1、1 级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具.级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.对于有限个实数对于有限个实数 u1,u2,un 相加后还是一个实数，相加后还是一个实数，这是在中学就知道的结果这是在中学就知道的结果,那么那么“无限个实数相加无限个实数相加”会有什么结果呢？请看下面的几个例子会有什么结果呢？请看下面的几个例子.如在第二如在第二章提到章提到庄子庄子天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万万世不竭世不竭”的例中的例中,将每天截下那一部分的长度将每天截下那一部分的长度“加加”起来是起来是:231
2、111,2222n由于前由于前 n 项相加的和是项相加的和是 112n，可以推测这，可以推测这“无限无限 个数相加个数相加”的结果应该是的结果应该是1.又如下面由又如下面由“无限个数无限个数 相加相加”的表达式的表达式 1(1)1(1)中，如果将其写作中，如果将其写作 (11)(11)(11)000,结果肯定是结果肯定是0，而写作，而写作1(1)1(1)11000,则结果是则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题问题:“无限个数相加无限个数相加”是否存在是否存在“和和”;如果存在如果存在,“和和”等于什么等于什么?由此可见由此可见,“无限个数相加无
3、限个数相加”不能不能 简单地与有限个数相加作简单的类比简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新需要建立新 的理论的理论.定义定义1 给定一个数列给定一个数列un,将其各项依次用将其各项依次用“+”+”号号 连接起来的表达式连接起来的表达式12(1)nuuu称为数项级数或无穷级数称为数项级数或无穷级数(也常简称级数也常简称级数),),其中其中 un 称为数项级数称为数项级数(1)的通项或一般项的通项或一般项.数项级数数项级数(1)也也 1nnu.nu常记为常记为.在不致误解时可简记为在不致误解时可简记为数项级数数项级数(1)的前的前n项之和记为项之和记为 121,(2)nnknkSuuuu称
4、为数项级数称为数项级数(1)的第的第 n 个部分和个部分和,也简称部分和也简称部分和.定义定义2 若数项级数若数项级数(1)的部分和数列的部分和数列nS收敛于收敛于 SlimnnSS(即即),则称数项级数则称数项级数(1)收敛收敛,S 称为称为数数 项级数项级数(1)的和的和,记作记作 121,.nnnSuuuSu或或例例1 讨论等比级数讨论等比级数(也称几何级数也称几何级数)2(3)naaqaqaq的收敛性的收敛性(a0).若若 是发散数列是发散数列,则称数项级数则称数项级数(1)发散发散.nS解解 q1时时,级数级数(3)的第的第 n 个部分和为个部分和为 11.1nnnqSaaqaqaq
5、因此因此1(i)1,limlim.11nnnnqaqSaqq当时当时 此时级此时级 数数(3)收敛收敛,其和为其和为.1aq(ii)1,lim,(3).nnqS当当时时此此时时级级数数发发散散(iii)1,.nqSna当时级数发散当时级数发散1,q当当时时 20,kS21,0,1,2,.kSak 级数发散级数发散1,(3);q时时 级级数数收收敛敛1,q时时综合起来得到综合起来得到:级级 数数(3)发散发散.例例2 讨论数项级数讨论数项级数111(4)1 22 3(1)n n的收敛性的收敛性.解解 级数级数(4)的第的第n个部分和为个部分和为 1111223(1)nSn n1111112231
6、nn11.1n1limlim 11,1nnnSn由于由于 因此级数因此级数(4)收敛收敛,且其和为且其和为 1.注注 由于级数由于级数(1)的收敛或发散的收敛或发散(简称敛散性简称敛散性),是由它是由它 的部分和数列的部分和数列nS来确定来确定,因而也可把级数因而也可把级数(1)作为作为 数列数列nS的另一种表现形式的另一种表现形式.反之反之,任给一个数列任给一个数列 na,如果把它看作某一数项级数的部分和数列如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则则 这个数项级数就是这个数项级数就是 1213211()()().(5)nnnnuaaaaaaana这时数列这时数列与级数与级数(5)具有相同的敛
7、散性具有相同的敛散性,且当且当收敛时收敛时,其极限值就是级数其极限值就是级数(5)的和的和.na基于级数与数列的这种关系基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极读者不难根据数列极 限的性质得出下面有关级数的定理限的性质得出下面有关级数的定理.定理定理12.112.1(级数收敛的柯西准则级数收敛的柯西准则)级数级数(1)收敛的充要收敛的充要 ,N 总总存存在在正正整整数数条件是条件是:任给正数任给正数 使得当使得当 mN以及对任意的正整数以及对任意的正整数 p 都有都有 12.(6)mmmpuuu 根据定理根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻以及数列发散的充要条件，可以立刻 写出
8、级数写出级数(1)发散的充要条件是发散的充要条件是:0,存在某正数存在某正数对对 任何正整数任何正整数N,总存在正整数总存在正整数m0(N)和和p0，有，有0000120.(7)mmmpuuu 由定理由定理12.1立即可得如下推论立即可得如下推论.推论推论(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)若级数若级数(1)收敛收敛,则则 lim0.nnu注注 推论是级数收敛的一个必要条件推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于一般项不趋于 零零,级数一定发散级数一定发散,但一般项趋于零但一般项趋于零,则级数未必则级数未必 收敛，因此用来判断级数发散很有效收敛，因此用来判断级数发散很有效.如级数如级数
9、1(1)1(1)例例3 讨论调和级数讨论调和级数111123n的敛散性的敛散性.解解 这里一般项这里一般项 10nun,不能利用推论判断级数不能利用推论判断级数 的敛散性的敛散性.因为一般项因为一般项un=()n-1不趋于零，所以发散不趋于零，所以发散.1 若令若令 p=m,则有则有122111122mmmuuummm111222mmm1,201,2 故取故取对任何正整数对任何正整数 N 只要只要 m N 和和 p=m 就有就有(7)式成立，因此调和级数发散式成立，因此调和级数发散.例例4 判断级数判断级数 111nnnnnnn 的敛散性的敛散性.解解 因为因为 2121111111limli
10、mlim10nnnnnnnnnnnnnnnnnnn nn 所以由级数收敛的必要条件知原级数发散所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.例例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数运用级数收敛的柯西准则证明级数 21n收敛收敛.证证 由于由于 12mmmpuuu222111(1)(2)()mmmp 111(1)(1)(2)(1)()m mmmmpmp1111111121mmmmmpmp11mmp1.m因此因此,10,N 对任意可取对任意可取当当mN及任意正及任意正 整数整数 p,由上式可得由上式可得 121,mmmpuuum 21n依级数收敛的柯西准则,知级数依级数收敛的柯西准则,知级数收敛收敛.注注
11、级数级数11(1)nn n 的收敛性已由例的收敛性已由例5的证明过程所的证明过程所 显示显示.定理定理12.2 ,nnuv若若级级数数与与都都收收敛敛则对任意常则对任意常 数数c,d，()nncudv级级数数亦收敛，且亦收敛，且().nnnncudvcudv根据级数收敛的柯西准则根据级数收敛的柯西准则,级数级数nu的收敛与否与的收敛与否与 级数前面有限项的取值无关级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理从而可得到以下定理.定理定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性级数的敛散性.注注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级去掉、
12、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.由定理由定理12.3知知,1,nnu若级数收敛若级数收敛 其和为其和为S,则级数则级数12(8)Lnnuu.(8)nnnRSSu也也收收敛敛,且且其其和和式式称称为为级级数数的的第第 n 个余项个余项(简称余项简称余项),),它表示以部分和它表示以部分和 Sn 代替代替S 时所产生的误差时所产生的误差.定理定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号在收敛级数的项中任意加括号,既不改变既不改变 级数的收敛性级数的收敛性,也不改变它的和也不改变它的和.,.nuS为为收收敛敛级级数数
13、 其其和和为为nu下下面面证证明明加加证证 设设括号后的级数括号后的级数111()kknnkuu收敛收敛,且其和也是且其和也是 1121121.,nnnSvuuvuu为为此此，记记11,kkknnvuu 则则11111().kknnnknkkuuuvkknnvSS的的部部分分和和数数列列是是的的一一个个子子列列。由由于于limknnnnSSSS收敛,且.故由子列性质，也收敛，收敛,且.故由子列性质，也收敛，lim,.knkkSSvS且且即即级级数数收收敛敛,且且它它的的和和也也等等于于注注 从级数加括号后的收敛从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号不能推断它在未加括号 于是于是,若若 为收
14、敛级数为收敛级数nu的部分和数列的部分和数列,则级数则级数 nS时也收敛时也收敛.例如例如 (11)(11)(11)0000,收敛收敛,但级数但级数 1 11 1 却是发散的却是发散的.*例例6 证明级数证明级数1213nnn收敛，并求其和收敛，并求其和.1213nnkkkSlimnnS证证 令令，若能求出，若能求出,就能得到所就能得到所 要的结论要的结论.由于由于 11112121333nnnnkkkkkkSS1111112121213333nkknkkkn1111112121333nnkkkkkk11111221333nknkn 12111121213333nknkn 12121,333nnn 所以所以 13 2121,2 333nnnnS 于是于是 13 2121lim1.2 333nnnnnS 这样就证明了级数这样就证明了级数1213nnn 收敛收敛,并且其和为并且其和为1.复习思考题 1,()nnnnuvuv讨讨论论级级数数与与.之之间间收收敛敛性性的关系的关系.,2.nnnnuvu v设设级级数数均均收收敛敛 问问是是否否一一定定收收敛敛.,3.nkuv若若级级数数加加括括号号后后的的级级数数发发散散 级级数数是否一定发散？是否一定发散？nu
