1、3.3 几类特殊函数的积分法（52）31、有理函数、有理函数由两个多项式的商表示的函数由两个多项式的商表示的函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.3.3.1 有理函数的积分法有理函数的积分法3.3 几类特殊函数的积分法（52）4假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个
2、假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.3.3 几类特殊函数的积分法（52）5（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 2、化有理函数为最简分式之和、化有理函数为最简分式之和其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA 3.3 几类特殊函数的积分法（52）6（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqp
3、xxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM,都是常数都是常数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）73、化真分式化为最简分式之和的、化真分式化为最简分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 13.3 几类特殊函数的积分法（52）82)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCx
4、BxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 23.3 几类特殊函数的积分法（52）9例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得3.3 几类特殊函数的积分法（52）10例例4 4 求不定积分求不定积分 21d.(1)xx x 21d(1)xx
5、x 2111d(1)1xxxx 2111ddd(1)1xxxxxx.)1ln(11lnCxxx 解解3.3 几类特殊函数的积分法（52）11例例5 5 求不定积分求不定积分 解解21d.(12)(1)xxx 2421555dd121xxxxx 21d(12)(1)xxx 2221211ln(12)dd55151xxxxxx.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）12说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx
6、讨论积分讨论积分2d,()nMxNxxpxq ,42222pqpxqpxx 令令tpx 23.3 几类特殊函数的积分法（52）13,422pqa ,2MpNb 则则2d()nMxNxxpxq 22d()nMttta 22d()nbtta ,222atqpxx ,bMtNMx 记记3.3 几类特殊函数的积分法（52）14,1)2(n2d()nMxNxxpxq 122)(1(2 natnM221d.()nbtta 这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(n2dMxNxxpxq )l
7、n(22qpxxM ;2arctanCapxab 3.3 几类特殊函数的积分法（52）151 1、三角有理式、三角有理式 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxRsin2sincos22xxx ,2tan12tan22xx 3.3.2 三角有理式的积分法三角有理式的积分法,2tan12tan122xx 2sin2coscos22xxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）162222212(sin,cos)d,d.111uuRxxxRuuuu 2、万能置换公式、万能置换公式,12sin2uux ,1
8、1cos22uux 22dd1xuu 3.3 几类特殊函数的积分法（52）17例例6 6 求不定积分求不定积分sind.1sincosxxxx 解解,12sin2uux 2211cosuux 22dd,1xuu 由万能置换公式由万能置换公式sind1sincosxxxx 22d(1)(1)uuuu 222211d(1)(1)uuuuuu 3.3 几类特殊函数的积分法（52）18222(1)(1)d(1)(1)uuuuu 21d1uuu 1d1uu uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）1
9、9例例7 7 求不定积分求不定积分41d.sinxx 解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux 22dd,1xuu 41dsinxx 2464133d8uuuuu Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）20解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux 21dd,1xuu 41dsinxx 42211d11uuuu 241duuu Cuu 1313.cotcot313Cxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）21解（三）解（三）可以不用万能置换公
10、式可以不用万能置换公式.41dsinxx 22csc(1cot)dxxx 222cscdcotcscdx xxx xd(cot)x .cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,可知万能置换不一定可知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法.故在三角有理式的积分中，故在三角有理式的积分中，应优先考虑其它手段应优先考虑其它手段.3.3 几类特殊函数的积分法（52）22例例8 8 求不定积分求不定积分1sind.sin3sinxxxx 解解2cos2sin2sinsinBABABA 1sindsin3sinxxxx 1sind2sin2 cosxxxx 21sind4sinco
11、sxxxx 211d4sincosxxx 211d4cosxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）232221sincosd4sincosxxxxx 211d4cosxx 21sin11dd4cos4sinxxxxx211d4cosxx 21111d(cos)d4cos4sinxxxx 211d4cosxx xcos41 2tanln41x.tan41Cx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）243 3、特殊变换、特殊变换(sin,cos)(sin,cos),RxxRxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）25例例9 9 求不定积分求不定积分22cossind.1cosxxxx 解解3.3
12、 几类特殊函数的积分法（52）26(sin,cos)(sin,cos),RxxRxx 例例1010 求不定积分求不定积分34cosd.1sinxxx 解解3.3 几类特殊函数的积分法（52）27(sin,cos)(sin,cos),RxxRxx3.3 几类特殊函数的积分法（52）28例例1111 求不定积分求不定积分2241sind.1sincosxxxx 解解3.3 几类特殊函数的积分法（52）29例例1212 求不定积分求不定积分1d.45cosxx 解解2(sin,cos)(2sin cos,2cos1)RxxRttt3.3 几类特殊函数的积分法（52）303.3 几类特殊函数的积分法（
13、52）31讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1313 求不定积分求不定积分11dxxxx 解解 令令txx 1,12txx 3.3.3 简单无理函数的积分法简单无理函数的积分法3.3 几类特殊函数的积分法（52）32,112 tx 222 dd,1t txt 11dxxxx 2222 d11t tttt 22d21ttt 2121d1tt Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）33例例1414 求不定积分求不定积分31d.11xxx 解解 令令16 xt56 dd,ttx
14、31d11xxx 53326 dd61tttttttCtttt|1|ln6632233662131316ln(11).xxxxC说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.3.3 几类特殊函数的积分法（52）34例例1515 求不定积分求不定积分d.3121x xxx 解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式(3121)d(3121)(3121)xxxxxxxx (3121)dxxx 131d(31)3xx 121d(21)2xx.)12(31)13(922323Cxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）35简单无理式的积分简单无理式的积分.有
15、理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：注意：必须化成真分式）必须化成真分式）三角有理式的积分（万能置换公式）三角有理式的积分（万能置换公式）.（注意：注意：万能公式并不万能）万能公式并不万能）3.3.5 3.3.5 小结与思考题小结与思考题1-31-33.3 几类特殊函数的积分法（52）36思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？3.3 几类特殊函数的积分法（52）37思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.3.3 几类特殊函数的积分法（52）38课堂练习题课堂练习题3.3
16、几类特殊函数的积分法（52）393.3 几类特殊函数的积分法（52）403.3 几类特殊函数的积分法（52）41课堂练习题答案课堂练习题答案3.3 几类特殊函数的积分法（52）423.3 几类特殊函数的积分法（52）433.3 几类特殊函数的积分法（52）44（1）常用积分公式汇集成的表称为）常用积分公式汇集成的表称为积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）不定积分公式表见）不定积分公式表见高等数学高等数学B上册上册（北师大数科院蔡俊亮等编）附录（北师大数科院蔡俊亮等编）附录(II).（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，
17、可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果.*3.3.4 积分表的使用积分表的使用3.3 几类特殊函数的积分法（52）45例例1616 求求2d.(34)x xx 被积函数中含有被积函数中含有bax 在积分表（一）中查得公式在积分表（一）中查得公式 4.22d1ln|x xbaxbCaaxbaxb 现在现在4,3 ba于是于是 2d14ln|34|.93434x xxCxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）46例例1717 求求d.54cosxx 被积函数中含有三角函数被积函数中含有三角函数在积分表（五）中查得此类公式有两个在积分表（五）中查得此
18、类公式有两个224,5baba 选公式选公式 19.将将 代入得代入得4,5 badcosxabx 222arctantan2abxCabab d54cosxx .2tan3arctan32Cx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）47例例1818 求求2d.49xxx 在积分表（三）中查得公式在积分表（三）中查得公式 31.将将 代入得代入得4,9ac22d1ln|,(0).xaxccCcxcx axc 22d1493ln|.349xxCxxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）48例例1919 求求4sind.x x 在积分表（五）中查得公式在积分表（五）中查得公式 7.sindnx x
19、 12sincos1sindnnxxnx xnn 利用此公式可使正弦的幂次减少两次利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使重复使用可使正弦的幂次继续减少用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果直到求出结果.这这个公式叫个公式叫递推公式递推公式.现在现在4,n 于是于是3.3 几类特殊函数的积分法（52）494sindx x 32sincos3sind44xxx x 对积分对积分 使用（三）中的公式使用（三）中的公式 5.2sindx x 2sindx x 1sincos22xxxC4sindx x 434cossin3 xx.2sin412Cxx 3.3 几类特殊函数的积分法（52）50说明说明
20、初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数.例例,de2xx,dsinxxx,dln1xx.d114xx3.3 几类特殊函数的积分法（52）51课堂练习题课堂练习题2222222d1.2.29d.493.arcsind.4.esin3 d.2dd5.6.(1)117.2d.8.d.1xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 利用积分表计算下列不定积分：利用积分表计算下列不定积分：3.3 几类特殊函数的积分法（52）52课堂练习题答案课堂练习题答案22222222211.ln 249.219 22.29ln(229.243.(1)arcsin4.224e114.(2sin33cos3).5.ln.131(1)216.arccos.7.ln(2).4218.(1)(1)2arcsin.2xxxCxxxCxxxxCxxxCxxx xxCxxCxxxxC
