1、6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 定义6.1.1 设P是一个数域,关于n个变元x1,x2,xn的系数在P中的二次齐次多项式,222),(2222222112112211121nnnnnnnnxaxxaxaxxaxxaxaxxxf(6.1.1)，称为数域P上的一个n元二次型.在不会引起混淆时简称为二次型.若P是实数域R或复数域C时,分别称之为实二次型实二次型或复二次型复二次型.注意,在二次型的表达式中,若取 ,则nnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf2222221221112112211121),(2ijijijijijjia x xa x xa x x，于是(6.1.1
2、)式可写成(6.1.2)jiijaa，若记应用矩阵乘法，(6.1.2)可改写为,21212222111211nnnnnnnxxxXaaaaaaaaaAninjjiijnxxaxxxf1121),(6.1.2),22211nnnnnnnxaxxaxxa，在式(6.1.2)中，由二次型的系数 组成的矩阵A=()nn是对称矩阵，称为二次型f(x1,xn)的矩阵,把矩阵A的秩称为二次型f(x1,xn)的秩.nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121),(6.1.3)AXTijaija 显然n元二次型f与n阶对称矩阵A之间是一、一对应的，即任给一个n元二次型就唯一确定
3、了一个n阶对称矩阵，反之亦然.对于二次型，要讨论的主要问题是，能否经过变元的替换化为只含平方项的简单形式？，定义6.1.2 设x1,x2,xn和y1,y2,yn是两组变元,cij(1 in,1 jn)是数域P的上的常数，下述关系式称为由x1,xn到y1,yn的一个线性变换.它可写成矩阵乘积形式其中,22112222121212121111nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx (6.1.4)C (6.1.5)，若系数矩阵C是可逆阵,即|C|0,则称(6.1.4)式或(6.1.5)式为可逆线性变换.把可逆线性变换式(6.1.5)式代入二次型(6.1.3),得 nnnnnn
4、nnyyyYcccccccccCxxx2121222211121121,),()()()(),(211nTTTTTnyyygBYYYACCYCYACYAXXxxf，其中B=CTAC，BT=(CTAC)T=CTA(CT)T=CTAC=B,即B为对称矩阵，因此g(y1,y2,yn)是关于变元y1,y2,yn的二次型,它对应的矩阵为B=CTAC.当C可逆时,B的秩还等于A的秩.于是，得到如下结论：任何二次型f=XTAX，经过可逆线性变换X=CY后仍是一个二次型，并且其秩不变.定义6.1.3 设A,B为数域P的两个n阶方阵,若存在P上可逆方阵C使,ACCBT称A与B是合同的矩阵,记为 .BA 类似于矩
5、阵的相似关系,矩阵的合同关系有下述性质:，1.反身性:2.对称性:若 3.传递性:若因为若,这是因为A=ETAE;AA.事实上,12AA 21AA 则当A2=CTA1C时必有A1=(C-1)TA2(C-1)；32AA 21AA,31AA 则.22231112,CACACACATT,则有 )()(2121211123CCACCCCACCATTT由定义6.1.3知 ,合同的矩阵还具有相同的秩.，根据矩阵合同的概念，可得到结论:经过可逆线性变换式(6.1.5)后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.注意，本章总要求所作的线性变换是可逆的（或非退化的）.因为这样可以由得出逆替换CYX XCY1由它把所得的二次型还原,可以从所得二次型的性质推断原二次型的性质.显然 f 的标准形与 f 具有相同的秩.niiiydg12,则称 定义6.1.4 只含平方项的二次型 如果可逆线性变换X=CY 把二次型 f=niiinxdxxxf1221),(称为标准的二次型.XTAX 化成了标准的二次型 g为f的一个标准形.易见，标准的二次型的矩阵是对角型矩阵.由于二次型与对称矩阵是一一对应的,因此把二次型 f=XTAX 化为标准形的过程，就是寻找可逆阵C，使 CTAC 为对角形的过程.在6.2节将对此进行讨论.
