1、2 初等函数4 指数函数5 多值函数导引:辐角函数6 对数函数7 幂函数8 三角函数 目前，我们已经研究了复变函数多项式复变函数多项式和有理函数有理函数的解析性.现在把数学分析中常用的其他初等函数推广导复变数的情形，并且研究由推广而得到的初等解析性.先从指数函数指数函数开始.1)指数函数的定义和解析性质4 指数函数要把指数函数的定义扩充到C上，使所得复变数 z=x+iy 的函数 f(z)满足下列条件：(1)xR,f(x)=ex;(2)f(z)在C上解析;(3)z1，z2C,f(z1+z2)=f(z1)f(z2);现在来确定现在来确定 f(z).)()()(iyfeiyxfzfx令)()()(y
2、iByAiyf其中A(y)及B(y)是实值函数.于是)()()(yBieyAezfxx由条件(2)并由柯西柯西-黎曼黎曼条件,由(3)及(1),).()(),()(yByAyByA显然，A(y)=cosy及 B(y)=siny 满足上两条件，因而得到满足条件(2)的一个函数是：()(cossin)xf zey iy不难看出，f(z)满足条件(1).为证明 f(z)满足条件(3),令 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,其中x1,y1,x2,y2R，有)sin(cos)sin(cos)()(22112121yiyeyiyezfzfxx这样f(z)是满足条件(1)-(3)的一个函数，把它定义为
3、指数函数指数函数，记作)()(212121yysiniyycosexx)(21zzf于是条件(3)可写作:)sin(cosyiyeexz(4.1)2121zzz21C,z,eeezz(4.2)2)证明指数函数 满足下列条件:(4)zC，ez0(5)在C上，ze事实上，由zzedzde(4.3)0 xzee就得到条件(4).条件(5)可由(3.6)立即推出.指数函数的周期指数函数的周期性在(4.1)中令 ，就得到欧拉公式欧拉公式：yiyeiysincos(4.4)利用欧拉公式，具有模利用欧拉公式，具有模r及辐角及辐角 的复数的复数z可以写可以写成常用的指数表示式成常用的指数表示式(一般用它代替三
4、角表示式):0 x由(4.1)，容易看出指数函数w=ez具有周期周期性，而且有周期周期2 i.这就是说ireirz)sin(cos(4.5)zizizeeee22(4.6)同样，kz，zikzee2(4.7)21zzee 如果,那么z1=z2+2ki,其中kz.事实上，用x1,y1及x2,y2分别表示z1及z2的实部与虚部，由121zze就可推出 x1-x2=0,y1-y2=2k.2)指数函数的映射性质指数函数的映射性质 由于wez 有周期2ki,研究z在带形2Im0,|zCzzB(4.8)中变化时，函数wez的映射性质.设w的实部及虚部分别为u及v.设z从左到右描出一条直线L:Im z=y0
5、,那么0iyxew，于是|w|从0(不包括0)增大到+，而 argw=y0保持不变.因此，w描述出一条射线L1:argw=y0(不包括w=0)(图6).这样，L和L1上的点之间构成一个双射双射.让y0从0(不包括0)递增到2(不包括2)，那么直线L扫过B(图6(a),而相应射线L1按逆时针方向从w平面上的正实轴（不包括它）变到正实轴（不包括它）(图6(b).由此可见，wez 确定从带形B到w平面除去原点及正实轴的一个双射.显然，函数wez把直线Re zx0在B上的一段映射成w平面上的一个圆|w|=(除去u轴上的点 ).用同样的方法可知，函数wez把任何带形 Ba=z|zC,a R,a Im z
6、 a+2双射成 w平面除去0及射线arg wa；特别，它确定从带形B2n（n Z:B0B）到w平面除去0及正实轴的双射.0 xe0 xe5.多值函数导引多值函数导引-辐角函数辐角函数 目前，我们已经研究过的复变数初等函数:多项式、有理函数及指数函数都是单值函数单值函数.（1）辐角函数辐角函数 复变函数的多值性往往是由辐角的多值性引起的，所以先研究辐角函数辐角函数wArgz(zC0)；它本身不是一般意义下的复变数初等函数.当zC0时，我们知 wArg z有无穷个不同的值：wArg z arg z+2k(kZ），(5.1）其中arg z表示Arg z的主值：-arg z；我们也把Arg z 的任一
7、个确定的值记作arg z.（2）分出分出 的单值连续分支 函数(5.1)在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为它在这区域内的一个一个单值连续分支单值连续分支.考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D.显然，在D内，Arg z的主值arg z(-arg zR内，其中R为充分大的正数，任作一条闭简单连续曲线C围绕，亦即使圆|z|R包含在C的内区域内.这时在C上任取一点z1，并确定Arg z在这点的值arg z1.让一点从z1出发按某一方向沿C连续变动，再回到z1时，arg z连续变动所得的值也要变化.由此可见，对Arg z来说，0及及 是特殊的两是特殊的两点点.在复平面上，取
8、连接0及的一条无界简单连续曲线K1作为割线，得一区域D1，其边界就是曲线K1.在D1内，任一条闭简单连续曲线C既不围绕0，也不围绕.因此当z沿这曲线连续变动一周时，arg z连续变动而得的值没有变化.当K1是负实轴时；已经指出Arg z在D1内可分解成无穷个单值连续分支.当K1是任一条连接0及的无界简单连续曲线时，情况也是这样.设z1D1.取Arg z在z1的值为1.设z2(z1)D1.作连接z1及z2的一条简单连续曲线D1.设当z从z1沿连续变动到z2时，arg z从1连续变动到2.那么取Arg z在z2的值为2.应用数学分析中证明线积分与路线无关相类似的方法，可以证明2只与1，z1及z2有
9、关，与曲线的选取无关.这样，从Arg z在z1处的值1出发，可以确定Arg z在D1内任一其他点处的值；于是我们得到在D1内的一个单值连续函数，记作 arg z(arg z1=1)；它是Arg z在D1内的一个单值连续分支单值连续分支.把Arg z在z1的值换成1+2k.相应地，可见Arg z在D1内的所有值可分解成无穷个单值连续分支:（3）Arg z 在在C上任一点上任一点(非原点非原点)各值之各值之间的联系间的联系 任取z1(0)C.并且通过z1作一条闭简单连续曲线围绕0或.让一点z从z1按一定方向沿曲线连续变动若干周后回到z1，Arg z相应地可从在z1的一值连续变动到它在z1预先指定的
10、其他任一值，即从Arg z的一个单值连续分支z1的值，连续变动到预先指定的其他连续分支在z1的值.)(arg2arg11zkz例例 在C上作割线)2,3()0Im,1|1|zzzK),5,(0Im,1|4|zzz得到区域D=C-K.取Arg z在D内地一个单值连续分支 f(z)=arg z(arg1=0),那么f(-1)=-,f(-4)=。而Arg z在D内的无穷个单值连续分支是：f(z)+2k(kZ).（1）定义）定义.已给复数z0，满足z=ew的复数w称为z的对数对数，记作 Ln z 或 Log z，令u及v为w的实部及虚部，那么z=euiveueiv,从而 6.对数函数对数函数zzzwA
11、rgi|lnLn (6.1)对为不等于零的复数z,(6.1)称为z的对数函对数函数数;它是指数函数z=ew的反函数.由于Arg z是无穷多值函数，所以w=Ln z也是无穷多值函数.相应于Arg z的主值，把 ln|z|+iarg z (-1)1)时时，z是在G内有n个解析分支；nm这函数是n值的.在复平面上以负实轴(包括0)为割线而得的区域D内，它有n个不同的解析分支：ikzneezw2n1lnn1iknziznee21)arg|(ln1)2(arg1|kzninez);arg(Zkz;arg(|2argzezwnkzin它们可以记作).1,2,1,0nk)1(2nnkinezw这些分支在负实
12、轴上沿及下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致.当当 不是整数时不是整数时，原点及无穷远点是w=z的支点.按照是有理数或者不是有理数，这两个支点具有不同的性质.在0或充分小的邻域内，任作一闭单连续曲线C围绕0或.在C上任取一点z1 是有理数确定Arg z在z1的一值arg z1=1;相应地确定zzezwiArg|ln在z1的一值.111lnarg|lnzzizee考虑下列两种情况：出发从当一点既约分数1z)2,znnm(按反时针或顺时针方向连续变动n周时，arg z从1连续变动到1+2n，而相应地连续变动到则从)|(lnln111iznmznmnmeezw 11znmniznmeel
13、n)2(ln亦即第一次回到了它从z1出发时的值.由于这一性质，把0及称为 的n-1阶支点阶支点，nmzw特别称为n-1阶代数支点阶代数支点.对于其它多值函数，也相应地定义支点地阶数.不是有理数不是有理数 这时不难验证0及是w=z的无穷阶支点无穷阶支点.当不是整数时，在复平面上，任取连接w=z 的两支点0及的一条无界简单连续曲线K1作为割线，得一区域D1.在D1内可以把 w=z分成解析分支.特别，可取从原点出发的任何射线作为割线.（4）w=z （是一正实数）的映射性质 设是一实数，并且0,2.在z平面上取正实轴(包括原点)作为割线，得一区域D.考虑D内的角形A：0arg z,并且取z在D内的一个
14、解析分支1)(1zw当z描出A内一条射线l：arg z=0时，(不包括z=0),w在w平面内描出一条射线l1:arg w=0.让0从0增加到(不包括0及)，那么射线 l 扫过角形A，而相应的射线l1扫过角形A1：0arg w1)是整数时，个分支的 nzwn)(2nkinne1zw分别把区域 D双射成w平面的n个角形)1,2,1,0(nk.)1(2arg2nkwnk例例1 1 作一个含i 的区域，使得函数2)1)(zzzw在这区域内可分解成解析分支；求一个分支满足 ，并计算该支在点i的值.解 我们知道212)1)(zz(zw)2Arg()1Arg(Arg2zzzie(1)先确定函数先确定函数w的
15、支点、支割线的支点、支割线 21z 由于 的支点是 0及,因此函数w的可能支点是0,1,2及.任作一条简单连续闭曲线C,使其不经过0,1及2,并i61)w(使其内区域含0，但不含1及2.设z1是C上一个点，Arg z，Arg(z-1)及Arg(z-2)在 z1 的值分别确定为arg z1，arg(z1-1)及 arg(z1-2)(图8).当z从z1出发，按反时针方向沿C连续变动一周，再回到z1时，arg z1增加了2,而arg(z1-1)及arg(z1-2)没有变化.于是w在z1 的值就从211112)1)(z(zzw12)rg(za1)rg(zargza2iwe111连续变动到211112)
16、1)(z(zzw12)rg(za1)rg(za2rgza2iwe111因此0是函数w的支点.同理知1及2也是它的支点.现考察 ,任作一条简单连续闭曲线，使其内z区域含0,1及2，可以证明是函数w的支点.在复平面上取连接0,1,2及的任一条无界简单连续曲线作为割线,在所得区域内,可把w分成连续分支.例如可取0,+)作为复平面上的割线,得一区域 D.在D内w可以分出单值解析分支.其次,任作一条简单连续闭曲线C1,使其不经过0,1及2,并使其内含这三点中的两点,但不含另一点.设z2是C1上一点,确定w在z2的一个值,与上面一样,当z从z2沿C1连续变化一周回到z2时,w连续变化而得的值不会改变.于是
17、在复平面上取线段0,1以及从2出发且不与0,1相交的任何射线作为割线,在所得区域内,也可以把w分成连续分支.例如可取0,1及2,+)作为复平面上这样的割线,得区域D1.(2)求求w在在D 内的一个解析分支，满足条件内的一个解析分支，满足条件iw61)w(,2)1)(zz(z由于在z=-1处,取.)2arg(,)1arg(argzzz，由于在D 内,w可分成两个解析分支：212)1)(zz(zwkzazazaie2)2rg()1rg(rg221)2)(1(zzzik argargargzi2)(z1)(z2e).1,0(k由于所求的分支在z=-1的值为，可见i6这一分支是212)1)(zz(zw
18、)2rg()1rg(rg2zazazaie(3)求该分支在求该分支在 z=i 处的值处的值由图9，在D内z=i处,43)1arg(,2argzz因此w的所求分支在z=i的值是.21arctan)2arg(z.101031arctan24)21arctan4(24iiee例例2 验证函数.iz)3Arg(1Argz4413ez)z(1w43z)(1zw在区域D=C-0,1内可分解成解析分支;求出这函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及函数在(0,1)下沿的值.解解.(1 1)求支点、支割线求支点、支割线 不难看出,0及1是w的三阶支点,可以证明不是它的支点.事实上事实上，任作一
19、条简单连续闭曲线C,使其内区域含0及1.设z是C上的任一点，取定w在z由于的一个值.当z从z出发连续变化一周回到z时，w连续变化而得的值不变.由此可见，在区域D=C-0,1，可以把w分成分解成解析分支.(2)现在选取在(0,1)上沿取正实值的那一分支 即在(0,1)的上沿，要求arg w=0,求这一支在其中,x,x)x(w10143z=-1的值.在(0,1)上沿，可取arg z=0,arg(1-z)=0.于是所求的一支为.ez)z(1wz)3arg(1argz4i413 在D内 处，于是w在指定的这一支，在z=-1处的值是1z.0)z1arg(,zarg )i1(2e844i4(3)3)求该分
20、支在求该分支在z=-1处的值处的值(4)求该分支在求该分支在(0,1)下沿的值下沿的值 现在考虑该单值支在(0,1)下沿取值的情况.在区域D内，如图10，当z沿曲线C1，从(0,1)的上沿变动到下沿时，arg z没有变化,而arg(1-z)减少了2.于是在(0,1)的下沿，如果z沿曲线C2从(0,1)的上沿变到下沿时，23wargarg z增加了2,而arg(1-z)没有变化.于是在(0,1)下沿,.2arg w 无论怎样，当z=x在(0,1)下沿时,上述单值支的值是.xxiw43)(1定义 由(4.1),对任何实数x，8.三角函数isinxcosxeisinx,cosxeixix于是ixix
21、ixixeeeecosx,sinx22i因此对于任何复数复数z，定义余弦函数及正弦函数如下：iiiicos,sin(8.1)22zzzzeeeezzi由此可见，对任何复数z，欧拉公式仍然成立：(8.2)isinzcoszeiz由(8.1)、(4.3)以及复合函数的导数公式,可见cosz及sinz都在复平面上解析,并且：)3.8(.cossindzd,sincosdzdzzzz性质：性质：(1)cos z是偶函数,sin z是奇函数：.sin)sin(,cos)cos(zzzz(2)cos z及sin z都有周期2：,sin)2sin(,cos)2cos(zkzzkz其中k为任何整数.(3)co
22、s(z1+z2)=cos z1cos z2-sin z1sin z2,sin(z1+z2)=sin z1cos z2-cos z1sin z2.(4)cos2 z+sin2 z=1以上各性质都可由(8.1)推出,读者自行证明.在这里要着重指出，由性质(4)不能推出|cos z|1及|sin z|1,因为一般说来，cos2 z及sin2 z不是非负的实数.例如z=2i时,上两个不等式就不成立.最后,确定复平面上sin z和cos z的零点.由(8.1),等式sin z=0相当于方程eiz=e-iz.可见z=-z+2k,其中kZ,从而z=k.于是使sin z为零的所有点是z=k,其中kZ,不难推得
23、使cos z为零的所有点是.,2Zkkz其中引进了函数sin z及cos z的定义，我们就可以定义并且研究其他复变三角函数:,cos1sec,sincoscot,cossintanzzzzzzzz.sin1csczz 这些函数在一定的区域内解析,而且它们也与相应的实变三角函数有类似的性质.在此不作详细讨论.我们看到，在复数域中，指数函数是对数函数、幂函数和三角函数的共同基础.反正切函数反正切函数由函数z=tan w所定义的函数w称为z的反正切函数,记作(8.4).Arctanzw 由于wwww1 eeztaneeiiiiwi令e2iw=，就得到从而1,1zi1iizz最后得iiLniArcta
24、nwzz21z(8.5)z()z(21.iiLniLni假设确定Ln(z-i)及Ln(z+i)在某一点z(i)的值是ln(z-i)及ln(z+i).w的相应值是.iizlnizlniarctanzw)()(21于是w在点z的其他值是2k)ln(2k)ln(2121iiiziiziw).,(21Zkk亦即).(arctanArctanZkkzz这一性质与实数域中反正切函数的性质相类似.因为Ln(z-i)及Ln(z+i)都是多值解析函数,所以由(8.5),Arctan z也是多值解析函数,其可能的支点是z=i及z=.不难看出,z=i是w的(无穷阶)支点.现证明z=不是它的支点.由(8.5)Arg(
25、z|z|ln21ziiiiArctan.iiiArg|i|ln)z(z任作一条简单连续曲线C，使其区域内含i及-i(图11).设z1是C上一点,取定Arg(z-i)及Arg(z+i)在z1的值为；及)z()z(11iargiarg那么w的相应值为|i|lniarctanzw111z21|)(11izlniziarg)z(1iiiarg当一点z从z1出发按反时针方向连续变动回到z1时,通过连续变动，arg(z1-i)及arg(z+i)都增加了2，从而w1变回到|z|ln-2)arg(z|z|ln2111iiiiii12-)arg(z-wiiii由此可见,z=不是Arctan z的支点.在复平面上取线段x=0,|y|1作为割线,或者取两半射线x=0,|y|1作为割线,在所得区域内,可把函数w分成解析分支.由(8.5)，w=Arctan z的任何解析分支有导数2z11z1-z121dzdiiiw三角函数及反三角函数的映射性质比较复杂,在此不作讨论.作业作业：11，12，13，15，18
