1、1 本章的重点：本章的重点：1逻辑代数的基本公式和常用公式。逻辑代数的基本公式和常用公式。2逻辑代数的基本定理。逻辑代数的基本定理。3逻辑函数的各种表示方法。逻辑函数的各种表示方法。4逻辑函数的化简方法。逻辑函数的化简方法。5约束项、任意项、无关项的概论以及无关项在化约束项、任意项、无关项的概论以及无关项在化简逻辑函数中的应用。简逻辑函数中的应用。6“最小项最小项”和和“任何一个逻辑函数式都有可以化任何一个逻辑函数式都有可以化为最小项之和形式为最小项之和形式”是两个非常重要的概念，在逻辑函是两个非常重要的概念，在逻辑函数的化简和变换中经常用到。数的化简和变换中经常用到。本章的难点：本章的难点：
2、稍微难理解一点的是约束、任意项、无关项这几个概稍微难理解一点的是约束、任意项、无关项这几个概念。念。第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础2第一节第一节 概述概述逻辑代数的产生：逻辑代数的产生：1849年英国数学家乔治年英国数学家乔治.布尔布尔(George Boole)首先提出，首先提出，用来描述客观事务逻辑关系的数学方法用来描述客观事务逻辑关系的数学方法称为称为布尔代数布尔代数。后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为所以也称为开关代数开关代数或或逻辑代数逻辑代数。逻辑代数中用字母表示变量逻辑代数中用字母表示变量逻辑变量
3、逻辑变量，每个逻辑变量的，每个逻辑变量的取值只有两种可能取值只有两种可能0和和1。它们也是逻辑代数中仅有的两个。它们也是逻辑代数中仅有的两个常数。常数。0和和1只表示两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。只表示两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础3第二节第二节 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算三种基本运算是：与、或、非（反）。三种基本运算是：与、或、非（反）。1.与运算与运算可用开关图来说明：可用开关图来说明：ABY 该图代表的逻辑关系是：决该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件都满足时，定事件的全部条件都满足时，事件才发生事件才发生这就是这就
4、是与与逻辑逻辑关系。关系。用用1表示开关接通，表示开关接通，1表示灯表示灯亮，可得如下亮，可得如下真值表真值表：在函数式中，用在函数式中，用.表示与运表示与运算，记做算，记做Y=A.B 或或Y=AB逻辑符号：逻辑符号：&ABYABY只有输入全为只有输入全为1时，输出才为时，输出才为1它们都有集成门电路与之对应。它们都有集成门电路与之对应。ABY00001010011142.或运算或运算ABY 该图代表的逻辑关系是：决该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件至少有一个定事件的全部条件至少有一个满足时，事件就发生满足时，事件就发生这就这就是是或或逻辑关系。逻辑关系。输入有一个为输入有一个为1时，输
5、出就为时，输出就为1 在函数式中，用在函数式中，用 表示或表示或运算，记做运算，记做Y=AB逻辑符号：逻辑符号：ABY1ABY+真值表真值表ABY00001110111153.非门非门ARY 该图代表的逻辑关系是：决该图代表的逻辑关系是：决定事件的条件满足时，事件不定事件的条件满足时，事件不发生发生这就是这就是非非逻辑关系。逻辑关系。真值表真值表 在函数式中，用在函数式中，用_ 表示非表示非运算，记做运算，记做Y=A逻辑符号：逻辑符号：A1YAY国外符号：国外符号：ABYABYAY与门与门非门非门ABYABYAY与门与门非门非门或门或门AY011064.一些常用的复合逻辑运算一些常用的复合逻辑
6、运算 用两个以上基本运算构成的逻辑运算。包括用两个以上基本运算构成的逻辑运算。包括与非、或非与非、或非、与或非、异或和同或与或非、异或和同或运算。和三个基本运算一样，它们都有运算。和三个基本运算一样，它们都有集成门电路与之对应。集成门电路与之对应。1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 A B A B A+B AB A B真值表：真值表：(除与或非运算外）除与或非运算外）逻辑符号：逻辑符号：&1=1=ABYABYABYABYYBAYBAYBAYBA国外符号：国外符号：互为互为非非逻辑关系逻辑关系7与或非逻辑与或非逻辑 A B C D Y
7、0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0函数式形如：函数式形如：Y=AB+CD&1ABCDY逻辑符号：逻辑符号：A与与B等于等于1，或者，或者C与与D等于等于1，Y等于等于0。真值表：真值表：异或的逻辑式：异或的逻辑式：同或的逻辑式：同或的逻辑式：Y=AB+ABY=A B+A B8第三节第三节 逻辑代数的基本公式和常用公
8、式逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式关于常数之间的运算在真值表中已给出。下面的公式中都有变量：关于常数之间的运算在真值表中已给出。下面的公式中都有变量：0.A=01+A=11.A=A0+A=AA.A=AA+A=AA.A=0A+A=1A.B=B.AAB=BA交换律交换律A.(B.C)=(A.B).C结合律结合律A(BC)=(AB)+CA.(B+C)=A.B+ACABC=(AB)(A+C)分配律分配律A=AA.B=A+BAB=A.B摩根定理摩根定理我们用真值表证明我们用真值表证明分配律分配律的第二个公式：的第二个公式：还原律还原律互补律互补律重叠律重叠律0 19A B C B.C
9、 A+BC A+BA+C(A+B)(A+C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1其他公式的证明请同学自己完成。其他公式的证明请同学自己完成。ABC=(AB)(A+C)10二、若干常用公式二、若干常用公式A+AB=A证：左证：左A(1+B)=A.1=A吸收律吸收律1吸收律吸收律2证：左证：左(A+A)(A+B)=A+BA B+AB=AA B+AB=A证：左证：左A(B+B)=A.1=AA B+A
10、C+BC=AB+AC冗余项定理冗余项定理推论：推论：=AB+AC+ABC+ABC=右右A+AB=A+BA+AB=A+BA AB=A BA AB=A证：证：A B+AC=A B+A C=A B+AC+B C=右右证：证：左左 A B+AC+BC(A+A)A B+AC+BCD=AB+AC左左AB A C=(A+B)(A+C)摩根定理摩根定理11第四节第四节 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理一、代入定理一、代入定理 定理：在任何一个包含逻辑变量定理：在任何一个包含逻辑变量A的等式中，若以另外一个逻的等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。的位置，则等式仍然
11、成立。例如：将摩根定理例如：将摩根定理 中中 A.B=A+BB用用C.D代入，有代入，有A.B=A.CD=A+CD=A+C+DA.B=A.CD=A+CD=A+C+D 上式说明摩根定理可推广到上式说明摩根定理可推广到3个变量。当然也可推广到任意个变量。当然也可推广到任意个变量。个变量。二、反演定理二、反演定理注：称注：称A为原变量，为原变量，A为反变量。为反变量。定理：定理：对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的，若将其中所有的 和交换，和交换，0 和和1交换，原变量和反变量交换，交换，原变量和反变量交换，得到的结果就是得到的结果就是Y。该定理可简单记为：该定理可简单记为：+，0
12、 1，A A 。12注意事项：注意事项：1.逻辑运算的优先顺序：括号，与，或逻辑运算的优先顺序：括号，与，或,异或。异或。2.多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。例如：例如：已知：已知：Y=A(B+C)+CD则：则：=(A+B C)CD =A CD或者，令或者，令E=CD 代入上式代入上式Y=(A+B C)C+DY=(A+B C)C+DY=(A+B C)EY=(A+B C)CD所以：所以：13三、对偶定理三、对偶定理对偶式的定义：对偶式的定义：Y=A(B+C)=A+BCY很明显很明显Y 也是也是 的对偶式。的对偶式。Y例如
13、：例如：定义定义：对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的，若将其中所有的 和交换，和交换，0和和1交换，得到的结果就是交换，得到的结果就是Y的对偶式，记做的对偶式，记做 。YZ=AB+AC =(A+B)(A+C)Z对偶定理对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。在上面的例子中，根据分配律在上面的例子中，根据分配律 Y=Z，再根据对偶定理有：，再根据对偶定理有：=ZY即即 A+BC=(A+B)(A+C)这就从分配律的第一个公式直接推出第二个公式。这就从分配律的第一个公式直接推出第二个公式。从对偶定理可看出，只要一个逻辑函数式的变量数
14、不少于两从对偶定理可看出，只要一个逻辑函数式的变量数不少于两个（含反变量），它就一定存在对偶式。个（含反变量），它就一定存在对偶式。14第五节第五节 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用逻辑函数表示。事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用逻辑函数表示。如：前面介绍的灯与开关间的逻辑关系。如：前面介绍的灯与开关间的逻辑关系。又如举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用又如举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，其表示，其中中A是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举
15、才算成功。当用时，运动员的试举才算成功。当用Y表示举重结果时，表示举重结果时，Y与与A,B,C的逻辑关系可表示为：的逻辑关系可表示为：Y=A(B+C)这就是一个逻辑函数的例子。这就是一个逻辑函数的例子。一、逻辑函数一、逻辑函数又如，三变量多数表决逻辑。也是逻辑函数的例子。又如，三变量多数表决逻辑。也是逻辑函数的例子。二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法常用的有四种：常用的有四种：真值表；逻辑函数式；逻辑图；卡诺图。真值表；逻辑函数式；逻辑图；卡诺图。15本节介绍前三种，将卡诺图留在下节介绍。本节介绍前三种，将卡诺图留在下节介绍。1.真值表真值表举重裁判的真值表：举重裁判的真值表：A B
16、 C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 左侧是左侧是输入变量输入变量的所有取值，右侧的所有取值，右侧是是输出变量输出变量的值，即函数值。的值，即函数值。当输入变量个数为当输入变量个数为n时，真值表共有时，真值表共有2n行。行。特点：特点：描述逻辑问题方便；描述逻辑问题方便；直观；直观；较繁琐。较繁琐。2.函数式函数式举重裁判的函数式：举重裁判的函数式：Y=A(B+C)特点：特点：便于运算、化简；便于运算、化简；便于画逻辑图；便于画逻辑图；不便从逻辑问题直接得到。不便从逻辑问题直接得到。163.逻辑图逻辑图举重裁判
17、函数的逻辑图：举重裁判函数的逻辑图：特点：特点：便于用电路实现。便于用电路实现。&1AYBC4.各种表示方法间的相互转换各种表示方法间的相互转换真值表真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 黑箭头容易实现。篮箭头不能直接实现，可借助函数黑箭头容易实现。篮箭头不能直接实现，可借助函数式实现。下面要重点介绍红箭头，即由真值表求函数式。式实现。下面要重点介绍红箭头，即由真值表求函数式。三、逻辑函数的两种标准形式三、逻辑函数的两种标准形式 逻辑函数的两种标准形式分别是逻辑函数的两种标准形式分别是与或式与或式和和或与式或与式，我们重点，我们重点 介绍与或式。首先，介绍介绍与或式。首先，介绍最小项最小项和和最大项
18、最大项。Y=A(B+C)17（一）最小项和最大项（一）最小项和最大项 我们只介绍最小我们只介绍最小项。最大项留给同学项。最大项留给同学自己看。自己看。1.最小项的定义：最小项的定义：在在n变量逻辑函变量逻辑函数中，若数中，若m为包含为包含n个因子的个因子的与项与项，且，且这些变量均以原变这些变量均以原变量或反变量的形式量或反变量的形式出现一次，则称出现一次，则称m为为该组变量的最小项。该组变量的最小项。此时此时AB、A都不是最小项。都不是最小项。m7 7 1 1 1A B Cm6 6 1 1 0A B Cm5 5 1 0 1A B Cm4 4 1 0 0A B Cm3 3 0 1 1A B C
19、m2 2 0 1 0A B Cm1 1 0 0 1A B Cm0 0 0 0 0A B C A B C编编号号对应对应十进十进制数制数使最小项为使最小项为1的值的值最小项最小项 以三变量为例，以三变量为例，如表。如表。182.最小项的性质：最小项的性质：（1）对应输入变量的任何取值，都会有一个最小项，且仅有一）对应输入变量的任何取值，都会有一个最小项，且仅有一个最小项的值为个最小项的值为1；（2）全体最小项之和为）全体最小项之和为1；（3）任意两个最小项之积为）任意两个最小项之积为0；（4）两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一对因）两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一对因子
20、。子。定义：如两个最小项只有一个变量不相同，则称之为逻辑相邻。定义：如两个最小项只有一个变量不相同，则称之为逻辑相邻。例：例：ABC和和ABC是逻辑相邻的最小项，当它们相加时，是逻辑相邻的最小项，当它们相加时，会消去变量会消去变量C：ABC+ABC=AB 下面要介绍的卡诺图就是利用最小项的这一性质化简逻辑函数下面要介绍的卡诺图就是利用最小项的这一性质化简逻辑函数的。的。利用性质（利用性质（1）可以从真值表求出逻辑函数的标准与或式。）可以从真值表求出逻辑函数的标准与或式。关于最大项和逻辑函数的关于最大项和逻辑函数的标准或与式标准或与式留给同学自学。留给同学自学。ABC.ABC=019（二）逻辑函
21、数的最小项之和标准形式（二）逻辑函数的最小项之和标准形式A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 操作方法：将函数值为操作方法：将函数值为1的的行行对应的对应的最小最小项项取出相加。取出相加。以举重裁判逻辑为例。以举重裁判逻辑为例。Y=1对应对应m5、m6、m7三个最小项，固有：三个最小项，固有：Y=ABC+ABC+ABC简写成简写成Y=m5+m6+m7或或Y=)7,6,5(m或或)7,6,5(Y将非标准形式化成标准形式：将非标准形式化成标准形式：Y=AB+AC=AB(C+C)+AC(B+B)=ABC+ABC
22、+ABC规律：规律：少少1个变量，化成个变量，化成2个最小项之和；个最小项之和；少少2个变量，化成个变量，化成4个最小项之和；个最小项之和；少少n个变量，化成个变量，化成2n个最小项之和。个最小项之和。20第六节第六节 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、一、逻辑函数式最简的标准逻辑函数式最简的标准 化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。节省器件。逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。或非或非式等等。AB+AC 与或式与或式=AB
23、 AC 与非与非式与非与非式两次取反两次取反=A(B+C)或与式或与式=AB+C 或非或非式或非或非式两次取反两次取反与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：1.包含的与项最少；包含的与项最少；2.在满足在满足1项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。21二、化简方法二、化简方法 我们通过一些例子说明我们通过一些例子说明如何应用这些公式进行化简。如何应用这些公式进行化简。常用公式常用公式A+AB=AA B+AB=AA B+AB=AA B+AC+BC=AB+ACA+AB=A+BA+AB=A+BA B+
24、AC=A B+A C1.2.3.4.5.Y=ABC+AC+B C=ABC+A B C=CY=AB+A(C+D)B=AB1式式Y=AC+AD+CD=AC+AC D=AC+D2式式Y=AC+AD+C+D=AC+AD+C D=AC+C D3式式4式式吸收法吸收法消因子法消因子法并项法并项法消项法消项法Y=AB+AB+BC+BC=AB+AB+BC+BC+AC=AB+BC+AC或或Y=AB+AB+BC+BC+AC=AB+BC+AC本例说明最简式不一定是唯一的。本例说明最简式不一定是唯一的。22A+AB=AA B+AB=AA B+AB=AA B+AC+BC=AB+ACA+AB=A+BA+AB=A+BA B
25、+AC=A B+A C常用公式常用公式1.2.3.4.5.=ABC+ABC+ABC+ABC 函数式中的任一函数式中的任一与项与项都可都可重复使用：重复使用：=AB+BC3式式=ABC+ABC+ABC+ABCY=ABC+ABC+ABCY=AB C+CD.A =(AB C+CD).A=A C D5式式Y=AC+BC+BD+CD+A(B+C)+ABCD+ABDEB C=BC+BD+A注意：注意：1.当有长非号时，应先化简非号下的式子，然后脱掉非号。当有长非号时，应先化简非号下的式子，然后脱掉非号。2.要十分注意冗余项公式的应用。要十分注意冗余项公式的应用。23第七节第七节 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑
26、函数的卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法一、逻辑函数的卡诺图表示法（一）表示最小项的卡诺图（一）表示最小项的卡诺图 卡诺图是用来化简逻辑函数的。由英国工程师卡诺图是用来化简逻辑函数的。由英国工程师Karnaugh首先首先提出的。也称卡诺图为提出的。也称卡诺图为K图。图。将真值表画成矩形表格。遵循的原则是逻辑相邻的最小项将真值表画成矩形表格。遵循的原则是逻辑相邻的最小项在卡诺图上对应的小方格要几何位置相邻。在卡诺图上对应的小方格要几何位置相邻。几何位置相邻：几何位置相邻：1.有公共边；有公共边；2.位置对称。位置对称。画法：画法：1010ABm0m1m3m2二变量二变量1010110100A
27、BCm0m1m3m2m6m7m5m4ABCABC ABCABCABC三变量三变量循环码循环码24四变量四变量1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8DAABCDABCDABCDABCD 五变量以上的卡五变量以上的卡诺图不作要求。诺图不作要求。卡诺图上每个变卡诺图上每个变量取量取1和取和取0的方格的方格数各占总格数的一数各占总格数的一半。所以卡诺图还半。所以卡诺图还有另一种标法：有另一种标法：BC（二）用卡诺图表示逻辑函数（二）用卡诺图表示逻辑函数显然，只要在每个小方格里填上函数值（显然，只要在每个小方格里填上函数值（0
28、或或1）即可。）即可。具体操作还要分两种情况：具体操作还要分两种情况：第一种，已知逻辑函数的真值表；第一种，已知逻辑函数的真值表；第二种，已知逻辑函数的函数式；第二种，已知逻辑函数的函数式；251.已知真值表已知真值表 真值表和卡诺图有一一对应关系，真值表和卡诺图有一一对应关系，可直接填。如举重裁判：可直接填。如举重裁判：我们已知道它的真值表中包含我们已知道它的真值表中包含5，6，7号三个最小项。号三个最小项。1010110100ABC由于函数值只有由于函数值只有0，1两种取值，故可将两种取值，故可将0省略。省略。2.已知函数式已知函数式当已知最小项标准形式时，与当已知最小项标准形式时，与1中
29、情况相同。如中情况相同。如Y=m5+m6+m7当已知一般与或式时，可将其化成最小项标准形式。如：当已知一般与或式时，可将其化成最小项标准形式。如：Y=AB+AC =AB(C+C)+AC(B+B)=ABC+ABC+ABC也可直接将每个与项填进卡诺图：也可直接将每个与项填进卡诺图：1010110100ABC与项与项AB填入填入A、B都等于都等于1的方格。的方格。即即6号和号和7号最小项。号最小项。与项与项AC填入填入A、C都等于都等于1的方格。的方格。即即5号和号和7号最小项。号最小项。11100000111261011010010110100ABCD少少1个变量的与项，在卡诺图上占个变量的与项，
30、在卡诺图上占2个相邻的小方格。个相邻的小方格。这说明：这说明：我们在四变量卡诺图上作进一步研究。我们在四变量卡诺图上作进一步研究。1111 与项与项AB少两个变量，用少两个变量，用AB(C+C)(D+D)方法可得，它包含方法可得，它包含4个个最小项，编号是最小项，编号是12，13，14，15，它们组成一个矩形。，它们组成一个矩形。易证明易证明AD所占的所占的4个格个格组成正方形。组成正方形。1111 与项与项A少少3个变量，用个变量，用A(B+B)(C+C)(D+D)方法可得，方法可得，它包含它包含8个最小项，编号是个最小项，编号是8，9，10，11，12，13，14，15，它，它们组成一个矩
31、形。们组成一个矩形。结论：结论：与项少与项少k个变量，在卡诺图上占个变量，在卡诺图上占2k个的小方格，且组成矩形。个的小方格，且组成矩形。将这个结论反过来用于化简，就是合并最小项的规律。将这个结论反过来用于化简，就是合并最小项的规律。27二、用卡诺图化简逻辑函数二、用卡诺图化简逻辑函数图形法图形法（一）合并最小项的规律（一）合并最小项的规律1011010010110100ABCD11111111与项少与项少k个变量，在卡诺图上占个变量，在卡诺图上占2k个的小方格，且组成矩形。个的小方格，且组成矩形。将：将：反过来用：反过来用：在卡诺图上合并组成矩形的在卡诺图上合并组成矩形的2k个小方格，得到的
32、与项少个小方格，得到的与项少k个变量。个变量。红框合并红框合并2个最小项，对应与项个最小项，对应与项ABC少少1（k）个变量。）个变量。篮（绿）框合并篮（绿）框合并4个最小项，个最小项，对应与项对应与项AB（AC）少）少2（k）个）个变量。变量。紫框合并紫框合并8个最小项，对应与个最小项，对应与项项A少少3（k）个变量。）个变量。注意：注意：1.只能合并只能合并2k个小方格；个小方格；2.边上方格的相邻性。边上方格的相邻性。281011010010110100ABCD111111图中黑框对应与项图中黑框对应与项A B D。图中篮框对应与项图中篮框对应与项A D。图中红框对应与项图中红框对应与项
33、B D。11图中紫框对应与项图中紫框对应与项 D。（二）卡诺图化简法（二）卡诺图化简法 由于每个与项在卡诺图由于每个与项在卡诺图上对应上对应1个函数值为个函数值为1 的矩形的矩形区，因此可用一个区，因此可用一个“圈圈”（也称为矩形组）将其包围。（也称为矩形组）将其包围。将将 最简的原则与最简的原则与画圈画圈对比：对比：1.用用最少最少的圈（矩形组）覆盖所有的的圈（矩形组）覆盖所有的1，1可以重复使用；可以重复使用；对应每个圈最大；对应每个圈最大；2.与项中的变量最少与项中的变量最少对应圈最少；对应圈最少；因此，化简的原则是：因此，化简的原则是：1.与项最少与项最少 2.每一个圈（矩形组）覆盖每
34、一个圈（矩形组）覆盖2k个个1，且，且k要取要取最大最大值；值；逻辑函数的最简式有几个与逻辑函数的最简式有几个与项，就一定对应同样多的圈。项，就一定对应同样多的圈。29综上所述，化简的步骤是：综上所述，化简的步骤是：1.将逻辑函数化成与或式，然后画出其卡诺图；将逻辑函数化成与或式，然后画出其卡诺图；2.按最简原则画出按最简原则画出必要必要的圈；的圈；3.求出每个圈对应的与项，然后相加。求出每个圈对应的与项，然后相加。举例说明：举例说明：1011010010110100ABCDY=(A+B)CD+(A+B)(A+B+C+D)=ACD+BCD+AB+ABCD卡诺图为：卡诺图为：11111111用三
35、个圈覆盖：用三个圈覆盖：最简与或式为：最简与或式为：Y=CD+A B+ABD1可重复使用可重复使用要圈两个要圈两个1 当最简式不唯一时，画圈的方法也不唯一：当最简式不唯一时，画圈的方法也不唯一：301011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡诺图如右卡诺图如右;圈黑圈，得：圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈篮圈，得：圈篮圈，得：Y=AB+BC+CA冗余项公式在这个卡诺图上看得非常清楚。冗余项公式在这个卡诺图上看得非常清楚。Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111显然，紫圈是多余的。
36、显然，紫圈是多余的。避免画多余圈的方法：避免画多余圈的方法：1.画完圈后注意检查；画完圈后注意检查；2.先圈只有一种方法可圈的先圈只有一种方法可圈的1。31举两个例子：举两个例子：Y=AD+BCD+ABC+ACD+A BD1011010010110100ABCD1011010010110100ABCD1111111111=AB+BC+B DY=ACD+CD+AD+AB+ABC111111111111这种情况可通过圈这种情况可通过圈0求求Y来解决：来解决：Y=ADY=A+D32第八节第八节 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简（一）无关项（一）无关项无关项是约束项和任意项的总
37、称。无关项是约束项和任意项的总称。1.约束项：是最小项，若使该最小项的值为约束项：是最小项，若使该最小项的值为1的输入变量取值不允许输入，则称该最的输入变量取值不允许输入，则称该最小项为约束项。小项为约束项。例如，四舍五入函数例如，四舍五入函数用用A,B,C,D组成组成的四位二进制数表示的四位二进制数表示1位十进制数，当该数大位十进制数，当该数大于于4时输出为时输出为1。A B C D Y 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0
38、1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 真值表为：真值表为：10101111六个值不允许输入。将六个值不允许输入。将m10m15称为约束项。在真值表和卡诺图中都称为约束项。在真值表和卡诺图中都用用 表示。表示。在函数式中约束项的表示方法：在函数式中约束项的表示方法：m10+m11+m12+m13+m14+m15=0也可用求和符号表示上式：也可用求和符号表示上式：0)1510(m将将约束项约束项之和等于之和等于0称为称为约束约束条件条件33因此四舍五入函数可表示为因此四舍五入函数可表示为m10+m11+m12+m13+m14+m15=0)95(mY
39、约束条件：约束条件：或或 0)1510(m或或)1510(dAB+AC=0也可这样表示：也可这样表示：把这类逻辑函数称为有约束把这类逻辑函数称为有约束的逻辑函数。的逻辑函数。2.任意项：是最小项，若使其值为任意项：是最小项，若使其值为1的变量取值输入时，函数的变量取值输入时，函数值可为值可为0，也可为，也可为1，则称该最小项为任意项。，则称该最小项为任意项。任意项很少遇到，这里不作讨论。任意项很少遇到，这里不作讨论。（二）约束项在化简中的应用（二）约束项在化简中的应用约束项对应的方格可填为约束项对应的方格可填为0，也可填为，也可填为1。原则是将函数化到最简。原则是将函数化到最简。1011010
40、010110100ABCD11111 若将若将m8和和m9改为改为0，则则10，11，12号约束号约束项就按项就按0处理了。处理了。34举两个例子：举两个例子：注意：有约束项时，一定要用注意：有约束项时，一定要用卡诺图化简。不要用公式法，除非卡诺图化简。不要用公式法，除非变量太多，无法用卡诺图化简。变量太多，无法用卡诺图化简。1011010010110100ABCD1011010010110100ABCDY(A,B,C,D)=m1+m7+m8约束条件为约束条件为m3+m5+m9+m10+m12+m14+m15=01111 Y(A,B,C,D)=A D+A DY=ACD+ABCD+ABCD111约束条件为约束条件为AB+AC=0 Y=AD+BD+CD 请注意，被圈进去的约请注意，被圈进去的约束项在方格中表示束项在方格中表示1，未圈，未圈进去的约束项表示进去的约束项表示0。
