1、5.3 拉普拉斯变换 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例一、案例 自动控制自动控制 在自动控制系统的分析和综合中，线性定10111ddd()()()()dddnnnnnnay tay tay ta y tttt10111ddd()()()()dddmmmmmmbx tbx tbx tb x tttt如何求解此微分方程呢？常系统由下面的n阶微分方程描述 二、二、概念和公式的引出概念和公式的引出 拉氏变换拉氏变换 设函数f(t)的定义域为，若反常积分）,00()dptf t et对于p在某一范围内的值收敛,则此积分0()()dptF pf t et函数F(p)称为f(t)的
2、拉氏变换(或称为f(t)的象函数，函数f(t)称为F(p)的原函数，以上公式简称为拉氏变换式，用记号Lf(t)表示，即 就确定了p的函数,记作)()(tfLpF(2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,是一种积分变换,一般地在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的,故以后不再对其存在性进行讨论假定t0时，有 0()dptL atat et02ptaep2ap0d()ptatep 00dptptataeetpp 练习2 指数函数 解 这个积分当pa时收敛，此时 求),0()(为常数atetfat的拉氏变换。0datatptL eeetapeLat1)(ap()01p a
3、tepa 练习3 三角函数 求函数 f(t)=coswt的拉氏变换。解 0coscosdptLwtwt et当p0时，有 022|)cossin(1wtpwtwewppt22wpp类似地 22)sin(wpwwtL)0(p在许多问题中,常会遇到只有在极短时间作用的量,如电路中的脉冲电动势作用后所产生的脉冲电流,要确定某瞬间(t=0)进入一无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的强度,为此,引入了一个新的函数来表示.这个函数叫狄拉克函数.表示上述电路中的电量.单位电量的脉冲电路上的电流,用()t狄拉克函数狄拉克函数设 tttt00100)(当 0时,)(lim)(0tt称为狄拉克函数,简称为 函数.
4、在工程技术中常称为单位脉冲函数，即000)(ttt如图所示.因为 001()dlimd1ttt,故狄拉克函数有如下性质.设g(t)是 ),(上的一个连续函数，则有 狄拉克函数的性质狄拉克函数的性质)0()()(gdtttg练习4 狄拉克函数的拉氏变换求狄拉克函数的拉氏变换解 0()()dptLtt et即 1)(tL()dptt et01pe 一、案例一、案例 单位阶跃函数单位阶跃函数 已知单位阶跃函数 0100)(tttu的拉氏变换为ptuL1)(,如何求函数 tttu10)(的拉氏变换？二、二、概念和公式的引出概念和公式的引出 性质性质1(1(线性性质线性性质)若a1,a2为常数，设)()
5、()()(2211pFtfLpFtfL，关于原函数导数的拉氏变换)()()()(22112211pFapFatfatfaL则性质性质2(2(微分性质微分性质)()(pFtfL设 则：)0()()(fppFtfL此性质可推广到n阶导数,特别是当各阶导数初值为 0)0()0()0()1(nfff时，有 关于象原函数积分的拉氏变换.)()()(pFptfLnn（n为自然数，p0）性质性质3(3(积分性质积分性质)性质性质4(4(平移性质平移性质)设)()(pFtfL则 ppFdssfLt)()(0设)()(pFtfL则)()(apFtfeLat性质性质5(5(延滞性质延滞性质)性质性质6(6(象函数
6、的相似性质象函数的相似性质)设)()(pFtfL则)()(pFeatfLap设)()(pFtfL则)(1)(apFaatfL0a性质性质7(7(初值定理初值定理)设)()(pFtfL且f(t)连续可导，则0limlim()()tppF pf t或lim()(0)ppF pf性质性质8 8（终值（终值定理定理）设)()(pFtfL则 0limlim()()()tpF pf tf 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 幂函数求函数f(t)=t n的拉氏变换（n为自然数）解 因为 0)0()0()0()1(nfff由性质2的推广有：)()()(tfLppFptfLnnn因为，代如上式,得!)()(ntfn又 1!LnnL)(!tfLpnLn（1）其中 pL1 1（2）联立解（1）、（2）式,得 1!1!)(nnpnpLntfL练习2解 由性质4,可得 求atnetL（n为自然数）1)(!natnapnetL)(ap 练习3 单位阶跃函数解 求函数 tttu10)(的拉氏变换 ptuL1)(因为,由性质5有 petuLp1)()0(p练习4 三角函数 解 0sin()cos()dtataaxx因为 利用性质3（积分性质）求函数 attfsin)(的拉氏变换 22)cos(appatL而)0(p所以 0sin()cos()d tLataLaxx22apa
