1、重点难点指导复数与复变函数重点难点指导第一章 复数与复变函数内容：1.1 复数1.2 复数的三角表示1.3 平面点集的一般概念1.4 无穷大和复球面1.5 复变函数 重点：（1）复数的三种表示法（2）复变函数的概念（3）复变函数的极限与连续性的概念，复数的四则运算、乘方运算、开方运算。 难点：（1）复平面的点集与区域（2）复数的几何表示（3）复数运算的几何意义，利用几何进行运算。重点难点解答：1.在复数的表示法中要特别注意三角表示法和指数表示法，它们有时候能使解决的问题简化。一般来讲，复数的加减法用代数表示法计算简单，而乘法、除法、乘幂和方根运算用三角表示法或指数表示法计算较简单。2.任意两个
2、虚数不能比较大小。3.实变量函数的定义域和值域都在实直线的某个集合中，而复变函数的定义域和值域都在复平面的某个集合上。4.复数的辐角有无穷多个，它们相差的整数倍，称位于中的角为主辐角，记为。5.确定复数的辐角，一般利用的向量表示确定在坐标系中的位置，在利用反正切公式确定的辐角主值。 当时辐角无意义当时，有如下关系（，） 复数的辐角是我们遇到的第一个多值函数，以后遇到的多值函数都和这个多值函数有关。19 / 1919 / 19第二章 解析函数内容：2.1 解析函数的概念2.2 解析函数和调和函数的关系2.3 初等函数重点：（1）复变函数导数的概念及其求法，（2）解析函数的概念，（3）用柯西-黎曼
3、条件判断函数解析性的方法，（4）从解析函数的实（虚）部求其虚（实）的方法。难点：（1）初等函数的解析性（2）解析函数与调和函数的关系重点难点解答：1.判断函数可导或解析的方法1)利用可导与解析的定义由定义，一个函数在解析，除在该点可导外，还必须在该点的某一个邻域内可导，两个条件必须都满足。而要判断一个函数在区域D内解析，只要判断它在D内可导即可。故判断函数是否解析，归结为判断函数是否可导的问题，而函数可导可用定义验证。2)利用可导与解析的充要条件函数在区域内有定义，则在点可微的充要条件是：（1）在处可微；(2)在处满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称C-R方程）若上述条件中
4、有一个不成立，则在该点不可导，从而不解析。而函数在区域内有定义，则在内解析的充要条件是：（1）在内可微；(2)在内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称C-R方程）2. C-R方程是本章的一个重点，它不仅可以判别函数在一点的解析性，而且还可用来求复变函数的导数 它也说明了不是任意两个存在连续偏导数的函数都可以组成一个解析函数的实部与虚部，它们之间有着密切的联系。 3. 对数函数是一个多值函数，它的每一分支在除去原点和负实轴外处处解析，虽 然它保持了实对数的某些运算性质，但表达的含义不同，这一点要注意。 ， 等式的左右两边都是集合，上式表示给出左边的任一个分支，一定有的一个分支
5、和的一个分支，使得它们的和或差与之对应。 4. 幂函数一般来讲是多值函数，当b为整数时，为一单值函数，而为一n值函数。5. 已知解析函数的实部或虚部求解析函数有以下几种方法：（1） 偏积分法， （2）不定积分法 （2）线积分法 (1）偏积分法：若已知实部，利用条件，得；对两边积分，得 （*）再对（*）式两边对求偏导，得 （*） 由条件，得，可求出；代入（*）式，可求得 虚部 。 (2）线积分法：若已知实部，利用条件可得，故虚部为；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中与 是解析区域中的两点。(3）不定积分法：若已知实部，根据解析函数的导数公式和条件得知， 将此式右端表示成的
6、函数，由于仍为解析函数，故 （为实常数）注：若已知虚部也可用类似方法求出实部第三章 复变函数的积分内容：3.1 复积分的概念3.2 柯西积分定理3.3 柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数重点：（1）求复变函数在曲线上的积分,（2）会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分,（3）柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分难点：（1）复变函数积分的定义和性质,（2）不定积分的概念重点和难点解答：1.复积分的值不仅与起点和终点有关，而且与积分路径有关，只有当在单连通区域D内解析时，才仅与起点和终点有关，此时沿任何一条曲线上得积分值相等，故可沿某些特殊的曲线进行积分。2.柯西积分定理、复合闭路定理、闭
7、路变形原理是计算沿封闭路线积分的理论依据，而柯西积分公式、高阶导数公式为主要工具，在被积函数较复杂情况下，需要对被积函数作适当变形，然后再联合使用定理、公式和性质。第四章 解析函数的级数表示内容：4.1复数项级数4.2复变函数项级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数重点：（1）理解复数项级数的概念，知道条件收敛与绝对收敛，（2）知道幂级数的概念，了解幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质。（3）正确理解泰勒展开定理、罗朗展开定理。难点：（1）泰勒定理,（2），的麦克劳林展开式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数（3）会用间接的方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开
8、成罗朗级数。重点难点解答： 1. 解析函数展开成泰勒级数的常用方法1）直接法：直接求出，于是。2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。2.常用函数在的泰勒展开式1） 2） 3） 4） 3.圆环内解析函数展开成洛朗级数方法：洛朗级数一般只能用间接法展开。第五章 留数及其应用内容：5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用5.4对数留数与辐角原理重点：（1）孤立奇点的分类及函数在各种奇点邻域内的性质，（2）留数的概念，（3）留数定理。难点：（1）函数在极点处留数的计算方法（2）用留数定理计算闭路积分及一些实积分。重点和难点解
9、答：1. 孤立奇点的分类1）可去奇点：展开式中不含的负幂项；2）极点：展开式中含有限项的负幂项； 其中在解析，且；3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项； 2. 留数的计算方法若是的孤立奇点，则，其中为在的去心邻域内洛朗展开式中的系数。1）可去奇点处的留数：若是的可去奇点，则2）级极点处的留数法则I 若是的级极点，则 特别地，若是的一级极点，则 注：如果极点的实际级数比低，上述规则仍然有效。法则II 设，在解析，则3.留数的应用 留数是利用复积分来定义的，但一般利用留数来计算函数沿封闭曲线的积分即留数定理 设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则它将求沿简
10、单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在内各孤立奇点处留数的局部问题。另一个应用是计算三种不同类型的实积分应用时要注意情形，必须满足条件，否则不能使用此法。第六章 共形映射内容：6.1共形映射的概念6.2共形映射的基本问题6.3分式线性映射6.4几个初等函数构成的共形映射重点：（1）线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性难点：（1）解析函数的导数的几何意义及共形映射的概念，（2）（为正有理数）和的映射性质，（3）线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性，（4）会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射 重点和难点解答：要确定一些简单区域之间的映射，必
11、须掌握一些基本初等函数所构成的映射，然后利用复合映射实现由简单到复杂。1.分式线性映射是三个变换的复合，一是平移，二是旋转与伸缩，三是反演，它在扩充的复平面上具有保圆性、保角性和保对称点性。对于分式线性映射，要记住以下典型映射：（1） 上半平面到单位圆内部的映射（2） 单位圆到单位圆内部的映射（3） 上半平面到上半平面的映射2. 幂函数确定的映射具有把角形域映射成角形域的特点，如果问题要把角形域映为角形域，自然想到幂映射。3. 指数映射的特点是把水平带形域映射为角形域。第七章 解析函数在平面场的应用内容：7.1复势的概念7.2复势的应用7.3用共形映射的方法研究平面场重点：（1）复变函数表示平
12、面向量场和复势的基本概念，（2）数学软件做出复势在流体力学、热流学、静电场上应用的直观图形，（3）用数学软件演示一些流体力学、热流学、静电场中复势的变换。难点：（1）复势在流体力学、热流场、静电场中的应用，（2）数学软件做出复势在流体力学、热流学、静电场上应用的直观图形，（3）共形映射方法研究平面场的方法，（4）用数学软件演示一些流体力学、热流学、静电场中复势的变换。第八章 傅里叶变换内容：8.1傅里叶变换的概念8.2单位冲激函数8.3傅里叶变换的性质重点：（1）会求函数的傅里叶变换，（2）单位脉冲函数及其傅里叶变换，（3）会用一些数学软件绘制一些函数的频谱、相位谱、振幅谱等，（4）用数学软件
13、和傅里叶变换研究一些实际应用例子。难点：（1）理解傅里叶变换的概念，（2）傅里叶变换的性质，（3）会用一些数学软件绘制一些函数的频谱、相位谱、振幅谱等，（4）用数学软件和傅里叶变换研究一些实际应用例子。重点难点解答：（一）傅里叶变换的概念（二）几个常用函数的傅里叶变换（三）傅里叶变换的性质位移性（时域）：位移性（频域）： 位移性推论：位移性推论：微分性（时域）： （）， 微分性（频域）： 相似性： 第九章 拉普拉斯变换内容：9.1拉普拉斯变换的概念9.2拉氏变换的性质9.3拉普拉斯逆变换9.4拉氏变换的应用及综合举例重点：（1）拉普拉斯变换的概念，（2）会求拉普拉斯逆变换及拉普拉斯变换，（3）用拉普拉斯变换求解微分方程的方法。难点：（1）拉普拉斯变换的性质，（2）卷积的概念及卷积定理，（3）用拉普拉斯变换求解微分方程的方法。重点和难点解答：（一）拉普拉斯变换的概念（二）几个常用函数的拉普拉斯变换； 是自然数；（）；设，则。（是以为周期的周期函数）（三）拉普拉斯变换的性质微分性（时域）：微分性（频域）：，积分性（时域）： 积分性（频域）：（收敛）位移性（时域）：位移性（频域）：（,）相似性： （四）卷积及卷积定理（五）几个积分公式
