， 设直线AQ与平面PCD所成角为， 则 3 105 sincos 35 nAQ ， 直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为 3 105 35 19.解： （1）2.5t ，423.75y ， 2 4 1 ()5 i i tt ， 135.5 27.1 5 b ， 423.75( 27.1)2.5491.5a ， 所以27.1491.5yt 当5t 时，27.1 5491.5356y （2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，的可能值为0，1，2，3， 所以 3 7 3 10 7 (0) 24 C P C ； 12 37 3 10 21 (1) 40
17、C C P C ； 21 37 3 10 7 (2) 40 C C P C ； 3 3 3 10 1 (3) 120 C P C ， 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 721719 ( )0123 24404012010 E . 20.解： （1）因为c m ， 1 2 c e a ， 则2am，3bm 所以 3 2 a b 取最小时值时1m ， 此时抛物线 1 C： 2 4yx，此时2a ， 2 3b ， 所以椭圆 2 C的方程为 22 1 43 xy . . （2）因为c m ， 1 2 c e a ，则2am， 3bm， 设椭圆 22 22 1 43 xy
18、mm ， 00 ()P xy， 11 ()Q xy， 由 22 22 2 1 43 4 xy mm ymx 得 22 316120xmxm， 所以 0 2 3 xm 或 0 6xm（舍去） ，代入抛物线方程得 0 2 6 3 ym，即 22 6 () 33 mm P ， 于是 1 5 3 m PF ， 21 7 2 3 m PFaPF， 12 6 2 3 m FFm， 又 12 PF F 的边长恰好是三个连续的自然数， 所以3m ，此时抛物线方程为 2 12yx ， 1 ( 30)F ， ( 22 6)P ， 则直线PQ的方程为2 6(3)yx， 联立 2 2 6(3) 12 yx yx ，得
19、 1 9 2 x 或 1 2x （舍去） 于是 9 (3 6) 2 Q ， 所以 22 925 ( 2)(2 63 6) 22 PQ ， 设 2 () 12 t Mt，（( 3 62 6)t ，）到直线PQ的距离为d， 则 2 6675 () 3022 dt 当 6 2 t 时， max 6755 6 3024 d， 所以 MPQ 的面积最大值为 1255 6125 6 22216 ，MP： 42 66 33 yx . 21.解： （1）因为 1 ln2 ( ) x xk x fx e （0x ） ， 由已知得 12 (1)0 k f e ，所以 1 2 k ， 所以 1 ln1 ( ) x
20、x x fx e ， 设 1 ( )ln1k xx x ， . 则 2 11 ( )0k x xx 在(0 )， 上恒成立， 即 ( )k x在(0)， 上单调递减， 由 (1)0k 知，当01x时， ( )0k x ，从而 ( )0fx ，当1x 时， ( )0k x ，从而 ( )0fx . 综上可知， ( )f x的单调递增区间是(01)，单调递减区间是(1)， ， （2）因为0x ，要证原式成立即证 2 ( )1 1 x g xe ex 成立. 当1x 时，由（1）知 2 ( )01g xe 成立； 当01x时，1 x e ，且由（1）知， ( )0g x ，所以 1ln ( )1ln
21、 x xxx g xxxx e . 设 ( )1lnF xxxx ， (0 1)x， 则 ( )(ln2)F xx ， 当 2 (0)xe，时， ( )0F x 当 2 (1)xe，时， ( )0F x ， 所以当 2 xe时， ( )F x取得最大值 22 ()1F ee ， 所以 2 ( )( )1g xF xe ， 即当01x时， 2 ( )1g xe ， 综上所述，对任意0x ， 2 ( )1g xe 恒成立， 令( )1 x G xex（0x ） ，则( )10 x G xe 恒成立，所以 ( )G x在(0)， 上单调递增， ( )(0)0G xG 恒成立，即10 x ex ， 即
22、 11 0 1 x ex . 当1x 时，有 2 ( )1 0 1 x g xe ex ； 当01x时，由式， 2 ( )1 1 x g xe ex . 综上所述，当0x 时， 2 ( )1 1 x g xe ex 成立，故原不等式成立. 22.解： （1）曲线 1 C的普通方程为 2 2 1 2 x y，曲线 2 C的直角坐标方程为 2 4yx. （2）设直线l的参数方程为 1cos sin xt yt ，（ t为参数） ， . 又直线l与曲线 2 2: 4Cyx存在两个交点，因此sin0. 联立直线l与曲线 1 C： 2 2 1 2 x y， 可得 22 (1 sin)2 cos10tt
23、， 则 1 2 2 1 1sin FAFBt t ， 联立直线l与曲线 2 C： 2 4yx，可得 22 sin4 cos40tt. 则 1 2 2 4 sin FMFNt t ，即 2 22 1 11 1sin 41 4 1 sinsin FA FB FM FN 1 0 8 ， 23.解： （1）不等式 ( )23f xx ，即为 1123xx . 当1x 时，即化为1 123xx ，得3x ， 此时不等式的解集为1x ， 当1x 时，即化为 (1)123xx ，解得 1 3 x ， 此时不等式的解集为 1 1 3 x. 综上，不等式 ( )23f xx 的解集为 1 ) 3 ，. （2） 113 ( ) 1233 xx F x xx ， ， 即 21 ( )13 1233 xx F xxx xx ， ， ， . 作出函数 ( )F x的图象如图所示， 当直线y a 与函数 ( )yF x 的图象有三个公共点时，方程 ( )F xa 有三个解，所以13a. 所以实数a的取值范围是(1 3)， . . . . . .
