1、1主要内容主要内容1.风险的度量：基于定义的理解风险的度量：基于定义的理解2.基于概率论的风险度量基于概率论的风险度量3.基于效用论的风险度量基于效用论的风险度量4.金融风险的测度金融风险的测度23 2.1 风险的度量：基于定义的理解风险的度量：基于定义的理解风险是损失发生的可能性风险是损失发生的可能性1 1、主体、主体2 2、损失、损失3 3、可能性、可能性风险风险=损失损失可能性可能性风险风险=F=F（概率，损失）（概率，损失）如何对风险进行度量？如何对风险进行度量？4风险概率（损失频率）是表示风险发生的可能性大小。风险概率（损失频率）是表示风险发生的可能性大小。具体可以指具体可以指一一定
2、时期内，一定数目的风险单位可能定时期内，一定数目的风险单位可能（或实际）（或实际）发生损失的数发生损失的数量次量次数数，通常以分数或百分率来表示。，通常以分数或百分率来表示。用于度量事件是否经常发生。用于度量事件是否经常发生。风险后果（损失程度）是指风险事件发生对目标产生的影响。风险后果（损失程度）是指风险事件发生对目标产生的影响。通常用通常用一一次次风险事故发生造成的风险事故发生造成的损失规模大小损失规模大小或或金额多少金额多少来表示来表示。通常情况通常情况下，发生损失的频率和损失程度成反比关系。下，发生损失的频率和损失程度成反比关系。使用风险概率和风险后果来分析风险，可以帮助我们甄别出那些
3、需要使用风险概率和风险后果来分析风险，可以帮助我们甄别出那些需要强有力地控制与管理的风险强有力地控制与管理的风险为什么用为什么用两个变量两个变量（风险概率和风险后果）而不是（风险概率和风险后果）而不是一个变量一个变量（风险（风险值）来度量风险？值）来度量风险？度量风险的指标度量风险的指标5最最大大伤伤害害事事故故小伤害事故小伤害事故无伤害事故无伤害事故工业伤害事故频率与损失程度之间关系的工业伤害事故频率与损失程度之间关系的HEINRICH三角图三角图1次300次29次7一、风险型经济结果的度量一、风险型经济结果的度量1.均值均值(Mean)均值是最常用的平均数：观察值的总和除以观察值的个数均值
4、是最常用的平均数：观察值的总和除以观察值的个数只要观察数据中的任何一个值改变，均值也会相应改变。而众数、只要观察数据中的任何一个值改变，均值也会相应改变。而众数、中位数一般没有这个特点。中位数一般没有这个特点。2.众数众数(Mode)出现次数最多的那个数的取值出现次数最多的那个数的取值众数的计算简单，更适合描述分类变量众数的计算简单，更适合描述分类变量众数丢失了原始数据中比较多的信息：众数丢失了原始数据中比较多的信息：100个学生中有个学生中有 51 个女生个女生性别变量的众数为女生性别变量的众数为女生100个学生中有个学生中有 99 个女生个女生性别变量的众数为女生性别变量的众数为女生83.
5、中位数中位数(Median)把一个变量的一组观察数据从小到大排序，排在中间位置的那把一个变量的一组观察数据从小到大排序，排在中间位置的那个数的数值称为这个变量的中位数。个数的数值称为这个变量的中位数。中位数的优点是对于极端值不敏感中位数的优点是对于极端值不敏感 4.分位数分位数 假定有假定有 100 个数据，按从小到大排序。则个数据，按从小到大排序。则最小的数据称为最小的数据称为“第一个百分位数第一个百分位数”，次小的数据称为次小的数据称为“第二个百分位数第二个百分位数”，中位数就是第五十个百分位数。中位数就是第五十个百分位数。9二、风险的定量表示二、风险的定量表示1.标准差标准差(stand
6、ard deviation)标准差反映了数据到均值的一种平均距离标准差反映了数据到均值的一种平均距离标准差的平方称为标准差的平方称为“方差方差”nkkxxn11|2.2.平均绝对方差平均绝对方差dxxpx)()(22103.半方差半方差风险的方差度量存在着一定缺陷，如对正离差和负离差的平等处风险的方差度量存在着一定缺陷，如对正离差和负离差的平等处理有违投资者对风险的真实心理感受。理有违投资者对风险的真实心理感受。用半方差定义风险显然更符合现实，因为投资者只把下降部分的用半方差定义风险显然更符合现实，因为投资者只把下降部分的价格波动，即价格下跌认为是风险，价格波动，即价格下跌认为是风险，Semi
7、var=Emin(0,(R-E(R)24.风险度风险度即在特定的客观条件下、特定的时间内，实际损失与预测损失之即在特定的客观条件下、特定的时间内，实际损失与预测损失之间的均方误差与预测损失的数学期望之比。它表示风险损失的相间的均方误差与预测损失的数学期望之比。它表示风险损失的相对变异程度（即不可预测程度）的一个无量纲（或以百分比表示）对变异程度（即不可预测程度）的一个无量纲（或以百分比表示）的量的量 钱的数学期望是用来做决策的合适方法吗钱的数学期望是用来做决策的合适方法吗?一元钱对一个富翁和乞丐的意义是不同的一元钱对一个富翁和乞丐的意义是不同的.Risk is intangible and w
8、ill be seen differently by different people.The factors that will influence peoples perceptions of risk include:Experience，Knowledge，Culture，Position，Financial statusAbility to influence the outcomeAsymmetry：put more weight on the impact of a loss than on the benefit from a gain,Complacency(自信或过于自信，
9、自我感觉不错）自信或过于自信，自我感觉不错）Inadequate time horizons 距离损失发生的时间越近，对损失的感距离损失发生的时间越近，对损失的感受越大。受越大。传说当时在圣彼得传说当时在圣彼得 堡街头流行着一种赌博堡街头流行着一种赌博,规则是由参加者先付规则是由参加者先付一定数目钱。比如一定数目钱。比如100卢布卢布,然后掷分币然后掷分币,当第一当第一 次出现人像面朝上次出现人像面朝上时一局赌博终止时一局赌博终止;如果到第如果到第n次才出现了人像朝上次才出现了人像朝上,参加者收回参加者收回2n个卢个卢布布,n=1,2,3,。决策人面临的问题是究竟参不参加赌。决策人面临的问题是
10、究竟参不参加赌?从数学期望来看从数学期望来看,似乎只花似乎只花100卢布就可以赢得卢布就可以赢得(平均来说平均来说)“无穷多卢无穷多卢布布”,参加赌参加赌 是绝对合算的。可是实际情况与此相反是绝对合算的。可是实际情况与此相反,总是掷不了几总是掷不了几次就结束次就结束,极少有收回极少有收回100卢布以上的卢布以上的 情况。情况。1738 年发表年发表对机遇性赌博的分对机遇性赌博的分析析提出解决提出解决“圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论”的的“风险度量新理论风险度量新理论”。指出用。指出用“钱的数学期望钱的数学期望”来作为决策函来作为决策函数不妥。应该用数不妥。应该用“钱的函数的数钱的函数的数学期望学期望
11、”。Daniel Bernoulli（1700-1782)1944 年在巨著年在巨著对策论与对策论与经济行为经济行为中用数学公理化中用数学公理化方法提出期望效用函数。这方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风是经济学中首次严格定义风险。险。John von Neumann(1903-1957)Oskar Morgenstern(1902-1977)17一、效用函数一、效用函数效用依赖于各种可能状态下的结果以及这些结果出现的效用依赖于各种可能状态下的结果以及这些结果出现的概率。假设只有两种状态概率。假设只有两种状态I I和和IIII，相应结果分别记为，相应结果分别记为c c1,1,c c
12、2 2，各结果出现的概率分别记为，各结果出现的概率分别记为1 1，2 2。那么，效。那么，效用函数的一般形式为用函数的一般形式为 U=f(cU=f(c1 1,c,c2 2；1 1,2 2)效用函数可以取不同具体形式。如，效用函数可以取不同具体形式。如，U=f(cU=f(c1,c,c2；1,2)=)=1c c1+2c c2.U=cU=c1c c21-(Cobb-Douglas (Cobb-Douglas 效用函数效用函数)。U=U=1lnclnc1+2lnclnc2.18二、期望效用二、期望效用 期望效用期望效用(expected utility)(expected utility)是各状态下结
13、果的效用是各状态下结果的效用的数学期望，即各状态下结果的效用以概率为权重的加的数学期望，即各状态下结果的效用以概率为权重的加权平均。权平均。U=1u(c1)+2u(c2)这一效用函数也称纽曼这一效用函数也称纽曼-摩根斯顿（摩根斯顿（von Neumann-von Neumann-MorgensternMorgenstern）效用函数。）效用函数。19l如果对于每一个单赌如果对于每一个单赌 ，效，效用函数用函数u(gs)有有l则称则称u(gs)是关于单赌是关于单赌gs的期望效用函数，即的期望效用函数，即VNM效效用函数。用函数。),.,(2211nnSapapapg 1iniiu au gp20
14、三、风险态度三、风险态度有些人为可能发生的意外购买保险，减少风险；有些人则购买彩有些人为可能发生的意外购买保险，减少风险；有些人则购买彩票，增加风险。这些行为表现出人们不同的风险态度。票，增加风险。这些行为表现出人们不同的风险态度。买彩票案例买彩票案例21购买彩票使你以购买彩票使你以0.50.5的概率拥有的概率拥有$5,$5,以以0.50.5的概率拥有的概率拥有$15$15，即，即c c1 1=$5,c=$5,c2 2=15,=15,1 1=0.5,=0.5,2 2=0.5=0.5。不购买彩票，你无风险地拥有。不购买彩票，你无风险地拥有$10$10。一张彩票的期望价值一张彩票的期望价值=0.5
15、=0.55+0.55+0.515=$1015=$10。这是说，如果试验次。这是说，如果试验次数足够大的话，购买彩票的平均结果是数足够大的话，购买彩票的平均结果是$10$10。但是，假如只有一次。但是，假如只有一次试验机会，你选择什么呢？试验机会，你选择什么呢？$10$10的效用与的效用与期望价值期望价值为为$10$10美元的彩美元的彩票的票的期望效用期望效用相比如何呢？相比如何呢？如果你认为如果你认为$10$10美元的效用更大，美元的效用更大，即即$10$10的效用的效用 彩票的期望效用彩票的期望效用0.50.5v(5)+0.5v(5)+0.5v(15)v(15)即期望值的效用即期望值的效用
16、期望效用期望效用那么，你是一个风险回避者。也就是说，在平均结果相同的资产那么，你是一个风险回避者。也就是说，在平均结果相同的资产中，你选择价值稳定者。中，你选择价值稳定者。22051510V(5)V(15)期望值的效用 期望效用效用函数财富风险回避者：期望值的效用风险回避者：期望值的效用期望效用期望效用期望值23厌恶风险（规避）型厌恶风险（规避）型(保守型保守型)厌恶风险的表现：厌恶风险的表现：lPay extra to reduce risk(buy insurance even though premium exceeds expected claim costs)；Require hig
17、her expected returns to take on more risk(demand higher expected returns on riskier stocks)l厌恶风险（规避）者的财富效用函数曲线是向下凹的，意厌恶风险（规避）者的财富效用函数曲线是向下凹的，意味着随着财富的增加，财富带来的边际效益在递减。味着随着财富的增加，财富带来的边际效益在递减。l风险规避型的人重视风险的损失性，宁愿付出较高的代价风险规避型的人重视风险的损失性，宁愿付出较高的代价来进行风险的转移。来进行风险的转移。Risk per se has a negative value Risk per s
18、e has a negative value for risk averse.for risk averse.24051510V(5)V(15)期望值的效用 期望效用效用函数财富风险爱好者：期望值的效用风险爱好者：期望值的效用0,风险厌恶，凹函数，风险厌恶，凹函数，2.rA(w)=0,风险中性，线性函数，风险中性，线性函数，3.rA(w)0,风险爱好：凸函数，风险爱好：凸函数，00,uu ww 00,uu ww 00,uu ww2.4 金融风险的测度金融风险的测度33风险测度或风险度量（风险测度或风险度量（measurement)1.为什么要测度风险？为什么要测度风险？2.从金融学角度而言：定
19、价从金融学角度而言：定价（投资学、保险学（投资学、保险学-无套利）无套利）3.流通流通4.类比：类比：风险风险之于之于风险度量指标风险度量指标 商品商品之于之于货币货币1.统一化的度量指标统一化的度量指标2.构造一种共同的“语言”、一种“交换媒介”3.概率与损失 风险度量 WhyWhy measures risk?1.Pre-Markowitz-(expected return)2.“portfolio selection”-(mean-variance)3.Investments with the same expected return,we all also need diversifi
20、cation.Variance dont measure risk!1.Two investments:2.Ex1=2000,Ex2=+2000,variance=2000.3.Variances are the same,but intuitively risks are different!风险测度（风险测度（measurement)1.风险测度风险测度把一个代表风险的随机变量转化成一个实际值的过把一个代表风险的随机变量转化成一个实际值的过程。即：建立规则。程。即：建立规则。2.假设假设X 表示随机风险表示随机风险,为风险测度函数为风险测度函数,r 为风险测度值为风险测度值,则风险测则风险
21、测度过程可以表示为度过程可以表示为:r=(X)3.3.定义：定义：4.若为一个样本空间，X X:R为代表一个投资在某阶段内的损失的随机变量。那么考虑一个概率空间(,P)，并令所有的风险X构成一个集合X。则函数 :X X R就是一个风险测度风险测度。0 xxtdFt风险度量的种类风险度量的种类1.VaR2.Coherent measures of risk(一致性风险度量一致性风险度量)3.CVaR4.Expected Shortfall5.Distortion Risk measureVaR1.在正常市场条件下和在正常市场条件下和一定概率水平（置信度）下，某一金融资产一定概率水平（置信度）下，
22、某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。vuGPvGPvZP设G是一项投资收益的现值，服从正态分布，并且假设置信度为1%=0.01 此时的v就是VaR01.033.2ZPv1.由于由于2.所以所以 2.33=即即 VaR=-+2.33我们要选择VaR最小的投资VaR模型的不足模型的不足1.不具有次可加性，不是一致性风险度量不具有次可加性，不是一致性风险度量2.VaR模型只关心超过模型只关心超过VaR值的频率，而不关心超过值的频率，而不关心超过VaR值的损失值的损失分布情况。分布情况。一致性风险测度一致性风险测度(Coherent
23、measure of risk)必须满足下面的约束条件：必须满足下面的约束条件：1.1、单调性、单调性2.2、次可加性、次可加性3.3、正齐次性、正齐次性4.4、平移不变性、平移不变性ARTZNER etc.(1999),COHERENT MEASURES OF RISK,Mathematical Finance,9(3):203-228风险评价准则：一致风险度量1.Artzner et al.(1999)提出了一致风险度量，并认为一个良好的风险度量必须满足以下条件。1.1)单调性：对任意 ，若满足 ，则有2.2)次可加性：对任意 ，有3.3)正齐次性：对任意 ，有 4.4)平移不变性：对任意
24、 ，有 xy ()xyxyx,yXP x 1y,Xx yX,0 x()()xx X,a Rx X+aXa风险评价准则：一致风险度量1.1、单调性单调性：对任意随机损失变量 ，若满足 则有：1.经济含义的解释：单调性说明资产面临的损失越大，则风险也越大。xyx,y XP x 1y风险评价准则：一致风险度量1.2、次可加性次可加性：对任意 ，有2.经济含义的解释：3.次可加性说明分散可以降低风险，即投资组合的风险分散化效应。()xyxy,Xx y风险评价准则：一致风险度量1.3、正齐次性正齐次性：对任意 ，有 2.经济含义的解释：3.正齐次性说明随着损失的增加，风险也相应增加，也说明当收益以不同的
25、货币单位表示时，风险度量必须做相同尺度的变化，资产的风险与采用的货币单位是独立的，不受计量单位影响，类比分离定理。X,0 xc()()cxcx风险评价准则：一致风险度量1.4、平移不变性平移不变性：对任意 ，有2.经济含义的解释：3.平移不变性说明损失增加一个确定的现金值，风险也相应的减少一个确定的值。x+aaxX,a Rx风险评价准则：其它准则1.客观性客观性：若X和Y同分布，则有 客观性是一个风险度量可以实际应用的前提，只有风险度量具有客观性，这个风险度量才有意义。投资心理投资心理：1.VaR CVaR2.风险厌恶风险厌恶 3.总而言之，风险度量是对现实经济规律和投资人心理总而言之，风险度
26、量是对现实经济规律和投资人心理的一种的一种模拟模拟。X Y条件风险价值（条件风险价值（CVaR）风险度量方法（二）风险度量方法（二）CVaR1.条件风险价值（条件风险价值（CVaR）模型是指在正常市场条件下和一定的置）模型是指在正常市场条件下和一定的置信水平信水平a 上，测算出在给定的时间段内损失超过上，测算出在给定的时间段内损失超过VaR 的条件期望的条件期望值。值。CVAR33.2|GGE=由于我们可以得到：对于标准正态随机变量Z有：所以我们要选择此值最小的资产，在这里，相比VaR模型中的值给了方差更大的权重。CVaR模型想对于模型想对于VaR模型的改进模型的改进1.CVaR模型在一定程度
27、上克服了模型在一定程度上克服了VaR模型的缺点不仅考虑了超过模型的缺点不仅考虑了超过VaR值的频率，而且考虑了超过值的频率，而且考虑了超过VaR值损失的条件期望。值损失的条件期望。CVaR的不足的不足 1、对于超过对于超过VaR()的损失进行了考虑的损失进行了考虑,但忽视了低端部分的损失。但忽视了低端部分的损失。2、由于仅仅通过期望值度量超过了、由于仅仅通过期望值度量超过了VaR()的损失的损失,因此对因此对“低频率低频率,高额度高额度”的损失没有进行适当调整。事实上的损失没有进行适当调整。事实上,在期望值相同的情在期望值相同的情况下况下,“低频率低频率,高额度高额度”的损失意味着更大的风险。
28、的损失意味着更大的风险。CVaR的不足的不足1.3、当证券组合损失分布是连续的时，、当证券组合损失分布是连续的时，CVaR模型是一个一致性风模型是一个一致性风险度量模型，具有次可加性；险度量模型，具有次可加性；2.当证券组合损失分布不是连续的时，当证券组合损失分布不是连续的时，CVaR模型由于不具有次可模型由于不具有次可加性而不再是一致性风险度量模型。加性而不再是一致性风险度量模型。举例举例1.假定某一投资组合在假定某一投资组合在2006年年7月月29日在置信度取日在置信度取95%时日时日VaR值值为为100万元，万元，CVaR值为值为130万元，根据万元，根据VaR和和CVaR的定义可知的定
29、义可知:该组合有该组合有95%的把握可以保证，这一天该组合由于多种因素而带的把握可以保证，这一天该组合由于多种因素而带来的极端潜在损失不会超过来的极端潜在损失不会超过130万元，或者说损失超过万元，或者说损失超过100万元万元的条件损失为的条件损失为130万元。万元。期望短缺（期望短缺（expected shortfall)ES定义定义1.期望短缺期望短缺(expected shortfall，简称，简称ES)，直观上的解释是损失，直观上的解释是损失超过超过VaR的条件期望值。亦可表述为在一定时间内，置信水平为的条件期望值。亦可表述为在一定时间内，置信水平为的情况下，损失分布尾部的情况下，损失
30、分布尾部(1-)部分的期望值。其数学表达式为部分的期望值。其数学表达式为：1.由于由于ES可以明确指出可以明确指出VaR估计失败时损失的条件期望值，所以它更估计失败时损失的条件期望值，所以它更有助于对尾部风险的深入认识，也更接近于投资者的心理感受。有助于对尾部风险的深入认识，也更接近于投资者的心理感受。ES的严格定义的严格定义1.对于已知可积的随机变量对于已知可积的随机变量L和置信水平和置信水平(0,1)，在，在置信水平置信水平下的下的ES定义为：定义为：上式中上式中 项在损失分布连续时项在损失分布连续时为为0；在离散条件下，；在离散条件下，故需要将它从均值故需要将它从均值 中减去。中减去。E
31、S模型在信用资产组合优化中的应用模型在信用资产组合优化中的应用1.共选择共选择20支债券作为样本进行分析，分别是支债券作为样本进行分析，分别是10支国债和支国债和10支企支企业债。我们将国债看成一种无风险债券，企业债看成一种有违约业债。我们将国债看成一种无风险债券，企业债看成一种有违约风险的债券，它们的到期收益率可以分别看成无风险债券和有违风险的债券，它们的到期收益率可以分别看成无风险债券和有违约风险债券的利率。我们取自约风险债券的利率。我们取自2004年年01月月01日到日到2005年年08月月30日，共日，共401个交易日的收盘价作为样本数据。个交易日的收盘价作为样本数据。1.从上表中，我
32、们可以发现，随着置信水平的提高，从上表中，我们可以发现，随着置信水平的提高，VaR值和值和ES值也分别增大，但无论在哪个置信水平下，基于值也分别增大，但无论在哪个置信水平下，基于ES度量的风险度量的风险值都会大于等于值都会大于等于VaR度量的值，这与度量的值，这与ES的定义是一致的。的定义是一致的。Distortion Risk-Measure定义定义1.定义定义1 设映射设映射g:0,10,1是增函数是增函数,且且g(0)=0,g(1)=1,若变换若变换F*(x)=g(F(x)为扭曲概率分布为扭曲概率分布,则称则称g为扭曲函数为扭曲函数.2.定义定义2 若对随机损失变量若对随机损失变量X的生
33、存函数的生存函数S(X)=1-F(X),有有 则称则称 为扭为扭曲风险度量曲风险度量.3.扭曲风险度量是调整后的概率测量扭曲风险度量是调整后的概率测量,更多的考虑了更多的考虑了高风险事件高风险事件,g(S(X)是调整后的生存函数是调整后的生存函数.0ggg Sdx gWT-measure的扭曲函数的扭曲函数1.Wang.s.s(2000)提出了一种特殊的扭曲函数提出了一种特殊的扭曲函数:2.其中其中正态分布正态分布,称其为称其为Wang-transform.3.在在Wang-transform中有中有4.这里的扭曲函数是连续的且一一对应的这里的扭曲函数是连续的且一一对应的.1g uu 1S X
34、S X 1 其中Wang1.可以看到，扭曲函数g使得变换后的分布函数比原始分布函数尾部更厚些，因此能更好的拟合分布的尾部区域。另外，从图中还可以看出函数型风险度量的值比风险度量的值大，这更加符合风险管理的谨慎性。0gggSd x 1.定理一：扭曲风险测量满足一致性的充要条件是扭曲函数定理一：扭曲风险测量满足一致性的充要条件是扭曲函数为凹函数。为凹函数。2.证明：对四个条件逐一证明。证明：对四个条件逐一证明。3.1、单调性、单调性4.由扭曲函数定义可知，扭曲函数 为增函数。对当 时，有 ，又因为 ，所以有：Wang-Distortion的一致风险度量证明gx,y X ggxyxy ggxEx g
35、gExEy ggyEy1.2、正齐次性：、正齐次性：2.已知：已知：ggggcxEcxcExcxWang-Distortion的一致风险度量证明0gggSd x 00ggcXXgccgSxdxcgStdtc Wang-Distortion的一致风险度量证明1.3、平移不变性、平移不变性ggggxcExcExcxc1.4、次可加性、次可加性2.扭曲风险度量 ，当且仅当 是凹扭曲函数(concave)。3.反证法：4.设 为严格凸函数，令 ，对任意 有：Wang-Distortion的一致风险度量证明 0gxXg Sx dxgg0atb12baczc 2g czg czg cWang-Distor
36、tion的一致风险度量证明1.考虑随机变量X和Y是离散型分布，对于任意0 w 1和 ，分布见表：2bazWang-Distortion的一致风险度量证明所以有：得出矛盾，因此原命题结论成立。,122022xw z g czywg cg c zzzx ywg c zg cw z g c z 02zx yxywg c zg cg c g c z 各类风险度量函数比较各类风险度量函数比较单调性单调性正齐次性正齐次性平移不变性平移不变性次可加性次可加性一致性一致性Var满足满足满足满足满足满足不满足不满足不满足不满足CVaR满足满足满足满足满足满足不总是满不总是满足足当证券组合损失的密度当证券组合损失
37、的密度函数是连续函数时满足函数是连续函数时满足ES Expect shortfal满足满足满足满足满足满足满足满足满足满足风险度量方法风险度量方法扭曲函数扭曲函数次可加性次可加性一致性一致性Distortion-VaRgv(t)不满足凸性条件不满足凸性条件不满足凸性条件不满足凸性条件Distortion-CVaRgc(t)满足满足满足满足WT-measureg(u)满足满足满足满足Var的扭曲函数的扭曲函数1.VaR的扭曲函数为的扭曲函数为:2.在在t=1-时时,扭曲函数有个大的跳跃扭曲函数有个大的跳跃,即这个函数非连续的即这个函数非连续的.因因此对应的扭曲风险测量为此对应的扭曲风险测量为:0
38、0VvvXgS xdxdxV 1XVFXVaR 11101tvtgt ，当时0，当时CVaR的扭曲函数的扭曲函数1.C-VaR是一个平滑的分布函数是一个平滑的分布函数:2.CTE的扭曲函数为的扭曲函数为:3.当当t(1-,1)时时,都映射到都映射到“1”这个点上这个点上,因此该扭曲函数因此该扭曲函数是连续的但非一一对应是连续的但非一一对应.1XCTEE X XFX 111011tcttgt ，当时，当时VaR只关心超过VaR值的频率，而不关心超过VaR值的损失分布情况；处理损失符合非正态分布（如后尾现象）及投资组合发生改变时表现不稳定由于满足一致性，导致不是进行分散性投资CVaR考虑超过VaR值的频率，考虑超过VaR值损失的条件期望改善了VaR模型在处理损失分布的后尾现象时存在的问题证券组合损失的密度函数不是连续函数时，CVaR模型不再是一致性风险度量模型ESExpect shortfall分布函数连续和不连续的情况下都能保持一致性风险度量这一性质DRMDistortion Risk-MeasureDRM模型包含了诸如VaR、CVaR等风险度量指标，它是一类更广义的风险度量指标。
